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1、第三节直线的投影2023/4/131本讲稿第一页，共七十九页第三章第三章直线的投影直线的投影下一页返回上一页3-1 直线的投影一、直线投影图的画法一、直线投影图的画法直线的空间位置是由线上任意两点决定的。画直线的投影时，可根据“直线的投影一般还是直线”的性质，在直线上任取两点，画出该点的投影后，再将其同面投影连接起来即为直线的投影。同面投影：同面投影：几何形体在同一投影面上的投影。比较A、B两点坐标值，可知AB的空间位置。本讲稿第二页，共七十九页HHV VWWX XZ ZY YA AB Ba ab baabbb ba a直线的三面投影直线的三面投影b,a,abb,a,xzOyWyH作图：1

2、.1.作出直线上两点的作出直线上两点的投影投影2.2.用直线分别连接其用直线分别连接其各同面投影。各同面投影。本讲稿第三页，共七十九页二、直线相对于一个投影面的的投影特性二、直线相对于一个投影面的的投影特性a aa aa ab bb b(b b)直线的投影特性直线的投影特性1ABP 直线实形性2ABP 直线类似性3ABP 直线重影性或积聚性本讲稿第四页，共七十九页三、直线在三投影面体系中的投影特性三、直线在三投影面体系中的投影特性直线对投影面的相对位置可分为三类（1）不平行于任何一个投影面的直线，称为一般位置直线（2）平行于一个投影面的直线，称为投影面平行线（3）垂直于一个投影面

3、（平行于另外两个投影面）的直线称为投影面垂直线 (2)、(3)为特殊位置直线，下面分别予以讨论。本讲稿第五页，共七十九页投影面平行线投影面平行线正平线正平线/面面水平线水平线/面面侧平线侧平线/面面平行于一个投影面倾斜于另外两个投影面。平行线分三种：本讲稿第六页，共七十九页水平线水平线（/面、倾斜和面）面、倾斜和面）XZYOaababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：1、正面和侧面投影比实长短，正面和侧面投影比实长短，a b OX;a b OYW 2、ab=AB 反映实长，倾斜于反映实长，倾斜于OXOX轴，轴，反映反映、角。角。本讲稿第七页，共七十九页XZYO正平线（

4、正平线（/面、倾斜和面）面、倾斜和面）aababbXabab baOZYHYWAB 投影特性：1 1、水平和侧面投影比实长短，、水平和侧面投影比实长短，ab ab OX OX;a a b b OZOZ 2 2、a a b b=AB AB 反映实长反映实长,倾斜于倾斜于OXOX轴，轴，反映反映、角角本讲稿第八页，共七十九页XZYO侧平线（侧平线（/面、倾斜和面）面、倾斜和面）XZa b bbaOYHYWaaa b a bbAB投影特性：1、正面和水平投影比实长短，正面和水平投影比实长短，a b OZ;ab OYH 2、a b =AB 反映实长反映实长,倾斜于倾斜于OZ轴，轴，反映反映、角角本讲

5、稿第九页，共七十九页投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性（1）直线在所平行的投影面上的投影表达实长）直线在所平行的投影面上的投影表达实长（2）其它投影平行于相应的投影轴）其它投影平行于相应的投影轴（3）表达实长的投影与投影轴所夹的角等于空间直线）表达实长的投影与投影轴所夹的角等于空间直线对相应投影面的倾角。对相应投影面的倾角。本讲稿第十页，共七十九页投影面垂直线投影面垂直线侧垂线侧垂线面面正垂线正垂线面面铅垂线铅垂线面面垂直于一个投影面垂直于一个投影面平行于另外两个投影面。平行于另外两个投影面。垂直线分三种：垂直线分三种：本讲稿第十一页，共七十九页OXZYb a(b)a abZb

6、Xa ba(b)OYHYWa投影特性：1、水平投影、水平投影 a b 积聚积聚成一点成一点 2、a b /OZ ;a b /OZ；a bOX ;a b OY 3、a b =a b =AB 反映实长反映实长铅垂线（铅垂线（面、面、/面、面、/面）面）AB本讲稿第十二页，共七十九页正垂线（正垂线（面、面、/面、面、/面）面）OXZYbababa投影特性：1、正面投影正面投影a b 积聚积聚成一点。成一点。2、ab/OY ;a b /OY；ab OX ;a b OZ 3、ab=a b =AB 反映实长反映实长。ABzXab baOYHYWab本讲稿第十三页，共七十九页侧垂线（侧垂线（面、面、/面

7、、面、/面）面）OXZYAB投影特性：1、侧面投影、侧面投影 a b 积聚积聚成一点成一点 2、ab/OX ;a b /OX；ab OYH ;a b OZ 3、ab=a b =AB 反映实长反映实长。baababZXabbaOYHYWab本讲稿第十四页，共七十九页投影面垂直线的投影特性：投影面垂直线的投影特性：（1）直线所垂直的投影面上的投影）直线所垂直的投影面上的投影积聚一点，有积聚性积聚一点，有积聚性（2）其它两面投影反映实长，）其它两面投影反映实长，且垂直于相应的投影轴且垂直于相应的投影轴下一页返回上一页本讲稿第十五页，共七十九页从属于从属于V 面的直线面的直线ZXabaOYHYW

