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1、材料力学梁的变形第1页，此课件共21页哦1.1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用用y表示。表示。向下为正，反之为负。向下为正，反之为负。2.2.转角：横截面绕其中性轴相对于转角：横截面绕其中性轴相对于原位置转动的角度原位置转动的角度。用。用 表示，表示，顺时针转动为正，顺时针转动为正，反之为负。反之为负。二、挠曲线：二、挠曲线：变形后，轴线变为连续光滑曲线，该曲线称为挠曲线。变形后，轴线变为连续光滑曲线，该曲线称为挠曲线。平面弯曲时，梁的挠曲线为在外力作用平面内的平面曲线。平面弯曲时，梁的挠曲线为在外力作用平面内的平面曲线。一、度量梁变形的
2、两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量FxyC C1y 横截面上其他点的位置随之确横截面上其他点的位置随之确定。定。注：上述正负号规定是相对于图示坐标系而言的。注：上述正负号规定是相对于图示坐标系而言的。第2页，此课件共21页哦三、挠度与转角的关系三、挠度与转角的关系1.梁的挠曲线方程梁的挠曲线方程沿梁轴线方向各横截面挠度的变化规律。沿梁轴线方向各横截面挠度的变化规律。2.转角方程转角方程3.3.小变形时，挠度与转角的关系小变形时，挠度与转角的关系四、计算弯曲变形的方法四、计算弯曲变形的方法积分法积分法；叠加法叠加法；能量法能量法。第3页，此课件共21页哦7.2 梁的挠曲线近似微分方程梁
3、的挠曲线近似微分方程1.平面弯曲时，弯矩与曲率间的物理关系平面弯曲时，弯矩与曲率间的物理关系 公式推导中应用了胡克定律，并不计剪力对弯曲变形的影响，公式推导中应用了胡克定律，并不计剪力对弯曲变形的影响，故适用于线弹性范围、小变形的情况。故适用于线弹性范围、小变形的情况。2.高等数学中，平面曲线的曲率公式高等数学中，平面曲线的曲率公式小变形，小变形，梁的挠曲线是一条平缓曲线，转角梁的挠曲线是一条平缓曲线，转角 很小，很小，。故故第4页，此课件共21页哦3.梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程yxM0yxM0 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程(1)不计剪力对弯曲变形的影响；不计
4、剪力对弯曲变形的影响；(2)忽略忽略 项。项。4.正负号选取正负号选取第5页，此课件共21页哦7.3 用积分法求梁的挠度和转角用积分法求梁的挠度和转角 一、求挠曲线方程的积分法一、求挠曲线方程的积分法由挠曲线的近似微分方程，积分两次，即得梁截面的转角和挠度方由挠曲线的近似微分方程，积分两次，即得梁截面的转角和挠度方程。程。挠度方程挠度方程转角方程转角方程二、积分法的特征二、积分法的特征 1适用于细长梁在线弹性范围、小变形情况下的平面弯曲。适用于细长梁在线弹性范围、小变形情况下的平面弯曲。第6页，此课件共21页哦二、积分法的特征二、积分法的特征FABCFD三、三、变形的几何相容条件变形的几何相容
5、条件2.积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或抗弯刚度不连续处，其积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或抗弯刚度不连续处，其 挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。3.积分常数由变形的几何相容条件确定。包括边界支座位移条件积分常数由变形的几何相容条件确定。包括边界支座位移条件 和变形光滑、连续条件。和变形光滑、连续条件。4.积分法的优点是普遍适用于求解等截面或变截面梁在各种载积分法的优点是普遍适用于求解等截面或变截面梁在各种载 荷情况下的转角、挠度方程。当仅需计算个别截面的挠度、转荷情况下的转角、挠度方程。当仅需计算个别截面的挠度、转 角时，其
6、计算过程显得繁冗角时，其计算过程显得繁冗支座位移条件：连续、光滑条件第7页，此课件共21页哦F例例 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。FLa第8页，此课件共21页哦例例解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分xyFLa第9页，此课件共21页哦1.1.分段连续弯矩方程必须从原点沿分段连续弯矩方程必须从原点沿x x的的正向依次写出；正向依次写出；2.2.对含（对含（x-a）项不可展开，把它视）项不可展开，把它视 为新变量积分；为新变量积分；3.中间的分布载荷应延伸到中断，并中间的分布载荷应延伸到中断，并 加上反向分布力；
7、加上反向分布力；4.按上述方法积分，中间各段积分常按上述方法积分，中间各段积分常 数相等。数相等。注意：注意：第10页，此课件共21页哦7.4 7.4 按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角 一、求挠度、转角的叠加法一、求挠度、转角的叠加法 1.叠加原理：梁在各种载荷同时作用下任一截面的挠度或转角，等于叠加原理：梁在各种载荷同时作用下任一截面的挠度或转角，等于同一梁在每种载荷下、同一截面挠度和转角的总和。同一梁在每种载荷下、同一截面挠度和转角的总和。2.叠加原理的限制：叠加原理仅适用于线性函数。为此，要求挠度、叠加原理的限制：叠加原理仅适用于线性函数。为此，要求挠度、转角为梁上载
