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1、广东省惠州市湖镇中学2022年高二数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）46，45，56 46，45，53 47，45，56 45，47，53参考答案：A略2. 若在区间3,3内任取一个实数m，则使直线与圆有公共点的概率为（ ）A B C. D参考答案：C3. 已知等差数列的前三项依次为，则此数列的通项公式为（ ）.（A）（B）（C）（D）参考答案：B4. 执行下面的程序框图，如果输入的N是6
2、，那么输出的p是()A120 B720C1440 D5040参考答案：B5. 设集合M1,2，Na2，则“a1”是“N?M”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件参考答案：A6. 在圆x2+y22x6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）ABCD参考答案：B【考点】圆的标准方程；两点间的距离公式【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角
3、形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x1）2+（y3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME=，所以BD=2BE=2=2，又ACBD，所以四边形ABCD的面积S=AC?BD=22=10故选B7. 极坐标系中，有点A和点B，曲线C2的极坐标方程为=，设M是曲线C2上的动点，则|MA|2+|MB|2的最大值是（ ）A24B26 C28 D30参考答案：BA，由=
4、，化为2（4+5sin2）=36，42+5（sin）2=36，化为4（x2+y2）+5y2=36，化为，设曲线C2上的动点M（3cos，2sin），|MA|2+|MB|2=+=18cos2+8sin2+8=10cos2+1626，当cos=1时，取得最大值26|MA|2+|MB|2的最大值是268. 下列命题中，为真命题的是（）A?x0R，使得0Bsinx+2(xk，kZ)C?xR，2xx2D若命题p：?x0R，使得x0+10，则p：?x0R，都有x2x+10参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据指数函数的性质，可判断A；求出的范围，可判断B；举出反例x=2，可判断C；写出原命题
5、的否定，可判断D【解答】解：恒成立，故A错误；，故B错误；当x=2时，2x=x2，故C错误；若命题p：?x0R，使得，则p：?x0R，都有x2x+10，则D正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了命题的否定，复合命题等知识点，难度基础9. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（ ）A. B. C. D.参考答案：C略10. 已知函数与x轴相切于点，且极大值为4，则等于（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：B【分析】由题意可知是的极值，再求导分析极值可知，从而得a，进而可求.【详解】由题意时，是的极值，所以.因为取得极值为0，极大值为4，所以当时取得极大
6、值，解得.所以，.故选B.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的极值，属于中档题.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数满足不等式组那么目标函数的最大值是 . 参考答案：412. 已知|2x1|+（y+2）2=0，则（xy）2016= 参考答案：1【考点】有理数指数幂的化简求值【分析】根据指数幂的运算法则计算即可【解答】解：|2x1|+（y+2）2=0，x=，y=2，xy=1，（xy）2016=1，故答案为：113. 已知=2，=3， =4，若=7，（a、b均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b= 参考答案：55【考点】类比推理【分析】
7、观察所给的等式，照此规律，第7个等式中：a=7，b=721=48，即可写出结果【解答】解：观察下列等式=2， =3， =4，照此规律，第7个等式中：a=7，b=721=48，a+b=55，故答案为：5514. 函数是上的单调函数，则的取值范围为 ;参考答案：15. 若复数为实数(为虚数单位)，则实数= 参考答案：略16. 设变量满足约束条件，则的最小值为 .参考答案： 略17. 已知关于x的不等式x2ax+2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 参考答案：（0，8）【考点】一元二次不等式的应用【专题】计算题；压轴题【分析】将关于x的不等式x2ax+2a0在R上恒成立，转化成0，从而得到关于a
8、的不等式，求得a的范围【解答】解：因为不等式x2ax+2a0在R上恒成立=（a）28a0，解得0a8故答案为：（0，8）【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 、在直角坐标系中，以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极方程为圆O的参数方程为，（为参数，）（1）求圆心的极坐标；（2）当为何值时，圆O上的点到直线的最大距离为3。参考答案：略19. （14分）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px（其中P为常数
9、，p0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2（）求抛物线W1，W2准线间的距离；（）证明：A1B1A2B2；（）若l1l2，求梯形A1A2B2B1面积的最小值参考答案：【考点】抛物线的简单性质【分析】（）根据抛物线的性质即可求出答案，（）设l1：y=k1x，代入抛物线方程，得A1，A2的横坐标分别是和，即可得到OA1B1OA2B2，即A1B1A2B2（）A（x1，y1）B（x2，y2），直线A1B1方程为x=ty+m1，根据韦达定理和直线垂直的关系得到直线A1B1方程为x=ty+2p，A2B2方程为x=ty+4p，再根据弦长公式和两直线之间的距离公式，以及梯形的面积公式即可求出答案【解答】解：
10、（）由已知，抛物线W1，W2的准线分别为x=和x=p，所以，抛物线W1，W2准线间的距离为（）设l1：y=k1x，代入抛物线方程，得A1，A2的横坐标分别是和=，同理=，所以OA1B1OA2B2，所以A1B1A2B2（）设A（x1，y1）B（x2，y2），直线A1B1方程为x=ty+m1，代入曲线y2=2px，得y22pty2pm1=0，所以y1+y2=2pt，y1y2=2pm1由l1l2，得x1x2+y1y2=0，又y12=2px1，y22=2px2，所以+y1y2=0，由y1y2=2pm1，得m1=2p所以直线A1B1方程为x=ty+2p，同理可求出直线A2B2方程为x=ty+4p，所以|
11、A1B1|=|y1y2|=2p?，|A2B2|=4p?，平行线A1B1与A2B2之间的距离为d=，所以梯形A1A2B2B1的面积12p2当t=0时，梯形A1A2B2B1的面积达最小，最小值为12p2【点评】本题考查了抛物线的性质直线和抛物线的位置关系，考查了学生的运算能力，以及转化能力，属于中档题20. 对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。对正整数k，规定为的k阶差分数列，其中。（1） 若数列首项，且满足，求数列的通项公式；（2） 对（1）中的数列，是否存在等差数列，使得对一切正整数都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，请说明理由；（3） 令，设，若恒成立，求最小的正整数M的值。 参
12、考答案：解析：（1）而可得， 2分是首项为，公差为的等差数列， ，() 4分（2）即：而又 所以 6分=故可得存在等差数列,使对一切正整数都成立。 8分（3）由（2）知 10分-得： 12分，递增 ，且。满足条件的最小的正整数M的值为6. 14分21. （本小题12分）在如图所示的四棱锥中，已知 PA平面ABCD， ，为的中点（）求证：MC平面PAD；（）求证：平面PAC平面PBC；（）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值 参考答案：解：（ ）如图，取PA的中点E，连接ME，DE，M为PB的中点，EM/AB,且EM= AB. 又，且，EM/DC，且EM=DC 四边形DCME为平行四边形, 则M
13、CDE，又平面PAD, 平面PAD所以MC平面PAD （）PA平面ABCD，PABC ，又,BC平面PAC，又平面PBC,所以，平面PAC平面PBC； （）取PC中点N，则MNBC由（）知BC平面PAC，则MN平面PAC所以，为直线MC与平面PAC所成角，22. （本小题10分）某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大， 试问如何设计矩形的长和宽？参考答案：解：设矩形的长为x m，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积是S 由题知：，且. 3分 ， 7分 当且仅当，即时等号成立，此时，=. 9分 答：设计矩形的长为100 m，宽约为63.7 m时，矩形面积最大。 10分略