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1、2023/4/13一、第一类换元法一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共42页例例1.求求解:令则故原式=注:当时机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共42页例例2.求求解:令则想到公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共42页例例3.求求想到解:(直接配元)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共42页例例4.求求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似第5页/共42页例例5.求求解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共42页常用的几种配元形式常用的几种配元形式:万能凑幂法机动
2、目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共42页例例6.求求解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共42页例例7.求求解:原式=例8.求解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共42页例例9.求求解法1解法2 两法结果一样机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共42页例例10.求求解法1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共42页解法解法 2 同样可证或(P196 例16)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共42页例例11.求求解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共42页例例12.求求解:机动 目录 上页 下页 返
3、回 结束 第14页/共42页例例13.求求解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共42页例例14.求求解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析:第16页/共42页例例15.求求解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共42页小结小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如第18页/共42页思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共42页2.求求提示:
4、法1法2法3作业 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共42页二、第二类换元法二、第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，第21页/共42页定理定理2.设设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式第22页/共42页例例16.求求解:令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共42页例例17.求求解:令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共42页例例18.求求解:令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共42页令于是机
5、动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共42页说明说明:被积函数含有时,除采用采用双曲代换消去根式,所得结果一致.(参考书上 P201-P202)或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换外,还可利用公式第27页/共42页原式例例19.求求解:令则原式当 x 0 时,类似可得同样结果.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共42页小结小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节讲第29页/共42页机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充(P203)(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代
6、换 令第30页/共42页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共42页解:原式(P203 公式(20)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例20.求求例21.求解:(P203 公式(23)第32页/共42页例例22.求求解:原式=(P203 公式(22)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例23.求解:原式(P203 公式(22)第33页/共42页例例24.求求解:令得原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共42页例例25.求求解:原式令例16例16 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共42页思考与练习思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令机动 目录
7、上页 下页 返回 结束 第36页/共42页2.已知已知求解:两边求导,得则(代回原变量)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页/共42页作业作业P2042 (4),(5),(8),(9),(11),(16),(18),(19),(21),(25),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(40)第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第38页/共42页备用题备用题 1.求下列积求下列积分分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页/共42页2.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第40页/共42页分子分母同除以3.求不定积分解:令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第41页/共42页2023/4/13阜师院数科院感谢您的欣赏！第42页/共42页