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1、线性系统的根轨迹分析法第1页，共102页，编辑于2022年，星期一回顾与展望回顾与展望线性系统分析的三种方法：线性系统分析的三种方法：时间域法时间域法根轨迹法根轨迹法频域法频域法时间域法：时间域法：特点：直观、准确，能提供系统时间响应的全部信息。特点：直观、准确，能提供系统时间响应的全部信息。内容：稳定性分析充要条件（闭环系统特征根均具有负内容：稳定性分析充要条件（闭环系统特征根均具有负实部）实部）劳斯稳定判据（劳斯表首列各值为正）用闭环特劳斯稳定判据（劳斯表首列各值为正）用闭环特征方程构造劳斯表征方程构造劳斯表赫尔维茨判据（行列式法）用闭环特征方程构造赫尔维茨判据（行列式法）用闭环特征方程构
2、造行列式行列式第2页，共102页，编辑于2022年，星期一准确性分析稳态误差的计算准确性分析稳态误差的计算动态性能分析系统动态性能随系统闭环极点位置动态性能分析系统动态性能随系统闭环极点位置变化的规律；附加开环零极点对系统性能的影响；变化的规律；附加开环零极点对系统性能的影响；附加闭环零极点对系统性能的影响。附加闭环零极点对系统性能的影响。2、根轨迹法分析和设计、根轨迹法分析和设计LTI系统的图解方法，使用十分简便，系统的图解方法，使用十分简便，特别在进行多回路系统分析时，应用根轨迹法比用特别在进行多回路系统分析时，应用根轨迹法比用其它方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛其它方法更为方便，
3、因此在工程实践中获得了广泛应用。应用。第3页，共102页，编辑于2022年，星期一学习目的及要求：学习目的及要求：掌握根轨迹的基本概念掌握根轨迹的基本概念掌握控制系统根轨迹的绘制方法掌握控制系统根轨迹的绘制方法能够运用根轨迹法对控制系统进行分析能够运用根轨迹法对控制系统进行分析明确等效开环明确等效开环传递函数的概念，能正确传递函数的概念，能正确绘制出不同参量变化对系统根轨迹图绘制出不同参量变化对系统根轨迹图 第4页，共102页，编辑于2022年，星期一重点难点重点难点重点：根轨迹的绘制重点：根轨迹的绘制 利用根轨迹分析控制系统利用根轨迹分析控制系统关键点：特征方程关键点：特征方程幅值条件，相角
4、条件幅值条件，相角条件第5页，共102页，编辑于2022年，星期一学习方法学习方法 通过具体习题练习通过具体习题练习掌握根掌握根轨迹绘制方法，不要死记硬背轨迹绘制方法，不要死记硬背各种绘制法则，要多总结归纳各种绘制法则，要多总结归纳典型极、零点分布对根轨迹的典型极、零点分布对根轨迹的大致图形。大致图形。学会利用学会利用MATLABMATLAB软件绘制软件绘制系统根轨迹的方法。系统根轨迹的方法。用用 学学 习习第6页，共102页，编辑于2022年，星期一一、一、根轨迹的概念根轨迹的概念 根轨迹：根轨迹：开环系统开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根（
5、统特征方程式的根（闭环系统的极点闭环系统的极点）在）在S S平面上变化的轨平面上变化的轨迹。迹。ks(0.5s+1)例例 试分析右图所示系试分析右图所示系统的闭环特征方程式的根随统的闭环特征方程式的根随系统开环增益系统开环增益K K的变化在的变化在S S平平面的分布情况。面的分布情况。441 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念第7页，共102页，编辑于2022年，星期一K=0时，时，s1=0,s2=20k0.5时，两个负实根时，两个负实根；若；若s1=0.25,s2=?K=0.5时，时，s1=s2=10.5k时，时，s1,，2=1j2k1特征根：特征根：s1,2=112k特征方程：特征方
6、程：S2+2s+2k=0第8页，共102页，编辑于2022年，星期一-2-10j-1-221K=0K=0K=0.5K=1K=1K=2.5K=2.5KK注意注意：K一变，一组根变一变，一组根变；K一停，一组根停一停，一组根停；一组根对应同一个一组根对应同一个K；根轨迹与系统的性能根轨迹与系统的性能1、稳定性、稳定性2、稳态性、稳态性3、动态性能、动态性能第9页，共102页，编辑于2022年，星期一二、二、闭环零极点与开环零极点之间的关系闭环零极点与开环零极点之间的关系通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立开环零、极点与闭环零、极点通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立开环零、极点与闭环零、极
