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1、1.1.了解定了解定积积分的基本思想分的基本思想“以直代曲以直代曲”“”“逼近逼近”的思想的思想.（重点）（重点）2.“2.“以直代曲以直代曲”“”“逼近逼近”的思想的形成与求和符号的思想的形成与求和符号.（难难点）点）1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程 1.5.3 定积分的概念这些图形的面积该怎样计算？这些图形的面积该怎样计算？例题（阿基米德问题）：求由抛物例题（阿基米德问题）：求由抛物线线y=xy=x2 2与直线与直线x=1,y=0 x=1,y=0所围成的平面图形所围成的平面图形的面积的面积 Archimedes，约公元前公元前287年年约公元前约公元
2、前212年年问题问题1 1：我们是怎样计：我们是怎样计算圆的面积的？圆周率算圆的面积的？圆周率是如何确定的？是如何确定的？问题问题2 2：“割圆术割圆术”是是怎样操作的？对我们有怎样操作的？对我们有何启示？何启示？x xy y 1.1.曲曲边边梯形的概念：如梯形的概念：如图图所示，我所示，我们们把由直把由直线线x=a,x=b(ab),y=0 x=a,x=b(ab),y=0和曲和曲线线y=f(x)y=f(x)所所围围成的成的图图形称形称为为曲曲边边梯形梯形 如何求曲边梯如何求曲边梯形的面积？形的面积？abf(a)f(b)y=f(x)xyO 对任意一个小曲边梯形，用对任意一个小曲边梯形，用“直边直
3、边”代替代替“曲边曲边”（即在很小范围内以直代曲（即在很小范围内以直代曲)探究探究1:曲曲边边梯形的面梯形的面积积 直线直线x x 1 1，y y 0 0及曲线及曲线y y x x2 2所围成的图形（曲边所围成的图形（曲边梯形）面积梯形）面积S S是怎么计算？是怎么计算？为了计算曲边梯形的面积为了计算曲边梯形的面积S S，将它分割成许多小曲边梯形，将它分割成许多小曲边梯形，x yO1方案方案1 1方案方案2 2方案方案3 3解题思想解题思想“细分割、近似和、渐逼近细分割、近似和、渐逼近”下面用第一种方案下面用第一种方案“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程（1 1）分割）分割把区间把
4、区间00，11等分成等分成n n个小区间：个小区间：过各区间端点作过各区间端点作x x轴的垂线，轴的垂线，从而得到从而得到n n个小曲边梯形，它个小曲边梯形，它们的面积分别记作们的面积分别记作每个区间长度为每个区间长度为（2 2）近似代替近似代替（3 3）求和）求和(i=1,2,n)(i=1,2,n)（4 4）取极限）取极限演示演示区间区间0,10,1的等分数的等分数n nS S的近似值的近似值S Sn n2 20.125 000 000.125 000 004 40.218 750 000.218 750 008 80.273 437 500.273 437 5016160.302 734
5、380.302 734 3832320.317 871 090.317 871 0964640.325 561 520.325 561 521281280.329 437 260.329 437 262562560.331 382 750.331 382 755125120.332 357 410.332 357 41102410240.332 845 210.332 845 21204820480.333 089 230.333 089 23我们还可以从数值上看出这一变化趋势我们还可以从数值上看出这一变化趋势分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限一般地，对于曲边梯形，我们也可采用一般地
6、，对于曲边梯形，我们也可采用的方法，求其面积的方法，求其面积.思考思考1 1：已知物体运动路程与时间的关系：已知物体运动路程与时间的关系,怎样求物体的怎样求物体的运动速度？运动速度？探究探究2：汽汽车车行行驶驶的路程的路程思考思考2 2：已知物体运动速度为：已知物体运动速度为v v(常量常量)及时间及时间t t，怎么，怎么求路程？求路程？O Ov t t 12探究探究3：定定积积分的定分的定义义 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过以下四步以下四步:分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限得到解得到解决决.2.2.定积分的定义定积分的定义 定积分
7、的定义的理解定积分的定义的理解:定积分的相关名称：定积分的相关名称：叫做积分号，叫做积分号，f(x)叫做被积函数，叫做被积函数，f(x)dx 叫做被积式，叫做被积式，x 叫做积分变量，叫做积分变量，a 叫做积分下限，叫做积分下限，b 叫做积分上限，叫做积分上限，a,b 叫做积分区间叫做积分区间.被积函数被积函数被积式被积式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限Ox yab yf(x)按定积分的几何意义，有按定积分的几何意义，有 (1)(1)由连续曲线由连续曲线y=f(x)(f(x)y=f(x)(f(x)0)0)，直线，直线x=ax=a、x=bx=b及及x x轴所围成的曲边梯形的面积为
8、轴所围成的曲边梯形的面积为 (2)(2)设设物物体体运运动动的的速速度度v=v(t)v=v(t)，则则此此物物体体在在时时间间区区间间a,ba,b内运动的距离内运动的距离s s为为1x yOf(x)=x2 根根据据定定积积分分的的定定义义，右右边边图图形形的面积为的面积为 同样地，同样地，1.5.21.5.2中汽车在中汽车在0t10t1这段时间内经过的路程这段时间内经过的路程 (1)(1)定定积积分分是是一一个个数数值值,它它只只与与被被积积函函数数及及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即总结提升：总结提升：(2)(2)定义中区间的分法和定义中区间的
9、分法和 i i的取法是任意的的取法是任意的.x yO 当当f(x)f(x)0 0时，由时，由y y f(x)f(x)、x x a a、x x b b 与与 x x 轴轴所围成的曲边梯形位于所围成的曲边梯形位于 x x 轴的下方，轴的下方，ab yf(x)y-f(x)-Sab yf(x)Ox y 根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表如何用定积分表示图中阴影部分的面积示图中阴影部分的面积?b yf(x)Ox y探究探究5：用定用定积积分表示分表示图图中阴影部分的面中阴影部分的面积积a探究探究4:定定积积分的基本性分的基本性质质 性性质质1 性性质质2(k(k为常数为常数)性性质
10、质3.定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性Ox yab yf(x)(其中其中a ac cb)b)性质性质3 不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)cOx y1.1.用定积分表示图中四个阴影部分面积用定积分表示图中四个阴影部分面积解：解：0ayxf(x)=x20 xyx-12f(x)=x2x-10yxabf(x)=10yx-12f(x)=(x-1)2-1解：解：xyf(x)=sinx1-12.2.3.3.面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的1.1.求曲求曲边边梯形面梯形面积积分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限2.2.定定积积分定分定义义3.3.定定积积分几何意分几何意义义4.4.定定积积分分计计算性算性质质总结提升：总结提升：求由连续曲线求由连续曲线y y=f f(x x)对应的曲边梯形面积对应的曲边梯形面积的方法的方法（1 1）分割分割 （2 2）近似代替近似代替 （3 3）求和求和 （4 4）取极限取极限 CC1.1.求曲边梯形面积的求曲边梯形面积的“四个步骤四个步骤”：11分割分割化整为零化整为零22近似代替近似代替以直代曲以直代曲33求和求和积零为整积零为整44取极限取极限刨光磨平刨光磨平 不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。荀子劝学演讲完毕，谢谢观看！