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1、试验设计试验设计（Design of Experement，DOE）一、概述一、概述 1 1、试验设计的概念、试验设计的概念 产品质量的生命周期包括：产品质量的生命周期包括：设计质量设计质量制造质量制造质量检验质量检验质量使用质量使用质量服务质量服务质量工艺参数工艺参数试试验验研研究究多种影响因素多种影响因素 寻找最佳的参寻找最佳的参数及相互搭配数及相互搭配试验设计试验设计 把数学上优化理论、技术应用于试验设计中，用把数学上优化理论、技术应用于试验设计中，用科学的方法安排试验、处理试验结果、以最少的人力和物科学的方法安排试验、处理试验结果、以最少的人力和物力消费，在最短的时间内取得更多、更好的
2、生产和科研成力消费，在最短的时间内取得更多、更好的生产和科研成果的技术方法。果的技术方法。试验设计方法是一项通用技术，是当代科技和工程技试验设计方法是一项通用技术，是当代科技和工程技术人员必须掌握的技术方法。术人员必须掌握的技术方法。2 2、试验设计的由来和发展试验设计的由来和发展（1 1）第一阶段）第一阶段方差分析方差分析 20 20世纪世纪2020年代，英国统计学家费歇（年代，英国统计学家费歇（R.A.FisherR.A.Fisher）提出）提出方差分析；方差分析；3030年代，由于农业试验的需要，年代，由于农业试验的需要，FisherFisher在试在试验设计和统计分析方面做出了一系列先
3、驱工作，从此试验设计和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计科学的一个分支；验设计成为统计科学的一个分支；4040年代，二战期间，年代，二战期间，美国军方大量应用试验设计方法；美国军方大量应用试验设计方法；随后，随后，F.Yates,F.Yates,R.C.Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.CoxR.C.Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和和G.E.P.BoxG.E.P.Box对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支在对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支在理论上日趋完善，在应用上日趋广泛；理论上日趋完善，在应
4、用上日趋广泛；（2 2）第二阶段）第二阶段正交试验设计正交试验设计 20 20世纪世纪5050年代，日本统计学家年代，日本统计学家田口玄一田口玄一将试验设计中应将试验设计中应用最广的正交设计表格化，借助用最广的正交设计表格化，借助正交表正交表科学地安排多因科学地安排多因素多水平试验；素多水平试验；2 2、试验设计的由来和发展（续）试验设计的由来和发展（续）（3 3）第三阶段的三次设计）第三阶段的三次设计线外质量控制线外质量控制 20 20世纪世纪6060年代，利用正交试验设计、方差分析和信躁比年代，利用正交试验设计、方差分析和信躁比分析等方法应用于产品研制，开发的设计阶段，提出了分析等方法应用
5、于产品研制，开发的设计阶段，提出了参数设计、容差设计等一套理论和方法。参数设计、容差设计等一套理论和方法。（4 4）第四阶段）第四阶段质量功能展开（质量功能展开（QFDQFD）70 70年代，由日本的赤尾洋二和水野滋提出，将顾客的需年代，由日本的赤尾洋二和水野滋提出，将顾客的需求转变为产品的质量特性的质量屋方法。求转变为产品的质量特性的质量屋方法。我国优化试验设计方法我国优化试验设计方法 60 60末期代，华罗庚教授倡导与普及的末期代，华罗庚教授倡导与普及的“优选法优选法”，如，如黄金分割法、分数法和斐波那契数列法等；黄金分割法、分数法和斐波那契数列法等；数理统计学者在工业部门中普及数理统计学
6、者在工业部门中普及“正交设计正交设计”法；法；70 70年代中期，优选法在全国各行各业取得明显成效。年代中期，优选法在全国各行各业取得明显成效。术 语（1）指指标标。试验试验需要考察效果的特性需要考察效果的特性值值称称为为指指标标。（2）因子因子。也称。也称为为因素因素试验试验中考察的中考察的对试验对试验指指标标可可能有影响的称能有影响的称为为因子。一般用因子。一般用A、B、C等来表示因等来表示因素。素。（3）水平水平。每个因子在。每个因子在试验试验中要比中要比较较的具体条件称的具体条件称为为水平。一般用阿拉伯数字水平。一般用阿拉伯数字1、2、3等表示水平，等表示水平，如如A1表示表示A因素因