7、点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制。之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制。R(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)H(s)H(s)第10页，共102页，编辑于2022年，星期一系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为1)闭环系统根轨迹增益开环系统前向通路根轨迹增益。闭环系统根轨迹增益开环系统前向通路根轨迹增益。当当H(S)=1时，闭环系统根轨迹增益开环系统根轨迹增益。时，闭环系统根轨迹增益开环系统根轨迹增益。2)闭环零点的组成：开环前向通路的零点、反馈通路的极点。闭环零点的组成：开环前向通路的零点、反馈通路的极点。当当H(S)=1时，闭环零点就是开环零点。时，闭环零点就是开环零
8、点。3)闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K*有关。有关。第11页，共102页，编辑于2022年，星期一根轨迹法的基本任务：根轨迹法的基本任务：如何由已知的开环零点、极点的分布及根轨迹增益，通过图解如何由已知的开环零点、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点，并根据闭环极点的分布对系统性能进行分析。的方法找出闭环极点，并根据闭环极点的分布对系统性能进行分析。一旦确定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难确定，可直接由一旦确定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难确定，可直接由下式求得：下式求得：在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间
9、响应可利用在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接求解。拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接求解。第12页，共102页，编辑于2022年，星期一三、根轨迹方程三、根轨迹方程系统闭环传递函数为：系统闭环传递函数为：系统闭环极点即为特征方程的解：系统闭环极点即为特征方程的解：根轨迹方程根轨迹方程只要系统闭环特征方程可以化为只要系统闭环特征方程可以化为此形式，都可以绘制根轨迹，其中处此形式，都可以绘制根轨迹，其中处于变动地位的实参数，不限定是根轨于变动地位的实参数，不限定是根轨迹增益迹增益K*，也可以是其它变动参数。，也可以是其它变动参数。但是开环
10、零极点的在但是开环零极点的在S平面的位置必平面的位置必须是确定的，否则无法绘制根轨迹。须是确定的，否则无法绘制根轨迹。第13页，共102页，编辑于2022年，星期一模值条件模值条件相角条件相角条件第14页，共102页，编辑于2022年，星期一 综上分析，可以得到如下结论：综上分析，可以得到如下结论：绘绘制制根根轨轨迹迹的的相相角角条条件件与与系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益 值值 的的大大小小无无关关。即即在在s s平平面面上上，所所有有满满足足相相角角条条件件点点的的集集合合构构成成系系统统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的充要条件。的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的充要条件。绘制根
11、轨迹的绘制根轨迹的幅值条件幅值条件与系统开环根轨迹增益与系统开环根轨迹增益 值值的的大大小小有有关关。即即 值值的的变变化化会会改改变变系系统统的的闭闭环环极极点点在在s s平平面面上上的位置。的位置。在在系系数数参参数数全全部部确确定定的的情情况况下下，凡凡能能满满足足相相角角条条件件和和幅幅值值条件的条件的s s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。由由于于相相角角条条件件和和幅幅值值条条件件只只与与系系统统的的开开环环传传递递函函数数有有关关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根
12、轨迹图。第15页，共102页，编辑于2022年，星期一442 2 常规根轨迹的绘制法则常规根轨迹的绘制法则 通通常常，我我们们把把以以开开环环根根轨轨迹迹增增益益 为为可可变变参参数数绘绘制制的的根根轨轨迹迹叫叫做做普普通通根根轨轨迹迹（或或一一般般根根轨轨迹迹）。绘绘制制普普通通根根轨轨迹迹的的基本法则主要有基本法则主要有8 8条：条：1.1.根轨迹的起点与终点；根轨迹的起点与终点；2.2.根轨迹的分支数、对成性和连续性；根轨迹的分支数、对成性和连续性；3.3.实轴上的根轨迹；实轴上的根轨迹；4.4.根轨迹的渐近线；根轨迹的渐近线；5.5.根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹在实轴上的分离点；6.
