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1、再探再探“杨辉三角杨辉三角”泉州第五中学泉州第五中学 吴水文吴水文落实学科核心素养教学，培养学生自主学习能力。落实学科核心素养教学，培养学生自主学习能力。人教人教A A版选修版选修2-32-3第一章第三节第一章第三节易易系系辞辞上上 河出图 洛出书 圣人则之一：引经据典，步入新课一：引经据典，步入新课数数阵阵 将将数数字字按按一一定定顺顺序序排排列列成成一一个个图图形形，就就是是数数阵阵九九章章算算法法杨杨辉辉 开方作法本源图手算高次方根手算高次方根研究高阶等差级数（垛积术）研究高阶等差级数（垛积术）研究微积分研究微积分差分方程、无穷级数差分方程、无穷级数 贾宪朱世杰艾萨克牛顿 把（把（a+b
2、)n展开式的二项式系数取出来，当展开式的二项式系数取出来，当n依次依次取取1，2，3，时，可列成下表：时，可列成下表：上面的表叫做上面的表叫做二项式系数表二项式系数表(杨辉三角杨辉三角)二：复习回顾，总结已知二：复习回顾，总结已知第第5行行 1 5 5 1第第0行行1杨杨辉辉三三角角杨杨辉辉三三角角第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 1 1第第n行行 1 1 1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34(1)(1)对称性对称性:与首末两端与首末两
3、端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等(a+b)n展开式的二项式系数依次是展开式的二项式系数依次是:(3)(3)增减性与最大值增减性与最大值:(2)(2)递推性递推性:除除1 1以外的每一个数都以外的每一个数都等于它肩上两个数的和等于它肩上两个数的和.从第一项起至中间项从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减小随后又逐渐减小.杨杨辉辉三三角角的的基基本本性性质质(4)(4)二项式系数的和二项式系数的和:“横看成岭侧成峰，横看成岭侧成峰，远近高低各不同。远近高低各不同。”三：小组合作，共探新知三：小组合作，共探新知横看1横看11斜看2斜看高斜看斐
4、第第5行行 1 5 5 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 11第第n行行 11 1520101064四：小组展示，分享所得四：小组展示，分享所得第第5行行 1 5 5 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 11第第n行行 11 1520101064?四：小组展示，分享所得四：小组展示，分享所得第一条斜线上：第一条斜线上：第二条斜线上：第二条斜线上：第三条斜线上：第三条斜
5、线上：第四条斜线上：第四条斜线上：猜想：猜想：在杨辉三角中，第在杨辉三角中，第r条斜线（从右上到左下）条斜线（从右上到左下）上前上前n个数字的和，等于个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第第r+1条斜线上的第条斜线上的第n个数个数.第第5行行 1 5 5 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 11第第n行行11 15 20 1010641 11 11 1 1 1 （第第1 1条斜线条斜线）1 12 23 3 （第第
6、2 2条斜线条斜线）1 13 36 6 （第第3 3条斜线条斜线）(nr)（第第r r条斜线条斜线）结论结论结论结论1 1：杨辉三角中，第杨辉三角中，第杨辉三角中，第杨辉三角中，第mm条斜条斜条斜条斜(从右上从右上从右上从右上到左下到左下到左下到左下)上前上前上前上前n n个数字的和，等于第个数字的和，等于第个数字的和，等于第个数字的和，等于第m+1m+1条斜线上第条斜线上第条斜线上第条斜线上第n n个数个数个数个数即即即即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第第m条斜条斜(从左上到右下从左上到右下)上前上前n个数字的和，等个数字的和，等于第
7、于第m+1条斜线上第条斜线上第n个数。个数。即即第第5行行 1 5 5 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 11第第n行行 11 1520101064常数列常数列等差数列等差数列二阶等差数列二阶等差数列三阶等差数列三阶等差数列211 123581334 从第三个数起，任一数都等于前两个数的和从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的这就是著名的斐波那契数列斐波那契数列。此数列此数列an满足满足,a1=1,a2=1,且且an=an-1+an-2(n3)这就是著名的斐波那契数
8、列这就是著名的斐波那契数列 世事洞明皆数学，留心处处是文章。世事洞明皆数学，留心处处是文章。1，1，2，3，5，8，13，21，34，此此数列数列an满足满足,a1=1,a2=1,且且an=an-1+an-2(n3)这就是著名的这就是著名的斐波那契数列斐波那契数列 “纵横路线图纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从如果从A处走到处走到B处处(只能由北到南，由西向东只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？，那么有多少种不同的走法？AB 杨辉三角与杨辉三角与“纵横路线图纵横
