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1、一、实际应用问题一、实际应用问题BCA5km8km某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A A，量，量出出A A到山脚到山脚B B、C C的距离，分别是的距离，分别是AC=5kmAC=5km，AB=8km AB=8km ，再，再利用经纬仪（测角仪）测出利用经纬仪（测角仪）测出A A对山脚对山脚BCBC的张角，的张角，最最后通过计算求出山脚的长度后通过计算求出山脚的长度BCBC。思考：你能求出上图中山脚的长度BCBC吗？第1页/共20页二、
2、化为数学问题二、化为数学问题已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。例：在ABC中，已知BC=a，AC=b，BCA=C求：c（即AB）ACBbac=?第2页/共20页CBAcab探探 究究：在在ABCABC中，已知中，已知CB=a,CA=bCB=a,CA=b，CBCB与与CA CA 的夹角为的夹角为C C，求边求边c.c.设由向量减法的三角形法则得三、证明问题三、证明问题第3页/共20页CBAcab由向量减法的三角形法则得探探 究究：若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C，BC=a,CA=b,BC=a,CA=b,求求AB AB 边
3、边 c.c.设第4页/共20页CBAcab由向量减法的三角形法则得探探 究究：若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C，BC=a,CA=b,BC=a,CA=b,求求AB AB 边边 c.c.设同理：第5页/共20页A AB BC Cb bc ca aDbcosCbsinCa-bcosC同理：第6页/共20页探探 究究：在在ABCABC中，已知中，已知CB=a,CA=bCB=a,CA=b，CBCB与与CA CA 的夹角为的夹角为C C，求边求边c.c.CBAcab(0，0)(a,0)xy(bcosC,bsinC)坐标法同理：第7页/共20页余余 弦弦 定定 理理C CB B
4、A Ab ba ac c推论：推论：角对边的平方等于两边平方的和减去这两边角对边的平方等于两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。与它们夹角的余弦的积的两倍。第8页/共20页余余 弦弦 定定 理理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。C CB BA Ab ba ac c剖析余弦定理：（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系，从 方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；（2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；（3）主要解决两类三角形问题：已
5、知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边；（4）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形任意一个 角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。第9页/共20页题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形C CA AB Ba ab bc c第10页/共20页解决实际应用问题解决实际应用问题BCA5km8km某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A A，量，量出出A A到山脚到山脚B B、C C的距离，分别是的距离，分别是AC=
6、5kmAC=5km，AB=8km AB=8km ，再，再利用经纬仪（测角仪）测出利用经纬仪（测角仪）测出A A对山脚对山脚BCBC的张角，的张角，最最后通过计算求出山脚的长度后通过计算求出山脚的长度BCBC。第11页/共20页例例2.2.在在ABCABC中，已知中，已知a=,b=2,c=,a=,b=2,c=,解三角形解三角形(依次求解依次求解A A、B B、C).C).解：由余弦定理得解：由余弦定理得题型二、已知三角函数的三边解三角形C CA AB Ba ab bc c第12页/共20页第13页/共20页例3、在ABC中,若a=4、b=5、c=6（1)试判断角C是什么角？（2）判断ABC的形状
7、题型三、判断三角形的形状解：由余弦定理得：第14页/共20页变式训练：在ABC中，若，则ABC的形状 为（）、钝角三角形、直角三角形、锐角三角形、不能确定A第15页/共20页推论：推论：C CB BA Ab ba ac c知识提炼：知识提炼：提炼：设提炼：设a是最长的边，则是最长的边，则ABC是钝角三角形ABC是锐角三角形ABC是直角三角形第16页/共20页思考思考在解三角形的过程中，求某一个角有时在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？什么利弊呢？在已知三边和一个角的情况下：求另一个角在已知三边
8、和一个角的情况下：求另一个角用余弦定理推论，解唯一用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。可以免去判断舍取。用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取判断舍取第17页/共20页小结小结:余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1 1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2 2、已知三边求三个角；、已知三边求三个角；3 3、判断三角形的形状、判断三角形的形状余弦定理：课外作业：P10 AP10 A组 3 3、4 4推论:数学思想：化归思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、不变量的思想第18页/共20页第19页/共20页谢谢您的观看！第20页/共20页