13、6.根轨迹的起始角和终止角；根轨迹的起始角和终止角；7.7.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点;8.8.根之和。根之和。第16页，共102页，编辑于2022年，星期一法则一法则一 根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点 幅值条件可写成幅值条件可写成 当当 ，必须有，必须有 此此时时，系系统统的的闭闭环环极极点点与与开开环环极极点点相相同同(重重合合)，我我们们把把开开环环极极点点称称为为根根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益 。当当 时时，必必须须有有 ，此此时时，系系统统的的闭闭环环极极点点与与开开环环零零点点相相同同(重重合合)，我我们们把把开开环环零零点
14、点称称为为根根轨轨迹迹的的终终点点，它它对应于开环根轨迹增益对应于开环根轨迹增益 。第17页，共102页，编辑于2022年，星期一 下面分三种情况讨沦。下面分三种情况讨沦。1 1当当m=nm=n时时，即即开开环环零零点点数数与与极极点点数数相相同同时时，根根轨轨迹迹的的起起点点与与终终点均有确定的值。点均有确定的值。2 2当当mnmnmn时时，即即开开环环零零点点数数大大于于开开环环极极点点数数时时，除除有有n n条条根根轨轨迹迹起起始始于于开开环环极极点点(称称为为有有限限极极点点)外外，还还有有m-nm-n条条根根轨轨迹迹起起始始于于无无穷穷远远点点(称称为为无无限限极极点点)。这这种种情
15、情况况在在实实际际的的物物理理系系统统中中虽虽不不会会出出现现，但但在在参参数数根根轨轨迹迹中中，有可能出现在等效开环传递函数中。有可能出现在等效开环传递函数中。第18页，共102页，编辑于2022年，星期一结结论论：根根轨轨迹迹起起始始于于开开环环极极点点 ，终终止止于于开开环环零零点点（)；如如果果开开环环极极点点数数n n大大于于开开环环零零点点数数m m，则则有有n-mn-m条条根根轨轨迹迹终终止止于于s s平平面面的的无无穷穷远远处处(无无限限零零点点)，如如果果开开环环零零点点数数m m大大于于开开环环极极点点数数n n，则则有有m-nm-n条根轨迹起始于条根轨迹起始于s s平面的
16、无穷远处平面的无穷远处(无限极点无限极点)。第19页，共102页，编辑于2022年，星期一法则二法则二 根轨迹的分支数、连续性和对称性根轨迹的分支数、连续性和对称性 根根轨轨迹迹的的分分支支数数即即根根轨轨迹迹的的条条数数。既既然然根根轨轨迹迹是是描描述述闭闭环环系系统统特特征征方方程程的的根根（即即闭闭环环极极点点）在在S S平平面面上上的的分分布布，那那么么，根根轨轨迹迹的的分支数就应等于系统特征方程的阶数。分支数就应等于系统特征方程的阶数。系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益 (实实变变量量）与与复复变变量量s s有有一一一一对对应应的的关关系系，当当 由由零零到到无无穷穷大大连连续续变
17、变化化时时，描描述述系系统统特特征征方方程程根根的的复复变变量量s s在在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n n条连续的曲线。条连续的曲线。由由于于实实际际的的物物理理系系统统的的参参数数都都是是实实数数，若若它它的的特特征征方方程程有有复复数数根根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。结论结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。称于实轴的曲线。第20页，共102页，编辑于2022年，
18、星期一法则三法则三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹若实轴上某线段若实轴上某线段右侧右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。线段是实轴上的根轨迹。例例 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 其中其中 、为实极点和实零点，为实极点和实零点，为共轭复数零、极点，为共轭复数零、极点，它们在它们在s s平面上的分布如图平面上的分布如图4-44-4所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系。极点的关系。第21页，共102页，编辑于2022年，星期一解：实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即解
