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1、第第1讲讲 典型典型方程建立方程建立第1页，此课件共20页哦1.1.王元明王元明 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 东南大学数学系东南大学数学系2.2.谢鸿政等谢鸿政等 数学物理方程数学物理方程 哈尔滨工业大学数学系哈尔滨工业大学数学系3.3.谷超豪等谷超豪等 数学物理方程数学物理方程 复旦大学复旦大学数学系数学系4.4.王明新王明新 数学物理方程数学物理方程 哈尔滨工业大学数学系哈尔滨工业大学数学系第2页，此课件共20页哦课程内容：研究数学物理方程的建立、求课程内容：研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物理意义分析。解方法和解的物理意义分析。第3页，此课件共20页哦第一章第一
2、章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导第4页，此课件共20页哦1 1 基本方程的建立基本方程的建立导出数学物理方程的一般方法：导出数学物理方程的一般方法：n 确定所研究的物理量；建立适当的坐标系；划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达为数学式；简化整理，得到方程。第一章第一章第一章第一章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导第5页，此课件共20页哦例例 1 1.弦的微小横振动弦的微小横振动 设有一条拉紧的弦，长为设有一条拉紧的弦，长
3、为l l，平衡位置与，平衡位置与x x轴的正半轴轴的正半轴重合，且一端与原点重合重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。动状态。假设与结论：假设与结论：（1 1）横振动）横振动 坐标系 Oxu Oxu ，位移 u u(x,tx,t)x x x x1 1 1 1x x x x2 2 2 2T T T T(x x x x1 1 1 1)T T T T(x x x x2 2 2 2)u u u ux x （2 2）微小振动）微小振动第一章第一章第一章第一章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导
4、第6页，此课件共20页哦（3 3）弦柔软、均匀）弦柔软、均匀.张力张力 ,密度密度 ；建立方程建立方程：取微元 MM，研究在水平方向和垂直方向 MM 在不受外力的情况下的运动情况。u ux xT T T T(x x x x)MMMMMMMM x x x xx x+d dx x第一章第一章第一章第一章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导第7页，此课件共20页哦牛顿运动定律：牛顿运动定律：F F=m m a a作用在弧作用在弧段段 上的水平方向的力为上的水平方向的力为 倾角很小，即倾角很小，即 近似得近似得 垂直方向的力为垂直方向的力为
5、（1）第一章第一章第一章第一章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导于是等式（于是等式（1 1）变成）变成由微积分知识可知，在时刻由微积分知识可知，在时刻t t 有有（2）等式（等式（2 2）可以写成）可以写成u ux xT T T T(x x x x)MMMMMMMM x x x xx x+d dx x由于令令 ，取极限得取极限得略去重力，可得方程略去重力，可得方程其中其中(3)(3)第8页，此课件共20页哦弦振动方程（弦振动方程（3 3）中只含有两个自变量）中只含有两个自变量 和和 ，其中，其中 表示时间表示时间，表示位置表示位置
6、。由于它们描述的是弦的振动或由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为波动现象，因而又称为一维波动方程一维波动方程。注注1.1.如果在弦的每单位长度上有如果在弦的每单位长度上有 外力作用，则方程外力作用，则方程（3 3）具有下列形式：）具有下列形式：（4）其中其中，而外力可以是压力、重力、阻力等。，而外力可以是压力、重力、阻力等。第一章第一章第一章第一章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导注注2 2.第9页，此课件共20页哦例例 2.2.传输线方程传输线方程 研究高频传输线内电流流动规律。研究高频传输线内电流流动规律。第一章第一
7、章第一章第一章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导待研究物理量:电流强度 i(x,t),电压 v(x,t)R R 每一回路单位的串联电阻每一回路单位的串联电阻,L L 每一回路单位的串联电感，每一回路单位的串联电感，C C 每单位长度的分路电容，每单位长度的分路电容，G G 每单位长度的分路电导，每单位长度的分路电导，第10页，此课件共20页哦第一章第一章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导Kirchhoff 第一,二定律微分两端对两端对x x微分微分两端对两端对t t微分微分*C C相减相减 传输线方程高频传输，G
8、G=0,R R=0高频传输线方程与一维波动方 程 类 似第11页，此课件共20页哦 例3.声学方程 第一章第一章 数数学学物理物理方程方程的的导导出和定解出和定解问题问题Lapalce算子三维波动方程 第12页，此课件共20页哦第一章 数学物理方程的导出和定解问题 例例4 4 静电场的势方程静电场的势方程 在区域 内,静电场强度为 ,介电常数 ,电荷密度为 ,求静电场的势满足的方程即奥氏公式故第13页，此课件共20页哦第一章 数学物理方程的导出和定解问题故即 Laplace方程 Poisson方程当内没有电荷时静电场是有势场，故存在势函数u,有第14页，此课件共20页哦 例 5.热传导方程奥高
9、公式第一章第一章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导,21tt内，通过曲面S S流进V V的热量 第15页，此课件共20页哦其中 分别是物体的比热和密度。第一章第一章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导热量守恒定理 化简三维齐次热传导方程 第16页，此课件共20页哦如果所考察的物体内部有热源如果所考察的物体内部有热源 ,则热则热传导方程为传导方程为其中其中第一章第一章第一章第一章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导第17页，此课件共20页哦二维热传导方程 维热传导方程 第一章第一章 典型方程和定解条件的推
10、导典型方程和定解条件的推导三维热传导方程 第18页，此课件共20页哦 当我们考察气体的扩散当我们考察气体的扩散,液体的渗透液体的渗透,半导体材半导体材料中的杂质扩散等物理过程时料中的杂质扩散等物理过程时,若用若用 表示所扩散物表示所扩散物质的浓度质的浓度,则浓度所满足的方程形式和热传导方程完则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同全相同.所以热传导方程也叫所以热传导方程也叫扩散方程扩散方程.第一章第一章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导第19页，此课件共20页哦波动方程 声波、电磁波、杆的振动；热传导方程 物质扩散时的浓度变化规律,长海峡中潮汐波的运动，土壤力学中的渗透方程;Laplace方程 稳定的浓度分布,静电场的 电位,流体的势.总总 结：结：第一章第一章第一章第一章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导第20页，此课件共20页哦