7、素1水平。水平。3 3、试验设计的分类、试验设计的分类 （1 1）单因素实验设计）单因素实验设计0.6180.618法、对分法、均分法、分数法、对分法、均分法、分数法等。法等。（略）（略）（2 2）多因素实验设计）多因素实验设计 无交互作用无交互作用水平数相等水平数相等单指标单指标有交互作用有交互作用水平数不相等水平数不相等多指标多指标多因素多因素正交试验设计正交试验设计对因素很多的试验则采用对因素很多的试验则采用均匀设计均匀设计方法进行方法进行4 4、试验设计在生产及科学研究中的作用、试验设计在生产及科学研究中的作用提高产量提高产量减少质量的波动，提高产品质量水准减少质量的波动，提高产品质量
8、水准大大缩短新产品试验周期大大缩短新产品试验周期降低成本降低成本延长产品寿命延长产品寿命应用的行业：应用的行业：化工、电子、材料、建工、建材、石油、化工、电子、材料、建工、建材、石油、冶金、机械、交通、电力冶金、机械、交通、电力试验设计试验设计在生产、制造过程中的位置：在生产、制造过程中的位置：生產生產/制造制造 過程過程可控制因素可控制因素可控制因素可控制因素 不可控制因素不可控制因素不可控制因素不可控制因素 统计技术在生产统计技术在生产统计技术在生产统计技术在生产/制造制造制造制造过程过程过程过程中的应用是对过程中中的应用是对过程中中的应用是对过程中中的应用是对过程中输入输入输入输入的变量
9、的变量的变量的变量(人人人人,机机机机,料料料料,法法法法,环环环环)进行有目的的优化进行有目的的优化进行有目的的优化进行有目的的优化,使书城的结果更加理使书城的结果更加理使书城的结果更加理使书城的结果更加理想。想。想。想。试验设计试验设计试验设计试验设计是其中较是其中较是其中较是其中较为有效的一种工程工具。为有效的一种工程工具。为有效的一种工程工具。为有效的一种工程工具。通过实验通过实验进行优化设计进行优化设计通过实验通过实验通过实验通过实验,控制其不良控制其不良控制其不良控制其不良的影响程度的影响程度的影响程度的影响程度二、正交试验设计二、正交试验设计(Orthogonal experim
10、ental design)例例1 1：为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关的因：为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关的因素进行条件试验，反应温度（素进行条件试验，反应温度（A A），反应时间（），反应时间（B B），），用碱量（用碱量（C C），并确定了它们的试验范围：），并确定了它们的试验范围：A A：80-90 80-90 B B：90-150 Min90-150 Min C C：5-7%5-7%1 1、问题的提出、问题的提出多因素试验问题多因素试验问题试验目的：搞清楚因素试验目的：搞清楚因素A A、B B、C C对转化率的影响，哪些对转化率的影响，哪些是主要因素，哪些是次要因素，
11、从而确定最优生产条是主要因素，哪些是次要因素，从而确定最优生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率提件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率提高。试制定试验方案。高。试制定试验方案。这里，对因素这里，对因素A A、B B、C C在试验范围内分别选取三个水平在试验范围内分别选取三个水平 A A：A1A18080、A2A28585、A3A39090 B B：B1B190Min90Min、B2B2120Min120Min、B3B3150Min150Min C C：C1C15%5%、C2C26%6%、C3C37%7%取三因素三水平，通常有两种试验方法：取三因素三水平，通常有两种试验方法：
12、（1 1）全面实验法：）全面实验法：A1B1C1 A2B1C1 A3B1C1 A1B1C2 A2B1C2 A3B1C2 A1B1C3 A2B1C3 A3B1C3 A1B2C1 A2B2C1 A3B2C1 A1B2C2 A2B2C2 A3B2C2 A1B2C3 A2B2C3 A3B2C3 A1B3C1 A2B3C1 A3B3C1 A1B3C2 A2B3C2 A3B3C2 A1B3C3 A2B3C3 A3B3C3共有共有3 3=27=27次试验，如图所示，立方体包含了次试验，如图所示，立方体包含了2727个节点，分别表示个节点，分别表示2727次试验。次试验。A1 A2 A3B3B2B1C1C2C