19、：实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即在在确确定定实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹上上时时，可可以以不不考考虑虑复复数数开开环环零零、极极点点对对相相角角的的影响。影响。选择选择s so o作为试验点作为试验点开环极点到开环极点到s s0 0点的向量的相角为点的向量的相角为i i开环零点到开环零点到s s0 0点的向量的相角为点的向量的相角为i i实实轴轴上上，s s0 0点点左左侧侧的的开开环环极极点点P P4 4和和开开环环零零点点z z3 3构构成成的的向向量量的的夹夹角角均均为为零零度度，而而s s0 0点点右右侧侧的的开开环环零零点点z z1 1 、z z2 2和和开开环环零零
20、点点p p1 1构构成成的的向向量量的的夹夹角角均均为为180180o o。若若s s0 0为根轨迹上的点，必满足为根轨迹上的点，必满足 p1p2p3p4z1s0j 01 1=2 2=2 23 3=0=0z33 31 1=4 4=0 0z z2 2 结论：只有结论：只有s s0 0点右侧实轴上的开环点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。才满足相角条件。第22页，共102页，编辑于2022年，星期一第23页，共102页，编辑于2022年，星期一第24页，共102页，编辑于2022年，星期一法则四法则四 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线
21、当开环极点数当开环极点数n n大于开环零点数大于开环零点数m m时，系统有时，系统有n-mn-m条根轨迹终止于条根轨迹终止于S S平面的无穷远处，这平面的无穷远处，这n-mn-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，浙近线也有线，因此，浙近线也有n-mn-m条，且它们交于实轴上的一点。条，且它们交于实轴上的一点。渐近线与实轴的交点位置渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角和与实轴正方向的交角 分别为分别为第25页，共102页，编辑于2022年，星期一 设开环传递函数为设开环传递函数为 开环极点数开环极点数n=2,n=2,开环零点数开环零点数
22、m=0,n-m=2,m=0,n-m=2,两条渐近线在实轴两条渐近线在实轴上的交点位置为上的交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别为它们与实轴正方向的交角分别为 第26页，共102页，编辑于2022年，星期一例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试画出该系统根轨迹的渐近线。试画出该系统根轨迹的渐近线。解解 对于该系统有对于该系统有n=4n=4，m=1m=1，n-m=3n-m=3；三条渐近线与；三条渐近线与实轴交点位置为实轴交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别是它们与实轴正方向的交角分别是 s s j-4-4-3-3-2-2-1-10 0B BC CA Aas s60o60o3
23、00oas s180o第27页，共102页，编辑于2022年，星期一法则五法则五 根轨迹的分离点和分离角根轨迹的分离点和分离角分离点：两条或两条以上的根轨迹分支在分离点：两条或两条以上的根轨迹分支在S S平面上相遇又立即分开的点，称平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。为根轨迹的分离点。若若根根轨轨迹迹位位于于实实轴轴上上两两个个相相邻邻的的开开环环极极点点之之间间（其其中中一一个个可可以以是是无无限限极极点点），则则在在这这两两个个极极点点之之间间至至少少存存在在一一个个分分离离点点；若若根根轨轨迹迹位位于于实实轴轴上上两两个个相相邻邻的的开开环环零零点点之之间间（其其中中一一个个可
24、可以以是是无限零点），则在这两个零点之无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个分离点。如图间也至少有一个分离点。如图4-54-5上的分离点上的分离点d d1 1和和 d d2 2。分离点也可。分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，如图能以共轭形式成对出现在复平面上，如图4-64-6中的分离点中的分离点A A和和B B。显。显然，复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相等然，复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相等的共轭复根存在。的共轭复根存在。d d1 1d d2 2图图4-5 4-5 实轴上根轨迹的分离点实轴上根轨迹的分离点 图图4-6 4-6 复平面上的分离点复
25、平面上的分离点 A AB B第28页，共102页，编辑于2022年，星期一 根轨迹的分离点，实质上就是系统特征方程的等实根（实轴上的分离根轨迹的分离点，实质上就是系统特征方程的等实根（实轴上的分离点）或等共轭复根（复平面上的分离点）点）或等共轭复根（复平面上的分离点）系统的特征方程可写成系统的特征方程可写成分离点方程分离点方程分离点方程的另一种形式分离点方程的另一种形式当开环系统无有限零点时，则当开环系统无有限零点时，则上式应写为：上式应写为：分离角：根轨迹进入分离点的切线分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与分离点的切线方向之间的夹方向与分离点的切线方向之间的夹角。角。第29页，共102页，编
