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1、 第十九章四边形知识与题型总结 第十九章 四边形学问与题型总结 一.本章学问要求和构造 1. 把握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的内在关系. （1）演化关系图： （2）附属关系平行四边形 （依据演化关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的附属关系图中，其中每一个圆代表一种图形） 2. 探究并把握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些学问进展有关的证明和计算. 名称 平行四边形 矩形 菱形 正方形 定 义 的四边形是平行四边形 的平行四边形是矩形 的平行四边形是菱形 的平行四边形是正方形
2、 性 质 边 角 对角线 对称性 判 定 边 角 对角线 面 积 周 长 3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积. 如图1， =BCAE=CDBF （2）同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2， = 4.三角形中位线定理 定义: 叫做三角形中位线（与中线的区分）; 定理: 作用:可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分. 拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个 的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的 和 ; （4）直角三角形的性质 定理: 直角三角形斜边上的中线 5.正方形： （1）对角线：若正方形的边长为a，则对角线的长为; 正方形的
3、一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等 （3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角线的乘积的一半. 周长相等的四边形中， 正方形的面积最大. 6. 梯形的中位线 （1）定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 （2）梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半. （3）梯形的面积S=（上底+下底）高=中位线高 7.几种特别四边形的对角线 矩形对角线交角为60(120)时,可得： 等边三角形和含30角直角三角形 （图） 菱形有一个角为60时,可得： 正方形中可得： 含30角的四个全等直角三角形 四大四小等腰直角三角形 60 60 （图） （图） 对角
4、线相互垂直的梯形, 对角线相互垂直的等腰梯形 平移腰A D C B F E 可得：双垂图 可得：等腰直角三角形 （图） （图） 8. 中点四边形: （顶点为各边的中点，需争论对角线 (3) 若AE=3，CF=7，请作出对应图形，并求周长 3(1)在平行四边形ABCD中，若C=B+D，则A= . (2)已知在,A比B小20o，则C的度数是 (3)在中，周长为100cm，AB-BC=20cm，则AB=,BC= . C B E A F D （4）在中，周长为30cm，且AB：BC=3：2，则AB= cm. （5）（2023河北省）如图，若ABCD与 EBCF关于BC所在直线对称， ABE90，则F
5、4（2023福建福州）以下命题中，错误的选项是（ ） A矩形的对角线相互平分且相等 B对角线相互垂直的四边形是菱形 C等腰梯形的两条对角线相等 D等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 5.（2023浙江义乌）在以下命题中，正确的选项是（ ） A一组对边平行的四边形是平行四边形 B有一个角是直角的四边形是矩形 C有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D对角线相互垂直平分的四边形是正方形 6.（2023甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得四边形肯定是 ( ) A平行四边形 B菱形 C矩形 D正方形 7.（2023四川眉山）以下命题中的假命题是( ) A一组邻边相等的平行四边形是菱形 B一组邻边相
6、等的矩形是正方形 C 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 8.（2023四川成都）以下命题中，真命题是（ ） 两条对角线相等的四边形是矩形 两条对角线相互垂直的四边形是菱形 两条对角线相互垂直且相等的四边形是正方形 两条对角线相互平分的四边形是平行四边形 9.（2023浙江嘉兴）如图，在菱形ABCD中，不肯定成立的（ ） ACBD 等边ABD CABCAD （二）图形的性质和判定方法 10如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作/，作BM于M，DN于N，直线MB、ND分别交、于Q、P，试推断四边形PQMN的外形 11如图，在正方形A
7、BCD中，E、F、G、H分别为正方形边上的点，而且AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH为正方形 12如图，在矩形ABCD中，E是CD边上一点， AE=AB，AB=2AD，求EBC的度数 / （三）转化的思想将梯形问题通过化归、分割、拼接转化成三角形和平行四边形问题. 如下图： 13填空 （1）等腰梯形上底长为3cm，腰长为4cm，其中锐角等于60o， 则下底长是 （2）等腰梯形一个底角是60o，它的上、下底分别是8和18，则这梯形的 腰长是 ，高是 ，面积是 （3）在直角梯形中，垂直于底的腰长5cm，上底长3cm，另一腰与下底的 夹角为30o，则另一腰长为 ，下底长为 （4）等腰梯形两
8、对角线相互垂直，一条对角线长为6，则高为 ， 面积为 （5）已知在梯形ABCD中，AD/BC，若两底AD、BC的长分别为2、8， 两条对角线BD=6，AC=8，则梯形的面积为 （四）推理论证的进一步稳固 14（2023恩施自治州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF,求证：四边形BFDE是平行四边形. 15如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是直线AB、CD的中点，AF、DE相交于点G，CE、BF交于点H求证：四边形GEHF是平行四边形. 16平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE，,求证：四边形AECF是平
9、行四边形. 17求证：正方形的两条对角线将之分成四个全等的等腰直角三角形 18已知点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上， （1）若BE=CF，如图13(1)求证：AE=BF并且AEBF； （2）若E、F分别是BC、EF的中点，如图13(2)，求证：GD=AD G E D H C F B 黄 蓝 紫 橙 红 绿 A 19（2023浙江金华）国家级历史文化名城金华，风光秀丽，花木葱郁某广场上一个外形是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花假如有，那么以下说法中错误的选项是（ ） A红花、绿花种植面积肯定相等 B紫花、橙花种植面积肯定相等 C红花、蓝花种植面积肯定相等 D蓝花、黄花种植面积肯定相等 20.（06盐城）已知的面积为4，对角线交于O， 则SAOB= 21.若A,B,C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 22.平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线a的取值范围是（ ） A.4”、“=”或“ACAB，在图3中画出ABC的全部“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并证明之. 31