13、3全面试验法的优缺点：全面试验法的优缺点：优点：对各因素于试验指标之间的关系剖析得比较清楚优点：对各因素于试验指标之间的关系剖析得比较清楚缺点：缺点：(1)(1)试验次数太多，费时、费事，当因素水平比试验次数太多，费时、费事，当因素水平比 较多时，试验无法完成；较多时，试验无法完成；(2)(2)不做重复试验无法估计误差；不做重复试验无法估计误差；(3)(3)无法区分因素的主次。无法区分因素的主次。例如选六个因素，每个因素选五个水平时，全面试验的例如选六个因素，每个因素选五个水平时，全面试验的数目是数目是5 56 6 1562515625次。次。（2 2）简单比较法）简单比较法 即变化一个因素而
14、固定其它因素，如首先固定即变化一个因素而固定其它因素，如首先固定B B、C C于于B1B1、C1C1，使，使A A变化之，则：变化之，则：如果得出结果如果得出结果A3A3最好，则固定最好，则固定A A于于A3A3，C C还是还是C1C1，使，使B B变化，则：变化，则：得出结果得出结果B2B2最好，则固定最好，则固定B B于于B2B2，A A于于A2A2，使，使C C变化，则：变化，则：试验结果以试验结果以C3C3最好。最好。于是得出最佳工艺条件为于是得出最佳工艺条件为A3B2C2A3B2C2。A1B1C1 A2 A3(好结果好结果)B1A3C1 B2(好结果好结果)B3 C1A3B2 C2(
15、好结果好结果)C3A1 A2 A3B3B2B1C1C2C3简单比较法的试验点简单比较法的试验点优点：试验次数少优点：试验次数少缺点：缺点：（1 1）试验点不具代表性。考察的）试验点不具代表性。考察的 因素水平仅局限于局部区域，因素水平仅局限于局部区域，不能反映因素的全面情况不能反映因素的全面情况;（2 2）无法分清因素的主次）无法分清因素的主次;（3 3）如果不进行重复试验，试验误差就估计不出来，因此无法）如果不进行重复试验，试验误差就估计不出来，因此无法确定最佳分析条件的精度确定最佳分析条件的精度;（4 4）无法利用数理统计方法对试验结果进行分析，提出望好条）无法利用数理统计方法对试验结果进
16、行分析，提出望好条件。件。简单比较法的优缺点：简单比较法的优缺点：正交试验的提出：正交试验的提出：考虑兼顾全面试验法和简单比较法的优点，利用根据数考虑兼顾全面试验法和简单比较法的优点，利用根据数学原理制作好的规格化表学原理制作好的规格化表正交表正交表来设计试验不失为一种来设计试验不失为一种上策。这种用正交表来安排试验及分析试验结果的方法叫做上策。这种用正交表来安排试验及分析试验结果的方法叫做正交试验法。正交试验法。用正交表安排例用正交表安排例1 1的试验，只需要的试验，只需要9 9次试验：次试验：A1 A2 A3B3B2B1C1C2C3123654789135624987A1A3A2C3C2C
17、1B3B2B1 正交试验是一种科学安排和分析多因素多水平正交试验是一种科学安排和分析多因素多水平试验的一种高效率、快速、经济的设计方法。它利试验的一种高效率、快速、经济的设计方法。它利用用“均衡分散性均衡分散性”和和“整齐可比性整齐可比性”的的正交性原理正交性原理，从大量的试验点中挑出适量的、具有代表性、典型从大量的试验点中挑出适量的、具有代表性、典型的试验点进行试验，找出最好的或较满意的试验条的试验点进行试验，找出最好的或较满意的试验条件。这些有代表性的试验点应具备正交性。件。这些有代表性的试验点应具备正交性。2 2、正交试验及其特点、正交试验及其特点 正交试验（表）法的特点：正交试验（表）
18、法的特点：（1 1）均衡分散性均衡分散性代表性；代表性；（2 2）整齐可比性整齐可比性可以用数理统计方法对试验结果可以用数理统计方法对试验结果 进行处理。进行处理。正交试验法优点：正交试验法优点：（1 1）试验点代表性强，试验次数少；）试验点代表性强，试验次数少；（2 2）不需做重复试验，就可以估计试验误差；）不需做重复试验，就可以估计试验误差；（3 3）可以分清因素的主次；）可以分清因素的主次；（4 4）可以使用数理统计的方法处理试验结果，提出望好）可以使用数理统计的方法处理试验结果，提出望好条件。条件。n正交试验设计中，因素可以是定量的，也可以是定性的，而正交试验设计中，因素可以是定量的，