26、辑于2022年，星期一 只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。若在这些根中有共轭只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。若在这些根中有共轭复根，如何判断是否在根轨迹上，是一个比较复杂的问题，由于只有当开复根，如何判断是否在根轨迹上，是一个比较复杂的问题，由于只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现复平面上的分离点（如图环零、极点分布非常对称时，才会出现复平面上的分离点（如图4-64-6所示）所示）.因此，用观察法可大体上判断，然后将其代入特征方程中验算，即可确定。因此，用观察法可大体上判断，然后将其代入特征方程中验算，即可确定。例如：当系统开环传递函数为例如：当系统开环传递函数为时，系
27、统根轨迹分离点方程为：时，系统根轨迹分离点方程为：解方程得：解方程得：d1，由于实轴上的根轨迹为，由于实轴上的根轨迹为（2，0）段，由此可见）段，由此可见d=1位于根轨迹位于根轨迹上，故，根轨迹分离点为：上，故，根轨迹分离点为：d1第30页，共102页，编辑于2022年，星期一例例4 41 1 设某单位负反馈系统的开环传递函数为：设某单位负反馈系统的开环传递函数为：试绘制其概略根轨迹。试绘制其概略根轨迹。解：解：1）由规则）由规则1)、2)可知：可知：共有共有3条根轨迹，分别始于条根轨迹，分别始于S=0、S2、S3其中一条止于其中一条止于S1处，两条趋于无处，两条趋于无穷远处。穷远处。2 2）
28、实轴上的根轨迹：）实轴上的根轨迹：(-1,0)(-1,0)、（、（3 3，2 2）。）。3 3）渐近线：）渐近线：4 4）分离点：）分离点：s s j0 0-3-3-2-2-1-1第31页，共102页，编辑于2022年，星期一例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试求出系统根轨迹与实轴的交点。试求出系统根轨迹与实轴的交点。解解 本系统无有限开环零点，其根轨迹分离点坐标满足：本系统无有限开环零点，其根轨迹分离点坐标满足：解方程得：解方程得：由由规规则则五五知知，实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹为为-1-1到到-2-2线线段段和和-3-3到到-线线段。段。不在上述两线段上，应舍去。不在
29、上述两线段上，应舍去。是是实实轴轴根根轨轨迹迹上上的的点点，所所以以是是根根轨轨迹迹在在实实轴轴上上的的分分离点。运用前面的六条规则，可绘制如图离点。运用前面的六条规则，可绘制如图4-74-7所示的根轨迹图。所示的根轨迹图。第32页，共102页，编辑于2022年，星期一法则六法则六 根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角 当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的起始角和离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的起始角和终止角问题终止角问题,先给出定义如下：
30、先给出定义如下：起始角起始角 ：根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正：根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。方向的夹角。终止角终止角 ：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。方向的夹角。第33页，共102页，编辑于2022年，星期一第34页，共102页，编辑于2022年，星期一法则七法则七 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点就就是是闭闭环环系系统统特特征征方方程程的的纯纯虚虚根根（实实部部为为零零）。这这时时，用用 s=j s=j 代入特征方程可得代入特征方程可得:由此可得虚
31、部方程和实部方程：由此可得虚部方程和实部方程：解解虚虚部部方方程程可可得得角角频频率率 c c ，即即根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点的的坐坐标标值值；用用 c c 代代入入实实部部方方程程，可可求求出出系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值 K Kc c 。K Kc c 的的物物理理含含义义是是使使系系统统由由稳稳定定（或或不不稳稳定定）变变为为不不稳稳定定（或或稳稳定定）的的系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值。它它对对如如何何选选择择合合适适的的系系统统参参数数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义。使系统处于稳定的工作状态有重要意义。第35页，共102页
