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1、行列式计算方法小结第1页，共34页，编辑于2022年，星期二 行列式的计算方法小结可从计算可从计算方法方法和行列式和行列式特征特征两个角度总结两个角度总结。1.直接用定义直接用定义（非零元素（非零元素很少很少时可用）时可用）2.化三角形行列式法化三角形行列式法此法特点：此法特点：(2)灵活性差，死板。灵活性差，死板。(1)程序化明显，对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的程序化明显，对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的(2)字母行列式适用。字母行列式适用。3.降阶法降阶法利用性质，将某行利用性质，将某行(列列)的元尽可能化为的元尽可能化为0，然后，然后按行按行(列列)展开展开.此法灵活多变，易于
2、操作，是最常用的手法。此法灵活多变，易于操作，是最常用的手法。一一.方法方法第2页，共34页，编辑于2022年，星期二*4.递推公式法递推公式法 (见附录见附录1)*5、数学归纳法、数学归纳法 (见附录见附录2)*6.加边法（升阶）加边法（升阶）(见附录见附录3)第3页，共34页，编辑于2022年，星期二二、特征二、特征 .阶数不算高的数字行列式，可化为三角形行列式或结阶数不算高的数字行列式，可化为三角形行列式或结合展开定理计算合展开定理计算.非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法。非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法。一些特殊行列式的计算（包括一些重要结果）一些特殊行列式的计算（包
3、括一些重要结果）第4页，共34页，编辑于2022年，星期二例例1.“箭形箭形”行列式行列式 化成三角形行列式化成三角形行列式如如:练习册练习册P.2 6(2)题题第5页，共34页，编辑于2022年，星期二例例2.除对角线以外各行元素对应相同除对角线以外各行元素对应相同,可化成三角形行列式或可化成三角形行列式或箭形行列式箭形行列式另另可化箭形行列式可化箭形行列式如如 P.20 例例8第6页，共34页，编辑于2022年，星期二例例 P.41 33题题n阶n-1阶n-1阶3.某行（列）至多有两个非零元素的行列式，可用某行（列）至多有两个非零元素的行列式，可用降降 阶阶法法或定义或递推公式法或归纳法或
4、定义或递推公式法或归纳法第7页，共34页，编辑于2022年，星期二4.各行各行(列列)总和相等的行列式总和相等的行列式 (赶鸭子法赶鸭子法)例例 计算行列式计算行列式(P.18 a 换为换为y)第8页，共34页，编辑于2022年，星期二*或或 y 乘第乘第1列加到后面各列：列加到后面各列：*第9页，共34页，编辑于2022年，星期二例如例如 (P.37 13(4)，P.38 17(3),21,P.39 25(2)题题如：如：P.39 22题题,25(3)题题1列列(行行)“1”的巧妙利用的巧妙利用第10页，共34页，编辑于2022年，星期二5 范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式
5、（重要结果）（重要结果）第11页，共34页，编辑于2022年，星期二将一不含将一不含的非零元化成零，某行的非零元化成零，某行可能可能会出现公会出现公因子，提公因子，可降次。因子，提公因子，可降次。6.部分对角线上含参数的行列式部分对角线上含参数的行列式例例 为何值时为何值时,D=0?第12页，共34页，编辑于2022年，星期二*附附录录1.递推公式法递推公式法特征：特征：某行（列）至多有两个非零元素某行（列）至多有两个非零元素。方法：方法：按此行（列）展开，按此行（列）展开，可能可能会导出递推公式。会导出递推公式。第13页，共34页，编辑于2022年，星期二例例1按按第一行第一行展开好，还是展
6、开好，还是按按第一列第一列展开好？展开好？n-1阶第14页，共34页，编辑于2022年，星期二由此得递推公式：由此得递推公式：因此有因此有：D2=?解法解法2：从最后一列开始每列乘以从最后一列开始每列乘以x加到前一列，再按第一列展开。加到前一列，再按第一列展开。第15页，共34页，编辑于2022年，星期二例例2 第16页，共34页，编辑于2022年，星期二由此可得递推公式：由此可得递推公式：因此有因此有又因为又因为故故则则递推公式法的递推公式法的 步骤：步骤：1.降阶，得到递推公式；降阶，得到递推公式；2.利用高中有关数列的知识，求出行列式利用高中有关数列的知识，求出行列式 。技巧！第17页，
7、共34页，编辑于2022年，星期二附附录录2、数学归纳法、数学归纳法例例 证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式第18页，共34页，编辑于2022年，星期二证明证明(数学归纳法数学归纳法)，结论成立。，结论成立。按第按第1列展开列展开第19页，共34页，编辑于2022年，星期二根据归纳假设有：根据归纳假设有：综上所述，结论成立综上所述，结论成立 。第20页，共34页，编辑于2022年，星期二附附录录3.加边法（升阶）加边法（升阶）要点：要点：将行列式加一行一列，利用所加的一行（列）将行列式加一行一列，利用所加的一行（列）元素元素，将行列式化成三角形行列式。，将行列式化成三角
8、形行列式。例例 用加边法计算用加边法计算n+1阶还可用赶鸭子法！还可用赶鸭子法！第21页，共34页，编辑于2022年，星期二将第将第1行的行的(-1)倍分别加到第倍分别加到第2行，第行，第3行，行，.，第，第n+1行得：行得：(1)若若m=0，则，则n+1阶“箭形箭形”行列式行列式从加边前的从加边前的Dn 得出得出第22页，共34页，编辑于2022年，星期二第23页，共34页，编辑于2022年，星期二 综合练习题2.用多种方法计算下列行列式用多种方法计算下列行列式(2).(3).(1).第24页，共34页，编辑于2022年，星期二3.计算行列式计算行列式设设m阶行列式阶行列式|A|=a,n阶行
9、列式阶行列式|B|=b,*4.计算行列式计算行列式第25页，共34页，编辑于2022年，星期二 综合练习题解答因此因此,因为因为:对于任何两个数码对于任何两个数码 ,在一排列中要么在一排列中要么构成逆序构成逆序,要么不构成逆序要么不构成逆序.如如:第26页，共34页，编辑于2022年，星期二2.(1)解法一：解法一：化成三角形行列式化成三角形行列式解法二解法二：把：把 化成化成0,再按第三行展开再按第三行展开第27页，共34页，编辑于2022年，星期二解法三：解法三：第28页，共34页，编辑于2022年，星期二(2).计算行列式计算行列式解法一：解法一：解法二：解法二：注意：注意：若按图示法计
10、算不易化简。若按图示法计算不易化简。第29页，共34页，编辑于2022年，星期二(3).解法一解法一第30页，共34页，编辑于2022年，星期二解法二解法二:用赶鸭子法用赶鸭子法,提公因子提公因子化三角化三角形行列形行列式或降式或降成二阶成二阶第31页，共34页，编辑于2022年，星期二3.计算行列式计算行列式设设m阶行列式阶行列式|A|=a,n阶行列式阶行列式|B|=b,解解将第将第n+1列作列作n次相邻交换，到第次相邻交换，到第1列，列，将第，将第n+m列列作作n次相邻交换，到第次相邻交换，到第m列列,共作了共作了mn次列交换，得：次列交换，得：第32页，共34页，编辑于2022年，星期二*4.计算行列式计算行列式解解利用利用一行一行“1”第33页，共34页，编辑于2022年，星期二另一解法见学习指导书。另一解法见学习指导书。第34页，共34页，编辑于2022年，星期二