19、也可以是定性的，而且定量因素各水平间的距离可以相等，也可以不等。且定量因素各水平间的距离可以相等，也可以不等。n正交最优化方法的优点不仅表现在正交最优化方法的优点不仅表现在试验的设计试验的设计上，更表现在上，更表现在对试验结果的处理对试验结果的处理上。上。A A）日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合）日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合成一套规格化的表格，称为成一套规格化的表格，称为正交表正交表，来合理安排实验。，来合理安排实验。B B）用一套程序化的计算方法分析实验结果）用一套程序化的计算方法分析实验结果极差分析法、极差分析法、方差分析法。找出因数影响质量指标的程
20、度。方差分析法。找出因数影响质量指标的程度。C C）综合分析得出最佳水平组合，即最佳方案，并可估算最佳）综合分析得出最佳水平组合，即最佳方案，并可估算最佳实验结果。实验结果。D D）找出进一步改进产品质量的试验方向和趋势。）找出进一步改进产品质量的试验方向和趋势。3 3、正交表、正交表（1 1）正交表的结构）正交表的结构 正交表是一套有规律的、按顺序排列的、规则的设计表正交表是一套有规律的、按顺序排列的、规则的设计表格，是正交试验的工具。最简单的正交表如下表所示。格，是正交试验的工具。最简单的正交表如下表所示。（2 2）正交表中代号的含义：）正交表中代号的含义：pp正交表的正交表的列数列数，即
21、采，即采用本表进行试验，用本表进行试验，最多最多可可安排的安排的因素数因素数LL正交表符号正交表符号nn正交表的正交表的行数行数，即需进行的即需进行的试验次数试验次数qq每个因素所含有每个因素所含有的的水平数水平数（3 3）正交表的特点）正交表的特点 每一列中，每个数字出现的次每一列中，每个数字出现的次数相等数相等;将任意两列的同行数字看成是将任意两列的同行数字看成是一个数对，则一切可能数对出一个数对，则一切可能数对出现的次数相同。右表中任意两现的次数相同。右表中任意两列有九种可能的数对，即（列有九种可能的数对，即（1 1，1 1）、（）、（1 1，2 2）、（）、（1 1、3 3）、）、（2
22、 2，1 1）、（）、（2 2，2 2）、（）、（2 2，3 3）、（）、（3 3，1 1）、（）、（3 3，2 2）、）、（3 3、3 3）出现的次数相同。）出现的次数相同。列号列号试验号试验号 1 2 3 41 1 1 1 12 1 2 2 23 1 3 3 34 2 1 2 35 2 2 3 16 2 3 1 27 3 1 3 28 3 2 1 39 3 3 2 1 正交表正交表 表示需作表示需作9 9次实验，最多可观察次实验，最多可观察4 4个因素，每个因素均为个因素，每个因素均为3 3水平。按全面实验要求，作水平。按全面实验要求，作一个一个3 3水平水平4 4因素的实验，须进行因素的
23、实验，须进行3 34 4=81=81种组合的实验，种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按正交表安排实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按正交表安排实验，只需作只需作9 9次。次。这两点称为这两点称为正交性正交性：均衡分散，整齐可比均衡分散，整齐可比 均衡分散均衡分散试验点在试验范围内排列规律整齐（试验点在试验范围内排列规律整齐（任意两任意两 列间横向组合的数字对搭配是均衡的）列间横向组合的数字对搭配是均衡的）整齐可比整齐可比试验点在试验范围内散布均匀（试验点在试验范围内散布均匀（每个字码出每个字码出 现的机会是完全相等的）现的机会是完全相等的）（4 4）正交表的种类）正交表的种类 一般
24、的正交表可表示为：一般的正交表可表示为：第一类第一类第二类第二类(不完备不完备)正交表的行数、列数、水平数不满足上两式正交表的行数、列数、水平数不满足上两式(完备完备)正交表的行数、列数正交表的行数、列数、水平数满足：、水平数满足：此类正交表可同时考察各因子对试验指标的影响此类正交表可同时考察各因子对试验指标的影响以及因子间交互作用的影响；以及因子间交互作用的影响；如：如：如：如：此类正交表只能考察各因子对试验指标的影响，此类正交表只能考察各因子对试验指标的影响，不能考察因子间交互作用。不能考察因子间交互作用。混合水平正交表混合水平正交表一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混一个正
