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1、2022年湖南省衡阳市耒阳市大和圩中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“直线垂直于直线”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：C2. 抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足AFB=设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是（） A B C D 参考答案：C考点： 抛物线的简单性质专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中
2、位线定理，得2|MN|=a+b再由余弦定理得|AB|2=a2+b2+ab，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值解答： 解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得|AB|2=a2+b22abcos=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2ab，又ab（ ） 2，（a+b）2ab（a+b）2（ ） 2=（a+b）2得到|AB|（a+b）所以=，即的最大值为故选C点评： 本题给出抛物线的弦AB对焦点
3、F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题3. 有件产品编号从到,现在从中抽取件检验,用系统抽样确定所抽取的编号为( ) A BC D参考答案：D解析： 间隔为4. 不等式的解集为（ ）A（0，2） B（2，0）（2，4） C（4，0） D（4，2）（0，2） 参考答案：D5. 已知函数，其中为非零实数，为两个不相等的正数，且，若为等差数列，则（ ） A. B. C. D. 的正负与的正负有关参考答案：A6. 已知向量是与单位向量夹角为的任意向量，则对任意的正实数，的最小值是（ ）A
4、0 B C D1参考答案：C略7. 已知函数，给出以下四个命题，其中为真命题的是 （ ）A若，则B在区间上是增函数高考资源网C直线是函数图象的一条对称轴D函数的图象可由的图象向右平移个单位得到参考答案：C略8. 若f（x）=x2+2（a1）x+2在区间（，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（）Aa3Ba3Ca3Da3参考答案：C【考点】3W：二次函数的性质【分析】先由f（x）=x2+2（a1）x+2得到其对称，再由f（x）在区间（，4）上是减函数，则对称轴在区间的右侧，所以有1a4，计算得到结果【解答】解：f（x）=x2+2（a1）x+2的对称轴为x=1a，f（x）在区间（，4）上是减函数，
5、开口向上，则只需1a4，即a3故选：C9. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）A BCD 参考答案：C10. 设xR，对于使x2+2xM成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做x2+2x的上确界若a，bR+，且a+b=1，则的上确界为（）A5B4CD参考答案：D【考点】二次函数的性质【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】由题意可知，求的是的最小值，并且a，b0，a+b=1，由此想到利用1的整体代换构造积为定值【解答】解： =+=+2=，（当且仅当a=b=时取到等号）（当且仅当a=b=时取到上确界）故选：D【点评】这是一个
6、常见的利用基本不等式求最值的问题，主要是利用题设构造积为定值的技巧二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是元参考答案：1200【考点】一次函数的性质与图象【专题】函数的性质及应用【分析】设每台彩电原价是x元，由题意可得 （1+40%）x?0.8x=144，解方程求得x的值，即为所求【解答】解：设每台彩电原价是x元，由题意可得 （1+40%）x?0.8x=144，解得 x=1200，故答案为 1200【点评】本题主要考查一次函数的性质应用，属于基础题12. 已知f（x）=，各项
7、都为正数的数列an满足a1=1，an+2=f（an），若a2010=a2012，则a1800+a15的值是参考答案：【考点】等比数列的通项公式【分析】题中给出了数列隔项递推公式，给出两个条件，一个用来解决偶数项，一个用来解决奇数项，即可得出【解答】解：f（x）=，各项均为正数的数列an满足a1=1，an+2=f（an），a1=1，a3=，a5=，a7=，a15=a2010=a2012，a2010=，a2010=（负值舍去），由a2010=，得a2008=，a1800=a1800+a15=故答案为：【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13
8、. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_.参考答案：函数的导数为，所以和是函数的两个极值，由题意知，极大值为，极小值为，所以要使函数有三个不同的零点，则有且，解得，即实数a的取值范围是。14. 某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有_种参考答案：60每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共 种.15. 设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是 参考答案：试题分析：假设函数图象上存在两点，,满足题意,则，两点只能在轴两侧,设
