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1、极限与连续第1页，此课件共77页哦2.数列的极限数列的极限如果当n 无限增大时,xn 无限地接近于常数 a,那末称 a 为数列xn的极限。第2页，此课件共77页哦定义定义：设一数列xn和一个常数 a,如果对于任意给定的正数（不任多么小）,总存在正整数 N，使得对于满足 n N 的一切 xn 都有|xn a|Na+a第11页，此课件共77页哦3.收敛数列的性质收敛数列的性质定理1（唯一性）若数列xn收敛，则其极限值唯一。第12页，此课件共77页哦定理2（有界性）收敛数列必有界()AB第13页，此课件共77页哦0a()第14页，此课件共77页哦4.极限存在准则极限存在准则准则1.单调有界数列必有极
2、限。有界是数列收敛的必要条件，单调有界是数列收敛的充分条件。第15页，此课件共77页哦第16页，此课件共77页哦第17页，此课件共77页哦第18页，此课件共77页哦第19页，此课件共77页哦第20页，此课件共77页哦第21页，此课件共77页哦例9.判别数列xn的敛散性第22页，此课件共77页哦2.2.函数的极限函数的极限“X”定义可简记为：1.1.当当x时函数的极限时函数的极限定义1.设有一函数 f(x)，对于绝对值无任怎样大的 x 值是有定义的，A为一常数，如果对于任意给定的正数，总存在一个正数 x，使得当|x|X时，恒有|f(x)A|0,当|x|X时，函数位于这两条直线之间。在定义1中，把
3、|x|改为 x，即得 x+时的极限把|x|改为-x，即得 x-时的极限X-X0 xyA+A-A第26页，此课件共77页哦无极限举例：第27页，此课件共77页哦2.当当 x x0 时函数的极限。时函数的极限。“-”定义可简记为：定义2.设 f(x)在点 x0 的某个邻域内有定义（x0 本身可除外）且A为一常数，如果对于任意给定的正数，总存在一个正数，使得当 0|x-x0|时,|f(x)-A|0,当 0|x x0|时，函数位于两直线之间。x0-x0+0 xyAA+A-x0第33页，此课件共77页哦定理2（函数极限的保号性）左、右极限第34页，此课件共77页哦第35页，此课件共77页哦=1?第36页
4、，此课件共77页哦无极限举例 在讨论分段函数的分割点的极限时，一定要考虑左、右极限。第37页，此课件共77页哦“0”是作为无穷小的唯一的常数。3.3.无穷小和无穷大无穷小和无穷大1.1.无穷小无穷小定义：极限为零的数列和函数称为无穷小。第38页，此课件共77页哦定理2.设 为无穷小，u 有界，则 u 也是无穷小。推论1.常数乘以无穷小仍是无穷小。推论2.无穷小乘以无穷小仍是无穷小。推论：有限个无穷小的和仍为无穷小。有限个无穷小的乘积仍是无穷小。定理1.设 和 为无穷小，则 也是无穷小第39页，此课件共77页哦定理3(极限与无穷小的关系)第40页，此课件共77页哦定义：绝对值无限增大的数列或函数
5、称为无穷大。2.无穷大无穷大注意：无穷大与无界的区别。第41页，此课件共77页哦第42页，此课件共77页哦4.4.极限运算法则极限运算法则第43页，此课件共77页哦第44页，此课件共77页哦第45页，此课件共77页哦第46页，此课件共77页哦1.1.两个重要极限两个重要极限5.5.两个重要极限两个重要极限定理1（函数的夹逼定理）0 xAPBC第47页，此课件共77页哦第48页，此课件共77页哦第49页，此课件共77页哦第50页，此课件共77页哦第51页，此课件共77页哦第52页，此课件共77页哦第53页，此课件共77页哦第54页，此课件共77页哦第55页，此课件共77页哦两个无穷小的商实际反映
6、了在变化过程中趋于零的速度快慢程度。为此引入定义两个无穷小的代数和、积仍为无穷小，那么两个无穷小的商会是什么样呢？2.无穷小的比较无穷小的比较第56页，此课件共77页哦第57页，此课件共77页哦3.无穷小的主部无穷小的主部第58页，此课件共77页哦.等阶无穷小的代换定理等阶无穷小的代换定理第59页，此课件共77页哦当 x 0 时，常见的等价无穷小第60页，此课件共77页哦第61页，此课件共77页哦 6.函数的连续性函数的连续性连续的三个要素：1.函数的连续性函数的连续性定义1设函数 f(x)在点 x0 的某个邻域内有定义,如果当自变量增量 x 趋于零时，对应的函数增量y=f(x0+x)f(x0
7、)也趋于零，那末称函数 f(x)在 x0 处连续。f(x)在 x0 点处有定义、有极限、极限值等于函数值。第62页，此课件共77页哦定理1.函数 f(x)在点 x0 处连续的充要条件是：函数 f(x)在点 x0 处既左连续又右连续。左、右连续第63页，此课件共77页哦第64页，此课件共77页哦如果 f(x)在(a,b)内任意一点连续，则称 f(x)在(a,b)上连续，或称 f(x)为(a,b)上的连续函数。如果 f(x)在(a,b)上连续，且在 x=a 右连续，在 x=b 处左连续，则称 f(x)在 a,b 上连续。第65页，此课件共77页哦第66页，此课件共77页哦.函数的间断点函数的间断点
8、间断点的常见类型如果函数连续的三个要素中有一个不满足，那末称 f(x)在 x0 处间断。无穷间断点震荡间断点第67页，此课件共77页哦左、右极限均存在的间断点,称为第一类间断点，其余的间断点,称为第二类间断点。跳跃间断点可去间断点第68页，此课件共77页哦第69页，此课件共77页哦2.连续函数的运算及初等函数的连续性连续函数的运算及初等函数的连续性第70页，此课件共77页哦定理4.如果函数 y=f(x)在某个区间上严格单调增(或降)且连续，那末它的反函数 x=(y)在对应的区间上也严格单调增(或降)且连续。推论：闭区间上的连续函数是有界函数。定理5.(最大值、最小值定理).闭区间连续函数的性质
9、闭区间连续函数的性质结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。闭区间上连续的函数至少取得最大值，最小值各一次。第71页，此课件共77页哦定理 6.(介值定理)推论 2闭区间上连续函数必可取得介于最大值最小值之间的任何值推论 1(零值定理)如果 f(x)在 a,b 上连续，且 f(a)f(b)0,那末在开区间(a,b)内至少存在一点 使得f()=0(a b)闭区间上连续的函数可取得介于端点值之间的任意值。第72页，此课件共77页哦第73页，此课件共77页哦第74页，此课件共77页哦第二章第二章 重点练习题重点练习题2.求下列函数的极限求下列函数的极限1.用定义证明下列极限用定义证明下列极限第75页，此课件共77页哦3.确定常数 k 使 f(x)连续第76页，此课件共77页哦4.证明题证明题第77页，此课件共77页哦