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1、力学振动和波第1页，共49页，编辑于2022年，星期五振动与波无所不在振动与波无所不在振动与波是横跨物理学各分支学科的振动与波是横跨物理学各分支学科的最基本的运动形式。最基本的运动形式。尽管在各学科里振动与波的具体内容不同，尽管在各学科里振动与波的具体内容不同，但在形式上却有很大的相似性。但在形式上却有很大的相似性。力学力学机械振动，机械波机械振动，机械波（声波）（声波）电学电学电磁振荡，电磁波（光波）电磁振荡，电磁波（光波）量子力学量子力学（波动力学）（波动力学）第2页，共49页，编辑于2022年，星期五广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量(如位移、电流等如位移、电流等)在某一在某一 数
2、值附近反复变化。数值附近反复变化。机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。第3页，共49页，编辑于2022年，星期五弹簧振子弹簧振子(弹簧弹簧物体系统物体系统)模型模型简谐振动简谐振动微分方程微分方程一、一、简谐振动的基本特征简谐振动的基本特征1 简谐振动简谐振动（simple harmonic motion)simple harmonic motion)物体一定作简谐振动物体一定作简谐振动其通其通解为：解为：谐振动运动方程谐振动运动方程运动学特征运动学特征第4页，共49页，编辑于2022年，星期五简谐振动定义（判据）：简谐振动定义（判据）：
3、描述运动的物理量遵从微分方程描述运动的物理量遵从微分方程（或运动方程为（或运动方程为 ）运动学特征运动学特征物体所受合外力物体所受合外力动力学特征动力学特征例：判断下列运动是否为简谐振动例：判断下列运动是否为简谐振动1.乒乓球在地面上的上下跳动乒乓球在地面上的上下跳动第5页，共49页，编辑于2022年，星期五2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动mgO切向运动切向运动谐振动谐振动第6页，共49页，编辑于2022年，星期五单摆单摆结论结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率角频率,振动的周期分别为：振动的周期分别为
4、：当当 时时摆球对摆球对C点的力矩点的力矩第7页，共49页，编辑于2022年，星期五复摆复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体结论结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。复摆的小角度摆动振动是简谐振动。当当 时时第8页，共49页，编辑于2022年，星期五二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量1 1、振幅、振幅 A 简简谐谐振振动动物物体体离离开开平平衡衡位位置置的的最最大大位位移移（或或角位移）的绝对值。角位移）的绝对值。初始条件初始条件第9页，共49页，编辑于2022年，星期五频率频率：单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。2、周期周期、频率、
5、圆频率频率、圆频率对弹簧振子对弹簧振子角频率角频率 固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率周期周期T：物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。第10页，共49页，编辑于2022年，星期五单摆单摆复摆复摆 是是t=0时刻的位相时刻的位相初位相初位相3、位相和初位相位相和初位相位相，决定谐振动物体的运动状态位相，决定谐振动物体的运动状态第11页，共49页，编辑于2022年，星期五三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 0t=0 x t+0t=toX第12页，共49页，编辑于2022年，星期五 超前和落后超前和落后两个谐振动两个谐振动位相差位相
6、差 两振动位相之差。两振动位相之差。对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动 =2 2-1 1初相差初相差若若 =2 2-1 10,0,称称x x2 2比比x x1 1超前超前 (或或x x1 1比比x x2 2后后)。当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相当当 =(2k+1),k=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反,称称反相反相第13页，共49页，编辑于2022年，星期五用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系 同相同相反相反相即即x2比比x1超前超前第14页，共49页，编辑于2022年，星期五谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度
7、、加速度之间的位相关系toTa vxT/4T/4第15页，共49页，编辑于2022年，星期五由图可见：由图可见：x t+o 第16页，共49页，编辑于2022年，星期五简谐振动的复数表示简谐振动的复数表示复数表示的优越之处：求导、积分很方便。复数的实部或虚部对应真实的振动量第17页，共49页，编辑于2022年，星期五例例:如图如图m=210-2kg,弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm t=0时时 x0=-9.8cm,v0=0 取开始振动时为计时零点，取开始振动时为计时零点，写出振动方程；写出振动方程；（2）若取）若取x0=0，v00为计时零点，为计时零点，写出振动方程写出振动方程