9、,则,因为是以为直角顶点的直角三角形,所以,即（1）,当时,代入（1）中,得,方程无解,故,所以,代入（1）中,得,设函数,则,所以函数在区间上为增函数,由题意有,所以有.考点：1.分段函数的应用；2.函数性质及应用；3.分析法解题.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用,用导数研究函数的单调性等,属于中档题. 本题方法:分析题意,由斜边的中点恰好在轴上，得出，两点只能在轴两侧,假设出，两点的坐标,由直角三角形,得出两向量垂直,坐标运算,求出关于的方程,由的不同范围,得到的表达式,利用导数研究单调性,求出的范围.16. 如图，矩形ABCD由两个正方形拼成，则CAE的正切值为参考答案：【考点】
10、三角形中的几何计算【分析】有已知矩形ABCD由两个正方形拼成，设正方形的边长为1，由图可知：CAD=DAD+CAE，利用两角和的正切公式即可求得【解答】解：因为矩形ABCD由两个正方形拼成，设正方形的边长为1，则在RtCAD中， =2，所以?故答案为：17. 在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知， 则cosA=( )A B C D参考答案：A略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数图象上任意两点，且x1+x2=1（）求y1+y2的值；（）若（其中nN*），求Tn；（）在（）的条件下，设
11、（nN*），若不等式an+an+1+an+2+a2n1loga（12a）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围参考答案：考点：函数恒成立问题；数列的函数特性；数列的求和343780 专题：等差数列与等比数列分析：（）根据已知条件A，B在函数f（x）上，代入求出y1和y2，再利用x1+x2=1进行化简求值；（）由（）可知，当x1+x2=1时，y1+y2=2，利用倒叙相加法进行求和；（）根据已知条件利用（nN）将要证明的命题进行转化，只要求出的最小值即可；解答：解：（）A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数图象上任意两点，且x1+x2=1y1+y2=2（4分）（）由（）可知，当x1+x2=1
12、时，y1+y2=2，由得，Tn=n+1（8分）（）由（）得，不等式an+an+1+an+2+a2n1loga（12a）即为，设Hn=，则 Hn+1=，数列Hn是单调递增数列，（Hn）min=T1=1，（10分）要使不等式恒成立，只需loga（12a）1，即loga（12a）logaa，或解得故使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是（12分）点评：此题考查函数的恒成立问题以及函数的数列特性，是一道综合题，本题计算量比较大，考查学生的计算能力，考查的知识点也比较全面；19. 为了检验学习情况，某培训机构于近期举办一场竞赛活动，分别从甲、乙两班各抽取10名学员的成绩进行统计分析，其成绩的茎叶
13、图如图所示（单位：分），假设成绩不低于90分者命名为“优秀学员”（1）分别求甲、乙两班学员成绩的平均分（结果保留一位小数）；（2）从甲班4名优秀学员中抽取两人，从乙班2名80分以下的学员中抽取一人，求三人平均分不低于90分的概率参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BA：茎叶图【分析】（1）由茎叶图能求出甲、乙两班学员成绩的平均分（2）列举法确定基本事件，即可求三人平均分不低于90分的概率【解答】解：（1）甲组的平均分为88.1；乙组的平均分为89.0（2）抽取情况为：92，94，78； 92，94，79； 92，106，78； 92，106，79；92，108，78；
14、92，108，79； 94，106，78； 94，106，79； 94，108，78；94，108，79； 106，108，78； 106，108，79总共有12种这12种平均分不低于90分的情况有10种所以三人平均分不低于90分的概率为20. （05年全国卷文）（12分）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。（）求甲坑不需要补种的概率；（）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；（）求有坑需要补种的概率。（精确到）参考答案：解析：（）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为
15、，所以甲坑不需要补种的概率为 （）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 （）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为，所以有坑需要补种的概率为 解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为恰有2个坑需要补种的概率为 3个坑都需要补种的概率为 所以有坑需要补种的概率为 21. 不等式选讲已知函数（1）当时，求函数的定义域；（2）当函数的值域为时，求实数的取值范围参考答案：解（1）当时，求函数的定义域，即解不等式 2分所以定义域为或 5分（2）设函数的定义域为，因为函数的值域为，所以 7分由绝对值三角不等式 9分所以 所以 10分略22. 已知关于的不等式（其中）（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数的取值范围参考答案：解：（1）当时，时，得（1）设，-7分（2）故，-8分（3）即的最小值为所以若使有解，只需，即