8、荷的线性函数，即转角为梁上载荷的线性函数，即 (1)弯矩弯矩M与载荷成线性关系，要求梁的变形为微小变形，即略去与载荷成线性关系，要求梁的变形为微小变形，即略去各载荷引起梁的水平位移；各载荷引起梁的水平位移；(2)曲率曲率 与弯矩与弯矩M成线性关系，要求梁处于线弹性成线性关系，要求梁处于线弹性范围，即满足胡克定律。范围，即满足胡克定律。(3)挠曲率挠曲率 与与M成线性关系，要求梁的变形为微小变形，成线性关系，要求梁的变形为微小变形，即其截面转角即其截面转角 ，且，且 与与1相比很小，可略去不计。相比很小，可略去不计。第11页，此课件共21页哦二、叠加法的特征二、叠加法的特征 1.各载荷同时作用下
9、挠度、转角，等于单独作用下挠度、转角的总和，各载荷同时作用下挠度、转角，等于单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和应该是几何和(矢量和矢量和)。同一方向的几何和即为代数和。同一方向的几何和即为代数和。2.梁在简单载荷作用下的挠度、转角应为巳知，或有变形表，可供查梁在简单载荷作用下的挠度、转角应为巳知，或有变形表，可供查找。找。3叠加法适宜于求梁个别截面的挠度、转角值。叠加法适宜于求梁个别截面的挠度、转角值。三、叠加方法示例三、叠加方法示例1.直接叠加法直接叠加法第12页，此课件共21页哦例例按叠加原理求按叠加原理求A点转角和点转角和C点挠度。点挠度。第13页，此课件共21页哦2.2.间接叠加
10、法间接叠加法 结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。第14页，此课件共21页哦一、一、梁的刚度计算梁的刚度计算其中称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：、校核刚度：、设计截面尺寸；、设计载荷。(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）7.5 7.5 梁的刚度计算梁的刚度计算梁的刚度计算梁的刚度计算第15页，此课件共21页哦例例第16页，此课件共21页哦二、提高梁弯曲刚度的一些措施二、提高梁弯曲刚度的一些措施1.增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EI2.调整跨长和改变结构调整跨长和改变结构FL/2L/2Mx+PL/4F=qLL/54L/
11、5对称MxqL2/10第17页，此课件共21页哦调整跨长和改变结构调整跨长和改变结构MxqLL/5qL/5402qL502qL-Mx第18页，此课件共21页哦 同类同类材料材料，“E”值相差不多值相差不多，“jx”相差较大相差较大，故换用同故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。不同类材料，不同类材料，E和和G都相差很多（钢都相差很多（钢E=200GPa,铜铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其但是，改换材料，其原料费用原料费用也会随之发生很大
12、的改变！也会随之发生很大的改变！五、选用高强度材料，提高许用应力值五、选用高强度材料，提高许用应力值第19页，此课件共21页哦7.6 用力法解简单超静定梁用力法解简单超静定梁 静不定的次数：静不定的次数：凡未知反力凡未知反力(或内力或内力)数超过静力平衡方程数的个数，数超过静力平衡方程数的个数，称为静不定的次数。称为静不定的次数。多余约束：多余约束：在静不定梁中多于维持静力平衡在静不定梁中多于维持静力平衡(且满足几何不变形且满足几何不变形)的约束的约束称为多余约束。静不定梁必存在多余约束，且其多余约束的数目等于静称为多余约束。静不定梁必存在多余约束，且其多余约束的数目等于静不定的次数。不定的次
13、数。多余约束反力：多余约束反力：相应于多余约束的约束反力。相应于多余约束的约束反力。一、几个概念一、几个概念基本静定体系：基本静定体系：静不定梁解除多余约束后的静定系统，静不定梁解除多余约束后的静定系统，称为原体系的基本静定体系称为原体系的基本静定体系二、基本静定体系的选择原则二、基本静定体系的选择原则1.基本静定体系应是能维持静力平衡和几何不变的系统。基本静定体系应是能维持静力平衡和几何不变的系统。2.基本静定体系应便于计算，其截面位移可在弯曲变形表中基本静定体系应便于计算，其截面位移可在弯曲变形表中 查得。查得。3.的基本静定体系的选取可以是不同的，但其解答是唯一的。的基本静定体系的选取可
14、以是不同的，但其解答是唯一的。第20页，此课件共21页哦 三、静不定梁的解题步骤三、静不定梁的解题步骤1.选择多余约束，确定基本静定体系。基本静定体系上应作选择多余约束，确定基本静定体系。基本静定体系上应作 用有原静不定粱的载荷以及未知的多余约束反力。用有原静不定粱的载荷以及未知的多余约束反力。2.比较基本静定体系与静不定梁在多余约束处的变形，并用比较基本静定体系与静不定梁在多余约束处的变形，并用 叠加法列出相应的变形相容方程。叠加法列出相应的变形相容方程。3.将基本静定体系的位移与载荷间的物理关系代入变形相容将基本静定体系的位移与载荷间的物理关系代入变形相容 条件，得补充方程。并由补充方程，求解多余约束反力。条件，得补充方程。并由补充方程，求解多余约束反力。4.很据基本静定体系，由静力平衡方程求解其余的约束反力。很据基本静定体系，由静力平衡方程求解其余的约束反力。且静不定梁的应力、变形且静不定梁的应力、变形(位移位移)计算，均可根据基本静定计算，均可根据基本静定 体系进行。体系进行。示例：示例：第21页，此课件共21页哦