32、，编辑于2022年，星期一例：设系统开环传递函数为例：设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。试绘制闭环系统的概略根轨迹。1-1-1-20s s j-3解：解：1 1）确定实轴上的根轨迹：）确定实轴上的根轨迹：2 2）确定根轨迹的渐近线：）确定根轨迹的渐近线：3 3）确定根轨迹的分离点：）确定根轨迹的分离点：第36页，共102页，编辑于2022年，星期一1-1-1-20s s j-34 4）确定根轨迹的起始角：）确定根轨迹的起始角：量测各向量相角，得：量测各向量相角，得：5 5）确定根轨迹与虚轴的交点：）确定根轨迹与虚轴的交点：第37页，共102页，编辑于2022年，星期一 以以上上七
33、七条条规规则则是是绘绘制制根根轨轨迹迹图图所所必必须须遵遵循循的的基基本本规规则则。此此外外，尚尚须注意以下几点规范画法。须注意以下几点规范画法。根根轨轨迹迹的的起起点点（开开环环极极点点P Pi i)用用符符号号“X X”标标示示；根根轨轨迹迹的的终终点点(开环零点开环零点 Z Zi i)用符号用符号“o o”标示。标示。根根轨轨迹迹由由起起点点到到终终点点是是随随系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益 K K*值值的的增增加加而而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。要要标标出出一一些些特特殊殊点点的的K K*值值，如如起起点点（K K*=0=0)，终终
34、点点（K K*)；根根轨轨迹迹在在实实轴轴上上的的分分离离点点d d(K(K*=K K*d d )；与与虚虚轴轴的的交交点点 c c（K K*=K Kc c）。还还有有一一些些要要求求标标出出的的闭闭环环极极点点S S1 1 及及其其对对应应的的开开环环根根轨轨迹迹增增益益 K K1 1 ，也也应应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。第38页，共102页，编辑于2022年，星期一第39页，共102页，编辑于2022年，星期一绘制根轨迹图示例绘制根轨迹图示例例例47已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试绘制该系统完整的根轨迹图。
35、试绘制该系统完整的根轨迹图。解解 （1 1）该系统的特征方程为）该系统的特征方程为 这是一个三阶系统，由规则一知，该系统有三条根轨迹在这是一个三阶系统，由规则一知，该系统有三条根轨迹在s s平面上。平面上。由规则二知，三条根轨迹连续且对称于实轴。由规则二知，三条根轨迹连续且对称于实轴。根根轨轨迹迹的的起起点点是是该该系系统统的的三三个个开开环环极极点点，即即 P P1 1=0 P=0 P2 2=-1 P=-1 P3 3=-2 =-2 由于没有开环零点（由于没有开环零点（m=0m=0）,三条根轨迹的终点均在无穷远处。三条根轨迹的终点均在无穷远处。第40页，共102页，编辑于2022年，星期一 当
36、当k=0k=0时时 当当k=1k=1时时 当当k=2k=2时时 由由规规则则四四知知，可可求求出出根根轨轨迹迹三三条条渐渐近近线线的的交交点点位位置置和和它它们与实轴正方向的交角。们与实轴正方向的交角。第41页，共102页，编辑于2022年，星期一 由由规规则则五五知知，实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹为为实实轴轴上上P P1 1 到到 P P2 2 的的线线段段和和由由 P P3 3 至至实实轴轴上负无穷远线段。上负无穷远线段。由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程 解的合理值，解得解的合理值，解得 不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应不
37、在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为为 无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。第42页，共102页，编辑于2022年，星期一解虚部方程得解虚部方程得其其中中 1 1=0=0是是开开环环极极点点 P P1 1 对对应应的的坐坐标标值值，它它是是根根轨轨迹迹的的起起点点之之一一。合理的交点应为合理的交点应为将将 代代入入实实部部方方程程得得到到对对应应的的开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值K Krcrc=6=6 。绘制出该系统的根轨迹图如图。绘制出该系统的根轨迹图如图4-114-11所示。所示。由由规规则则八八，可可求求出出根根轨轨迹