8、,并计算振动频率。并计算振动频率。XOmx解：解：确定平衡位置确定平衡位置 mg=k l 取为原点取为原点 k=mg/l 令向下有位移令向下有位移 x,则则 f=mg-k(l+x)=-kx作谐振动作谐振动 设振动方程为设振动方程为第18页，共49页，编辑于2022年，星期五由初条件得由初条件得由由x0=Acos 0=-0.0980 cos 00 x0=Acos 0=0,cos 0=0 0=/2,3/2 v0=-A sin 0 ,sin 0 0,取取 0=3/2 x=9.8 10-2cos(10t+3/2)m对同一谐振动取不同的计时起点对同一谐振动取不同的计时起点 不同，但不同，但、A不变不变X
9、Omx固有频率固有频率第19页，共49页，编辑于2022年，星期五例例:如图所示，振动系统由一倔强系数为如图所示，振动系统由一倔强系数为k的的 轻弹簧、一轻弹簧、一半径为半径为R、转动惯量为转动惯量为I的的 定滑轮和一质量为定滑轮和一质量为m的的 物体所组物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期作简谐振动，并求其周期T.（绳与定滑轮无相对滑动）（绳与定滑轮无相对滑动）mm解：取位移轴解：取位移轴ox，m在平衡在平衡位置时，设弹簧伸长量为位置时，设弹簧伸长量为 l，则则第20页，共49页，编辑于2022年，
10、星期五mm当当m有位移有位移x时时联立得联立得物体作简谐振动物体作简谐振动第21页，共49页，编辑于2022年，星期五已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时速度与时间的关系曲线如图所示，试间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。求其振动方程。解：方法解：方法1用解析法求解用解析法求解设振动方程为设振动方程为第22页，共49页，编辑于2022年，星期五故振动方程为故振动方程为第23页，共49页，编辑于2022年，星期五v的旋转矢量与的旋转矢量与v轴夹角表示轴夹角表示t 时时刻相位刻相位由图知由图知方法方法2 2：用旋转矢量法辅助求解。：用旋转矢量法辅助求解。15.715.7-15.7-15.7
11、第24页，共49页，编辑于2022年，星期五谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数四四、简谐振动的能量简谐振动的能量第25页，共49页，编辑于2022年，星期五动动能能势势能能情况同动能。情况同动能。机械能机械能简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒第26页，共49页，编辑于2022年，星期五xtTEEpoEtEk(1/2)kA2第27页，共49页，编辑于2022年，星期五一、同方向、同频率谐振动的合成一、同方
12、向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动合振动是简谐振动,其频率仍为其频率仍为 质质点点同同时时参参与与同同方方向向同同频频率率的的谐谐振动振动:合振动合振动:2 简谐振动的合成简谐振动的合成第28页，共49页，编辑于2022年，星期五如如 A1=A2,则则 A=0两分振动相互加强两分振动相互加强两分振动相互减弱两分振动相互减弱分析分析若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相:第29页，共49页，编辑于2022年，星期五合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中随随t 缓变，视为合振缓变，视为合振动的振幅动的振幅随随t 快变快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅
13、缓变的简谐振动二二.两个同方向频率相近简谐振动的合成两个同方向频率相近简谐振动的合成 拍拍分振动分振动合振动合振动当当 2 1时时,第30页，共49页，编辑于2022年，星期五拍拍 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍频拍频:单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =|2-1|xt tx2t tx1t t第31页，共49页，编辑于2022年，星期五三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动合振动分振动分振动合合振动质点的轨迹方程振动质点的轨迹方程第32页，共49页，编辑于2022年，星期五合振动的轨迹为通过原点且在合振动的轨迹为通过原点且
14、在第一、第三象限内的直线第一、第三象限内的直线质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移讨论讨论第33页，共49页，编辑于2022年，星期五合振动的轨迹为通过原点且在合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线第二、第四象限内的直线质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移第34页，共49页，编辑于2022年，星期五合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴为轴线的轴为轴线的椭圆椭圆.质点沿椭圆的运动方向是顺质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。时针的。合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴为轴线轴为轴线的椭圆的椭圆.质点沿椭圆的运动方向是质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。逆时针的