25、交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如合型正交表，如L L8 8(42(424 4)，此表的，此表的5 5列中，有列中，有1 1列为列为4 4水平，水平，4 4列为列为2 2水平。水平。4 4、正交设计的步骤及结果分析、正交设计的步骤及结果分析（1）试验设计步骤：）试验设计步骤：挑选因素、水平，画水平表挑选因素、水平，画水平表选正交表选正交表看水平、因素数看水平、因素数试验次数（以少为好）试验次数（以少为好）对号入座，列出试验方案对号入座，列出试验方案极差分析极差分析（2 2）结果分析）结果分析画趋势图分析画趋势图分析 方差分析方差分析4 4、正交设计的步骤及结果分析、正交
26、设计的步骤及结果分析正交试验设计的应用步骤正交试验设计的应用步骤1明确试验目的明确试验目的 即为什么要进行试验。即为什么要进行试验。2确定试验指标确定试验指标 即试验的结果变量（因变量、应变量）是什么。即试验的结果变量（因变量、应变量）是什么。3确定因子与水平确定因子与水平 即确定自变量是什么？每个自变量又选择几个状态。即确定自变量是什么？每个自变量又选择几个状态。4选用合适的正交表选用合适的正交表 在通常的试验设计中，以上四个步骤统称为试验的设计步骤，这个步骤对试验在通常的试验设计中，以上四个步骤统称为试验的设计步骤，这个步骤对试验的成功与否至关重要，因为如果试验的设计错误，后边的各个步骤的
27、结果就的成功与否至关重要，因为如果试验的设计错误，后边的各个步骤的结果就很难得到正确的结果。而选择并找到一个合适的正交表是正交试验设计的重很难得到正确的结果。而选择并找到一个合适的正交表是正交试验设计的重要步骤。要步骤。5进行试验并记录试验结果进行试验并记录试验结果6数据分析数据分析 包括数据的直观分析和方差分析。包括数据的直观分析和方差分析。7验证试验验证试验三、无交互作用的正交设计与数据分析三、无交互作用的正交设计与数据分析 例例6 6 某某工工厂厂生生产产一一种种检检查查某某种种疾疾病病用用的的碘碘化化钠钠晶晶体体，要要求求应应力力越越小小越越好好。退退火火工工艺艺是是影影响响质质量量的
28、的一一个个重重要要环环节节。现现通通过过正正交交试验希望能找到降低应力的工艺条件。试验希望能找到降低应力的工艺条件。（一）试验的设计（一）试验的设计在安排试验时，一般应考虑如下几步：在安排试验时，一般应考虑如下几步：1 1明确试验目的明确试验目的：降低碘化钠晶体的应力；：降低碘化钠晶体的应力；2 2试验指标试验指标：碘化钠晶体的应力，应力越小越好；：碘化钠晶体的应力，应力越小越好；3 3制定因素水平表制定因素水平表：经过考察、分析，本试验中有：经过考察、分析，本试验中有升温速升温速度度、恒温温度恒温温度和和恒温时间恒温时间共共3 3个因素。选因素的水平，个因素。选因素的水平，首先应考虑选择范围
29、。对技术上明显坏的或实际上不能首先应考虑选择范围。对技术上明显坏的或实际上不能使用的水平值，通常不包括在选择范围。本例中每个因使用的水平值，通常不包括在选择范围。本例中每个因素取素取3 3个水平，因素水平表如下表所示；个水平，因素水平表如下表所示；4 4、选正交表，安排表头、选正交表，安排表头5 5排排列列试试验验条条件件：表表头头排排好好之之后后，将将表表中中每每一一列列的的数数字字1 1，2 2，3 3看看成成该该列列中中每每个个因因素素应应取取的的水水平平，每每一一行行就就是是每每次次试试验验的的条条件件。例例如如：正正交交表表中中的的第第一一列列是是升升温温速速度度A A，就就在在1
30、1的的位位置置上上填填上上A1A130 30/小小时时，在在2 2的的的的位位置置上上填填A2A250 50/小小时时，在在3 3的的位置上填的的位置上填A3A3100/100/小时，其余依此类推。小时，其余依此类推。6 6按按试试验验方方案案进进行行试试验验：试试验验排排定定之之后后就就必必须须严严格格按按照照排排定定的的试试验验方方案案进进行行试试验验，不不能能再再变变动动。有有时时为为了了避避免免一一些些未未考考虑虑到到的的随随机机因因素素的的影影响响，试试验验的的次次序序最最好好随随机机进进行行（比比如如，可可以以采采用用抽抽签签的的方方式式决决定定每每次次试试验验进进行行的的先先后后
31、）。但但每每做做一一次次试试验验都都要要记记下下所所得得的的结结果果（即即达达到到的的指指标标）填填入入上上表表最最右右一一列列试验结果内。试验结果内。（二）试验结果分析（二）试验结果分析 通通过过对对不不同同试试验验方方案案得得到到的的试试验验指指标标进进行行分分析析，并并对对试试验验方方案案进进行行评评价价。对对试试验验结结果果的的分分析析有有两两种种方法，一是方法，一是直观分析直观分析法，二是法，二是方差分析法方差分析法。1 1数据的直观分析数据的直观分析看一看看一看 正交试验正交试验设计及其直观分析正交试验设计及其直观分析例例4-15 正交试验正交试验设计及其直观分析正交试验设计及其直