38、迹与与虚虚轴轴的的交交点点 c c及及对对应应的的开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临界值临界值K Krcrc 。用。用 s=j s=j 代入特征方程得代入特征方程得第43页，共102页，编辑于2022年，星期一s s j-1-1-2-20 0()01=rKP()03=rKP)(02=rKPr K 1d+60o-60o第44页，共102页，编辑于2022年，星期一解解 (1)(1)是一个二阶系统，在是一个二阶系统，在S S平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。(2)(2)由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点z
39、z1 1=-2 =-2 和一对和一对开环共轭复数极点开环共轭复数极点 P P1,21,2=-1=-1jj,根轨迹的起点为根轨迹的起点为P P1 1(K(Kr r=0)=0)和和 P P2 2(K(Kr r=0)=0)，其终点为，其终点为 Z Z1 1(K(Kr r)和无穷远点。和无穷远点。(3)(3)由规则五知，实轴上由由规则五知，实轴上由-2-2至至-的线段为实轴上的根轨迹。的线段为实轴上的根轨迹。(4)(4)由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是程是例例4-8 4-8 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为
40、 试绘制该系统的根轨迹图。试绘制该系统的根轨迹图。第45页，共102页，编辑于2022年，星期一 即即 解方程可得解方程可得 d d2 2=-0.586=-0.586 不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离点为不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离点为 d d1 1 。由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起点）的起始角。由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起点）的起始角。第46页，共102页，编辑于2022年，星期一 证明证明 已知系统的开环零点和极点分别为已知系统的开环零点和极点分别为 ，令令s=u+jvs=u+jv为根轨迹的任一点，由相角条件可得为根轨迹的任一点，由相角条件可得 将将s
41、 s、和和 代入得代入得 即即应用三角公式应用三角公式（6 6）为为准准确确地地画画出出S S平平面面上上根根轨轨迹迹的的图图形形，运运用用相相角角条条件件可可证证明明本本系系统统在在S S平平面面上上的的根根轨轨迹迹是是一一个个半半径径为为 ，圆圆心心位位于于点点 （2 2，j0)j0)的圆弧。的圆弧。第47页，共102页，编辑于2022年，星期一 将上式等号左边合并可得到将上式等号左边合并可得到 将上式等号两边取正切，则有将上式等号两边取正切，则有 方程表示在方程表示在S S平面上的根轨迹是一个圆心位于点平面上的根轨迹是一个圆心位于点 （2 2，j0)j0)、半径、半径为为 的圆弧。由此，
42、可画出根轨迹的准确图形如图的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-124-12所示。所示。第48页，共102页，编辑于2022年，星期一 由由本本例例不不难难发发现现，由由两两个个开开环环极极点点（实实极极点点或或复复数数极极点点）和和一一个个开开环环实实零零点点组组成成的的二二阶阶系系统统，只只要要实实零零点点没没有有位位于于两两个个实实极极点点之之间间，当当开开环环根根轨轨迹迹增增益益由由零零变变到到无无穷穷大大时时，复复平平面面上上的的闭闭环环根根轨轨迹迹，是是以以实实零零点点为为圆圆心心，以以实实零零点点到到分分离离点点的的距距离离为为半半径径的的一一个个圆圆（当当开开环环极极点点
43、为为两两个个实实极极点点时时）或或圆圆的的一一部部分分（当当开开环环极极点点为为一一对对共共轭轭复复数极点时）。这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行。数极点时）。这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行。第49页，共102页，编辑于2022年，星期一 前前面面介介绍绍的的普普通通根根轨轨迹迹或或一一般般根根轨轨迹迹的的绘绘制制规规则则是是以以开开环环根根轨轨迹迹增增益益 K K*为为可可变变参参数数的的，大大多多数数系系统统都都属属于于这这种种情情况况。但但有有时时候候，为为了了分分析析系系统统方方便便起起见见，或或着着重重研研究究某某个个系系统统参参数数(如如时时间间常常数数、反反馈馈系