9、路线图”AB 杨辉三角与杨辉三角与“纵横路线图纵横路线图”“纵横路线图纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从如果从A处走到处走到B处处(只能由北到南，由西向东只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？，那么有多少种不同的走法？AB 杨辉三角与杨辉三角与“纵横路线图纵横路线图”112311111134465510 1015152035 3570 “纵横路线图纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如图是某城市
10、的部分街道图，纵横各有五条路，如果从如果从A处走到处走到B处处(只能由北到南，由西向东只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？，那么有多少种不同的走法？AB 由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系 杨辉三角与杨辉三角与“纵横路线图纵横路线图”112311111134465510 1015152035 35701第第5行行 1 5 5 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6
11、行行 1 6 15 6 1第第n行行 11 1520101064第第7 7行行 1 7 21 35 35 21 7 1 1 7 21 35 35 21 7 1 五：教师补充，再得新知五：教师补充，再得新知第第5行行 1 1 1 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 0 1第第3行行 1 1 1 1第第4行行 1 0 1第第6行行 1 0 1 0 1第第n行行 11 100000第第7 7行行 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1“0,1”三角形三角形第第5行行 1 1 1 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 0 1第第3行行 1 1 1 1第第4
12、行行 1 0 1第第6行行 1 0 1 0 1第第n行行 11 100000第第7 7行行 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 第第5行行 1 1 1 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 0 1第第3行行 1 1 1 1第第4行行 1 0 1第第6行行 1 0 1 0 1第第7 7行行 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1000001 第第n行行 1第第5行行 1 1 1 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 0 1第第3行行 1 1 1 1第第4行行 1 0 1第第6行行 1 0 1 0 1第第7 7行行 1 1
13、 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1000001 第第n行行 1谢尔宾斯谢尔宾斯基三角形基三角形分形数学。分形数学。谢尔宾斯基塔谢尔宾斯基塔奇异、美丽的图案奇异、美丽的图案-超出想象！超出想象！这是数学这是数学 的杰作！的杰作！华罗庚与杨辉三角的研究华罗庚与杨辉三角的研究 华罗庚（华罗庚（1910-19851910-1985）是一位具有世界声誉）是一位具有世界声誉的数学家，我国进入世界著名数学行列最的数学家，我国进入世界著名数学行列最杰出的代表。撰写杰出的代表。撰写1010部专著、部专著、200200篇论文和篇论文和1010余部科普著作。由于他的贡献，有许多余部科普著作
14、。由于他的贡献，有许多定理、引理、不等式与方法等都用他的名定理、引理、不等式与方法等都用他的名字命名在他的科普著作字命名在他的科普著作从杨辉三角谈从杨辉三角谈起起中，对杨辉三角的构成，提出了许多中，对杨辉三角的构成，提出了许多有趣的看法有趣的看法 杨辉三角是数学之花，是中国古代数学得伟杨辉三角是数学之花，是中国古代数学得伟大成就。它有许多有趣的性质和用途。本节大成就。它有许多有趣的性质和用途。本节课所介绍的几个问题不过只是管中窥豹而已。课所介绍的几个问题不过只是管中窥豹而已。同学们有兴趣的话可以找相关得专著来看。同学们有兴趣的话可以找相关得专著来看。l1 1、运用了联系、类比的观点看问题；、运
15、用了联系、类比的观点看问题；l2 2、运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明的思、运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明的思想方法；想方法；l3 3、“横看成岭侧成峰，远近高低各不同横看成岭侧成峰，远近高低各不同”学习了从多角度看数阵；学习了从多角度看数阵；l4 4、锤炼发现问题、提出问题、解决问题的能力。、锤炼发现问题、提出问题、解决问题的能力。六、探究小结六、探究小结,盘点新知盘点新知谢谢指导第第5行行 1 5 5 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 11第第n行行 11 1520101064