32、观分析例例4-15 正交试验正交试验设计及其直观分析正交试验设计及其直观分析例例4-15 看一看的看一看的好条件好条件A的影响的影响最显著最显著 （二）试验结果分析（二）试验结果分析1 1数据的直观分析数据的直观分析 （1 1）计算数据：极差分析）计算数据：极差分析试验号试验号 因素因素A A 因素因素B B 因素因素C C 误差误差e e 结果结果y y（2 2）各因素对指标影响程度大小的分析）各因素对指标影响程度大小的分析 各各因因素素对对指指标标影影响响程程度度可可从从各各因因素素取取不不同同水水平平时时试试验验结结果果均均值值的的极极差差大大小小来来分分析析，因因为为极极差差大大的的话
33、话，改改变变这这一一因因素素的的水水平平会会对对指指标标造造成成较较大大的的变变化化，所所以以该该因因素素对对指指标标的的影影响响大大，反反之之，影影响就小。响就小。（3 3）画趋势图）画趋势图,展望更好的试验条件展望更好的试验条件 2 2数据的方差分析数据的方差分析 在在数数据据的的直直观观分分析析中中是是通通过过极极差差的的大大小小来来评评价价各各个个因因素素对对指指标标影影响响的的大大小小，那那么么极极差差要要小小到到什什么么程程度度可可以以认认为为该该因因素素水水平平变变化化对对指指标标值值已已经经没没有有显显著著的的差差别别了了呢呢？为为解解决决这这一一问问题题，需需要要对对数数据据
34、进进行行方差分析。方差分析。在在方方差差分分析析中中，我我们们假假定定每每一一试试验验是是独独立立进进行行的的，每每一一试试验验条条件件下下的的试试验验指指标标服服从从正正态态分分布布，这这些些分分布布的的均均值值与与试试验验的的条条件件有有关关，可可能能不不等等，但但它它们的们的方差是相等方差是相等的。的。水平数水平数 r=3 r=3试验重复次数试验重复次数:m=3:m=3（3 3）计算）计算 用列表的方法计算各列的偏差平方和，结果见下表：用列表的方法计算各列的偏差平方和，结果见下表：因素因素A A 因素因素B B 因素因素C C 误差误差e e通过以上计算，可列出方差分析表如下：通过以上计
35、算，可列出方差分析表如下：3 3最佳试验条件的选择最佳试验条件的选择 对对显显著著因因素素应应选选择择其其最最好好的的水水平平，因因为为其其水水平平变变化化会会造造成成指指标标显显著著的的不不同同，而而对对不不显显著著的的因因素素可可任任意意选择其水平（通常要考虑成本等因素进行选择）。选择其水平（通常要考虑成本等因素进行选择）。本本例例中中。因因素素A A、B B、C C均均是是显显著著的的，所所以以要要选选择择其其最最好好的的水水平平。对对因因素素A A选选择择其其水水平平2 2，因因素素B B选选择择其其水水平平2 2，因因素素C C选选择择其其水水平平1 1，即即最最终终选选择择试试验验
36、方方案案A2B2C1A2B2C1。4 4、因素的贡献率、因素的贡献率 （三）试验验证（三）试验验证 本本例例中中找找到到的的最最佳佳试试验验条条件件是是A2B2C1A2B2C1，但但是是该该条条件件在在所所选选的的9 9次次试试验验中中并并未未出出现现，因因此此其其实实际际的的试试验验结结果果还还需需验验证证。假假如如在在条条件件下下进进行行3 3次次试试验验的的结结果果分分别别是是0.70.7、0.80.8和和0.30.3，其其平平均均值值为为0.60.6，结结果果还还是是比比较较满意的。说明该工艺条件是较好的。满意的。说明该工艺条件是较好的。在进行在进行F F检验前检验前,应判断因素的显著
37、性应判断因素的显著性,将明显不显著因素的将明显不显著因素的偏差平方和并人误差的偏差平方和偏差平方和并人误差的偏差平方和,便于检查其他因素的显便于检查其他因素的显著性著性.可以认为可以认为A A为很不显著因素为很不显著因素;4 4、试验误差的方差估计、试验误差的方差估计实例实例数据分析：数据分析：1 1、直观法：第五方案、直观法：第五方案 y=236 y=236 ，最佳方案为：，最佳方案为：2 2、极差法：、极差法：A B C e 185 161.7 185.0 178.7 198 218.7 174.3 187.3 167.3 170.0 191.0 184.3 R 30.7 57.0 16.