44、系数数等等)对对系系统统性性能能的的影影响响，也也常常常常以以这这些些参参数数作作为为可可变变参参数数绘绘制制根根轨轨迹迹，我我们们把把以以非非开开环环根根轨轨增增益益 作作为为可可变变参参数数绘绘制制的的根根轨轨迹叫做参数根轨迹迹叫做参数根轨迹(或广义根轨迹或广义根轨迹)。一一.参数根轨迹参数根轨迹443 3 广义根轨迹广义根轨迹第50页，共102页，编辑于2022年，星期一例例4-10 4-10 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制以时间常数试绘制以时间常数 T T 为可变参数的根轨迹。为可变参数的根轨迹。解解 系统的特征方程系统的特征方程 或或 第51页，共102页，
45、编辑于2022年，星期一 令令 则有：则有：为系统的等效开环传递函数。在等效开环传递函数中，除为系统的等效开环传递函数。在等效开环传递函数中，除时间常数时间常数T T取代了普通根轨迹中开环根轨迹增益的位置外，取代了普通根轨迹中开环根轨迹增益的位置外，其形式与绘制普通根轨迹的开环传递函数完全一致，这样其形式与绘制普通根轨迹的开环传递函数完全一致，这样便可根据绘制普通根轨迹的七条基本规则来绘制参数根轨便可根据绘制普通根轨迹的七条基本规则来绘制参数根轨迹。迹。(2)系系统统特特征征方方程程的的最最高高阶阶次次是是3，由由规规则则一一和和规规则则二二知知，该该系系统统有有三三条条连连续续且且对对称称于
46、于实实轴轴的的根根轨轨迹迹，根根轨轨迹迹的的终终点点(T=)是是等等效效开开环环传传递递函函数数的的三三个个零零点点，即即Z1=Z2=0，Z3=-1；本本例例中，系统的等效开环传递函数的零点数中，系统的等效开环传递函数的零点数m=3,极点数极点数n=2，即，即mn。第52页，共102页，编辑于2022年，星期一 与与n nm m情情况况类类似似，这这时时可可认认为为有有m-nm-n条条根根轨轨迹迹起起始始于于S S平平面面的的无无穷穷远远处处（无无限限极极点点）。因因此此，本本例例的的三三条条根根轨轨迹的起点迹的起点(T=0)(T=0)分别为分别为 P P1 1=-0.5+j0.866=-0.
47、5+j0.866，P P2 2=-0.5-j0.866=-0.5-j0.866，和无穷远处（无限极点）。和无穷远处（无限极点）。由规则六可求出两个起始角分别为由规则六可求出两个起始角分别为 由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上-1-1至至-线段。线段。第53页，共102页，编辑于2022年，星期一 由由规规则则七七可可求求出出根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的两两个个交交点点，用用 s=js=j 代入特征方程得代入特征方程得 由此得到虚部方程和实部方程分别为由此得到虚部方程和实部方程分别为 解虚部方程得解虚部方程得 的合理值为的合理值为 ，代代入入实实部部方方程程求求
48、 T Tc c=1=1 秒秒，所所以以 c=c=1 1 为为根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的两两个交点。个交点。第54页，共102页，编辑于2022年，星期一图图4-14例例4-10系统的根轨迹图系统的根轨迹图第55页，共102页，编辑于2022年，星期一 由由根根轨轨迹迹图图可可知知，时时间间常常数数 T=TT=Tc c=1=1 秒秒时时，系系统统处处于于临临界界稳稳定定状状态态，T1T1秒秒时时，根根轨轨迹迹在在S S平平面面右右半半部部，系系统统不不稳稳定定。由由此此可可知知，参参数数根轨迹在研究非开环根轨迹增益根轨迹在研究非开环根轨迹增益 对系统性能的影响是很方便的。对系统性能的影响是很方
49、便的。由由上上面面的的例例子子，可可将将绘绘制制参参数数根根轨轨迹迹的的方方法法归归纳纳为为下下述述两两个步骤：个步骤：(1)(1)先根据系统的特征方程先根据系统的特征方程 1+G(s)H(s)=0 1+G(s)H(s)=0 求出系统的等效开环传递函数求出系统的等效开环传递函数 G G(s)H(s)H(s)(s)，使，使G G(s)H(s)H(s)(s)与绘制普通根轨迹的开环传递函数有相同的形式，即与绘制普通根轨迹的开环传递函数有相同的形式，即第56页，共102页，编辑于2022年，星期一其中其中 为除开环根轨迹增益为除开环根轨迹增益 以外的任何参数以外的任何参数,它是绘它是绘制参数根轨迹的可
50、变参数。制参数根轨迹的可变参数。根根 据据 绘绘 制制 普普 通通 根根 轨轨 迹迹 的的 七七 条条 基基 本本 规规 则则 和和 等等 效效 开开 环环 传传 递递 函函 数数 绘制出系统的参数根轨迹。绘制出系统的参数根轨迹。（注：此处的零极点是等效开环传递函数的零极点）（注：此处的零极点是等效开环传递函数的零极点）第57页，共102页，编辑于2022年，星期一 二二 正反馈系统的根轨迹正反馈系统的根轨迹 正反馈系统的特征方程是正反馈系统的特征方程是 即即 由此可得到绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条由此可得到绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件分别为件分别为 与负反馈系统根轨迹的