15、。第35页，共49页，编辑于2022年，星期五 =5/4 =3/2 =7/4 =0 =/2 =3/4Q =/4P .时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。时，顺时针方向转动。时，顺时针方向转动。第36页，共49页，编辑于2022年，星期五四、四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成 轨迹称为轨迹称为李萨如图形李萨如图形yxA1A2o o-A2-A1两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比第37页，共49页，编辑于2022年，星期五李萨如图形（周期比）李萨如图形（周期比）x y第38页，共49页，编辑于2022年，星期五五、简谐振动的分解五、简谐振动的分解
16、频谱频谱振动的分解振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。：把一个振动分解为若干个简谐振动。谐振分析谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。若周期振动的频率为若周期振动的频率为:0则各分振动的频率为则各分振动的频率为:0、2 0、3 0(基频基频,二次谐频二次谐频,三次谐频三次谐频,)按傅里叶级数展开按傅里叶级数展开第39页，共49页，编辑于2022年，星期五方方波波的的分分解解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x0第40页，共49页，编辑于2022年，星期五xo ot t锯齿波锯齿波A 0 03 3 0 05 5 0
17、 0锯齿波频谱图锯齿波频谱图 一一个个非非周周期期性性振振动动可可分分解解为为无无限限多多个个频频率率连连续续变变化化的的简谐振动。简谐振动。xo ot t阻尼振动曲线阻尼振动曲线阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o o A第41页，共49页，编辑于2022年，星期五一、一、阻尼振动阻尼振动阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传播，使振动能量向周振动以波的形
18、式向外传播，使振动能量向周围辐射出去。围辐射出去。3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动和共振受迫振动和共振第42页，共49页，编辑于2022年，星期五弹簧振子弹簧振子动力学方程动力学方程系统固有角频率系统固有角频率阻尼因子阻尼因子物体以不大的速率在粘性介质中运动时物体以不大的速率在粘性介质中运动时,介质对物体的阻介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比力仅与速度的一次方成正比 阻尼系数阻尼系数第43页，共49页，编辑于2022年，星期五弱阻尼弱阻尼弱阻尼弱阻尼阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振幅按指数衰减过阻尼过阻尼过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓慢系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位
19、置地回到平衡位置第44页，共49页，编辑于2022年，星期五临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地回系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来到平衡位置并停下来第45页，共49页，编辑于2022年，星期五二、二、受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程令令周期性外力周期性外力策动力策动力第46页，共49页，编辑于2022年，星期五振动周期与周期性外振动周期与周期性外力的周期相同力的周期相同阻尼振动阻尼振动简谐振动简
20、谐振动第47页，共49页，编辑于2022年，星期五稳定解稳定解(1)频率频率:等于策动力的频率等于策动力的频率 (3)初相初相:特点特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化(2)(2)振幅振幅:受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件，而与受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件，而与振振动系统的性质动系统的性质(固有角频率、质量固有角频率、质量)、阻尼的大小阻尼的大小和和强迫力强迫力的特征的特征有关。有关。第48页，共49页，编辑于2022年，星期五在一定条件下在一定条件下,振幅出现极大值振幅出现极大值,振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。(1)(1)共振频率共振频率:(2)(2)共振振幅共振振幅:若若 o 则则称尖锐共振称尖锐共振三、三、位移共振位移共振利用上页振幅利用上页振幅A的表达式，对的表达式，对求导求极大值求导求极大值第49页，共49页，编辑于2022年，星期五