38、7 8.6 S 1421.5 5686.9 427.6 116.2 ,最佳方案也为最佳方案也为方差分析和波动贡献率计算表方差分析和波动贡献率计算表来源平方和S自由度f均方V F值显著性纯波动贡献率 (%)A1421.6 2710.812.23 *1305.4 17.06B 5686.9 22843.4 48.94 *5570.7 72.8C 427.6 2 213.83.68 311.4 4.07e 116.2 2 58.1 468.8 6.07S 7652.2 8最佳水平组合是，考虑C为不显著因素，取经济方案。经验证后平均值为0.0231 N.m 0.0210N.m,满足要求。四、有交互作用
39、的正交试验四、有交互作用的正交试验 多因素试验中，有时因素多因素试验中，有时因素A A水平的优劣会与另一因水平的优劣会与另一因素素B B水平的选取有密切关系。即除了单个因素对指标有水平的选取有密切关系。即除了单个因素对指标有影响外，多个因素不同水平的搭配也会对指标产生影影响外，多个因素不同水平的搭配也会对指标产生影响。这种因素间的联合作用称为交互作用，记为响。这种因素间的联合作用称为交互作用，记为ABAB。A1 A2B1B2A1 A2B1B2A1 A2B1B2例：考虑氮肥（例：考虑氮肥（N N）和磷肥（）和磷肥（P P）对豆类增产的效果）对豆类增产的效果因素各水平联合作用表因素各水平联合作用表
40、 N P P1 N P P10 P20 P24 4 N1 N10 400 4500 400 450 N2 N26 430 5606 430 560 从表中可以看出，加从表中可以看出，加4 4斤磷肥，亩产增加斤磷肥，亩产增加5050斤；加斤；加6 6斤氮肥，斤氮肥，亩产增加亩产增加3030斤；而同时加两种肥料，亩产增加斤；而同时加两种肥料，亩产增加160160斤，而不等于斤，而不等于分别增加的分别增加的 50 5030308080斤。这就是交互作用，记作斤。这就是交互作用，记作NxPNxP。这里这里NxPNxP起加强作用，大小为：起加强作用，大小为：（560560400400）（）（430430
41、400400）（）（450450400400）=80=80（斤）（斤）单个单个单个单个因子的影响与其交互作用的影响比較因子的影响与其交互作用的影响比較因子的影响与其交互作用的影响比較因子的影响与其交互作用的影响比較 30303030 m m m m5050KgKg 磷磷25 25 25 25 m m m m5050KgKg 钾钾2020kgkg 磷磷3030kgkg 钾钾40 40 m m交互作用交互作用交互作用交互作用=总效果总效果总效果总效果-(20-(20-(20-(20kg kg kg kg 磷的效果磷的效果磷的效果磷的效果+30+30+30+30kg kg kg kg 钾钾钾钾的效果
42、的效果的效果的效果)正交表交互作用表的使用（以正交表交互作用表的使用（以L L8 8(2(27 7)为例）为例）1234567列号列号(1)3254761(2)167452(3)76543(4)1234(5)325(6)16(7)7如需要查第如需要查第1 1列和第列和第2 2列的交互作用列，则列的交互作用列，则从从(1)(1)横向右看，横向右看，从从(2)(2)竖向上看，竖向上看，它们的交叉点为它们的交叉点为3 3。第第3 3列就是列就是1 1列与列与2 2列的交互作用列。如果第列的交互作用列。如果第1 1列排列排A A因素，第因素，第2 2列排列排B B因素，第因素，第3 3列则需要反映它们
43、的交互作用列则需要反映它们的交互作用ABAB，就不能，就不能在第在第3 3列安排列安排C C因素或者其它因素，这称为因素或者其它因素，这称为不能混杂。不能混杂。例例7:7:为提高某种农药的吸收率，需要进行试验。为提高某种农药的吸收率，需要进行试验。1 1、试验的设计、试验的设计 试试验验设设计计的的步步骤骤类类似似于于无无交交互互作作用用的的情情况况，但但某些步骤有些差异。某些步骤有些差异。（1 1）明确试验目的：提高农药的吸收率。）明确试验目的：提高农药的吸收率。（2 2）明明确确试试验验指指标标：试试验验指指标标为为吸吸收收率率，该该指指标越高越好。标越高越好。2、确定因素的水平，考虑可能
44、的交互作用、确定因素的水平，考虑可能的交互作用经分析，影响农药吸收率的因素有经分析，影响农药吸收率的因素有4个：反应温度个：反应温度A、反应、反应时间时间B、两种原料配比、两种原料配比C以及真空度以及真空度D。根据经验，反应温度和。根据经验，反应温度和反应时间的交互作用对吸收率的影响较大。因此，本试验要考反应时间的交互作用对吸收率的影响较大。因此，本试验要考虑两者的交互作用。因素水平表如下：虑两者的交互作用。因素水平表如下：3、选择合适的正交表，进行表头设计，列出试验计划、选择合适的正交表，进行表头设计，列出试验计划根据所考察因素的水平数，选择一类正交表。本例中的因根据所考察因素的水平数，选择
45、一类正交表。本例中的因素均有素均有2个水平，且有交互作用。因此，在选择正交表时应给交个水平，且有交互作用。因此，在选择正交表时应给交互作用留有位置。在二水平场合，一个交互作用可以看成是一互作用留有位置。在二水平场合，一个交互作用可以看成是一个个2水平因素。因此，本试验要考虑水平因素。因此，本试验要考虑5个个2水平因素。故选择交互水平因素。故选择交互作用表作用表L8(27)较为合适。如下：较为合适。如下：设计好表头之后，下一步就是编写试验计划了。将各因素设计好表头之后，下一步就是编写试验计划了。将各因素及交互作用放到各列上，将表中对应的水平及交互作用放到各列上，将表中对应的水平“2”和和“2”改
46、写改写成实际的试验条件即可。按试验计划进行试验便可得到试验结成实际的试验条件即可。按试验计划进行试验便可得到试验结果。如下：果。如下：4、数据分析、数据分析（1）方差分析）方差分析后一等式仅在二水平正交表中成立后一等式仅在二水平正交表中成立 各因素、交互作用、误差的偏差平方和与相应的自由度计算各因素、交互作用、误差的偏差平方和与相应的自由度计算结果见下表所示。结果见下表所示。由表中可知，因素由表中可知，因素C C与交互作用与交互作用ABAB对指标有显著影响。对指标有显著影响。（2）最佳条件的选择）最佳条件的选择对影响显著的因素，可通过比较其两水平下数据的均值对影响显著的因素，可通过比较其两水平
47、下数据的均值或数据的和得到最佳水平。从上表中可知，因素或数据的和得到最佳水平。从上表中可知，因素C取其取其C2水平水平最好。当两因素的交互作用影响显著时，可不考虑每一个因素最好。当两因素的交互作用影响显著时，可不考虑每一个因素的影响。对显著的交互作用，先计算两因素在不同水平搭配下的影响。对显著的交互作用，先计算两因素在不同水平搭配下数据的均值，再通过比较得出哪种水平组合最好。因此要计算数据的均值，再通过比较得出哪种水平组合最好。因此要计算AB在四种水平搭配下数据的均值（如下表所示）。在四种水平搭配下数据的均值（如下表所示）。由于农药的吸收率越高越好，因素由于农药的吸收率越高越好，因素A与与B的
48、搭的搭配以配以A2B1较好，因素较好，因素C的的C2水平最好，因素水平最好，因素D不显不显著，其水平可任取。因此，可得出一下结论：最佳著，其水平可任取。因此，可得出一下结论：最佳的试验条件是的试验条件是A2B1C2。实例：二水平有交互作用的正交实验设计与方差分析实例：二水平有交互作用的正交实验设计与方差分析例：某研究室研究影响某试剂回收率的三个因素，例：某研究室研究影响某试剂回收率的三个因素，包括温度、反应时间、原料配比，每个因素都为二包括温度、反应时间、原料配比，每个因素都为二水平，各因素及其水平见下页表水平，各因素及其水平见下页表1616。选用。选用L L8 8(2(27 7)正正交表进行
49、实验，实验结果见表交表进行实验，实验结果见表1717。首先计算首先计算I Ij j 与与IIIIj j ，I Ij j为第为第j j列第列第1 1水平各试验结果水平各试验结果取值之和，取值之和，IIIIj j为第为第j j列第列第2 2水平各试验结果取值之水平各试验结果取值之和。然后进行方差分析。过程为：和。然后进行方差分析。过程为：求：总离差平方和求：总离差平方和 各列离差平方和各列离差平方和 S Sj j=本例各列离均差平方和见表本例各列离均差平方和见表1010最底部一行。即各最底部一行。即各空列空列S Sj j之和。即误差平方和之和。即误差平方和 自由度自由度v v为各列水平数减为各列水
50、平数减1 1，交互作用项的自由，交互作用项的自由度为相交因素自由度的乘积。分析结果见表度为相交因素自由度的乘积。分析结果见表1818。从上表看出，在从上表看出，在0.050.05水准上，只有水准上，只有C C因因素与素与ABAB交互作用有统计学意义，其余各因交互作用有统计学意义，其余各因素均无统计学意义，素均无统计学意义，A A因素影响最小，考虑因素影响最小，考虑到交互作用到交互作用ABAB的影响较大，且它们的二水的影响较大，且它们的二水平为优。在平为优。在C C2 2的情况下，的情况下，有有B B1 1A A2 2和和B B1 1，A A1 1两两种组合状况下的回收率最高。考虑到种组合状况下