8、abbOXZYABbbabaa本讲稿第十六页，共七十九页从属于从属于V 投影面的铅垂线投影面的铅垂线OXZYABba(b)aabZYWbXaba(b)OYHa本讲稿第十七页，共七十九页从属于从属于OX轴的直线轴的直线ZXabaOYHYWa(b)bOOXZYABbba(b)aa本讲稿第十八页，共七十九页一般位置直线倾斜于三个投倾斜于三个投影面的直线。影面的直线。直线与它的水直线与它的水平投影、正面投影、平投影、正面投影、侧面投影的夹角，侧面投影的夹角，分别称为该直线对分别称为该直线对投影面投影面、的倾角，用的倾角，用、表示。表示。本讲稿第十九页，共七十九页OXZY一般位置直线的投影特性ABb

9、babaa投影特性：1、a b、a b、a b 均小于实长均小于实长 2、a b、a b、a b 均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 3、不反映、不反映、实角实角与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。ZXabaOYYabb本讲稿第二十页，共七十九页直角三角形法求解实长、倾角。直角三角形法求解实长、倾角。1 1 求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角角角2 2 求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角角角3 3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角求直线的实长及对侧面投影面的夹角角角 3-2 一般位置线段的实长一般位置线段的实长及其对投影面

11、实长实长投影投影倾角倾角 :H 投影投影,Z，实长实长 :V 投影投影,Y，实长，实长 :W 投影投影,X，实长，实长本讲稿第二十五页，共七十九页用直角三角形法求线段的实长用直角三角形法求线段的实长X XO Oa ab baabbb b0 0b b0101Y Yb b-Y-Ya aZ Zb b-Z-Za aZ Zb b-Z-Za a ABAB实长实长实长实长ABAB实长实长实长实长Y Yb b-Y-Ya aX XO Oa ab baabba ab bABAB实长实长实长实长本讲稿第二十六页，共七十九页例：已知EF=30 ，试完成如图所示的ef 下一页返回上一页XeefZf本讲稿第二十七页，

12、共七十九页例已知正平线AB30mm、30、AB距面20mm、A点在B点的右上方，试作该直线的两面投影。X XO O3030bbaa30302020b ba a本讲稿第二十八页，共七十九页试用直角三角形法确定直线试用直角三角形法确定直线AB的实长及对投的实长及对投影面影面V的倾角的倾角。例题例题ababXO AB本讲稿第二十九页，共七十九页投影长度ab投影长度ab例题例题已知线段已知线段AB30毫米及其投影毫米及其投影ab和和a，试求出，试求出ab。baab本讲稿第三十页，共七十九页例题已知线段的实长AB，求它的水平投影。a|zB-zA|ab a b|yA-yB|ABABab|zB-z

13、A|b Xa bABa本讲稿第三十一页，共七十九页3-3 直线上点的投影特性和直线的迹点直线上点的投影特性和直线的迹点a ab bc c一、直线上点的投影特性一、直线上点的投影特性点在直线上，点的各个投影必在该直线的同面投影上，并且点在直线上，点的各个投影必在该直线的同面投影上，并且符合点的投影特性。符合点的投影特性。直线上的点分割直线之比，在其投影后保持不变。直线上的点分割直线之比，在其投影后保持不变。利用上述性质，可以在直线上求点和分割线段成定比。ABbbaaXOccCc本讲稿第三十二页，共七十九页HHa aZ ZV VWWX XY YA AB Bb baabbb ba aCc cc c

14、c cX XY YHHY YWWO OZ Zaabba ab bb ba ac cc cc c本讲稿第三十三页，共七十九页10b,aefbf,e,a,例例1E点点在在AB直线上直线上F点不点不在在AB直线上直线上判断判断 E、F点是不是在直线点是不是在直线AB上。上。本讲稿第三十四页，共七十九页例例2 已知点C在AB上，求c，c。X XY YHHY YWWO OZ Zaabba ab bb ba ac cc cc c本讲稿第三十五页，共七十九页例例3 求点C 使AC：CB=1：4 如图：解：因AC：CB=1：4 根据直线上点的投影特性可得ac：cb=ac：cb=1：4 这样只要将ab ab

15、分成5等分后取一份即可求得c，c 。15下一页返回上一页XbabaccB0本讲稿第三十六页，共七十九页例例4 判断点D 是否在直线AB 上若D在AB 上，那么应有ad：db=ad：db 因为 aB1=ab aD1=ad，D1d不平行B1b 所以 D不在AB上。下一页返回上一页XB1dababdD1本讲稿第三十七页，共七十九页试判断试判断K点是否在直线点是否在直线EF上。f eefkkXOYZVfef eefEFKkkkXO直接判断直接判断本讲稿第三十八页，共七十九页例题5 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。bXabaccaccbXOABbbaacCcHV本讲稿第三十九页，共七十九页已知

16、K点在直线AB上，试求作K点的H面投影。ababXO例例6本讲稿第四十页，共七十九页二、直线的迹点二、直线的迹点直线和投影面的交点叫迹点。直线和水平面的交点叫水平迹点，通常用M(m，m，m”)表示和正面的交点叫正面迹点，N(n，n，n”)和侧面的交点叫侧面迹点。L(l，l，l”)在两投影面系中的直线，最多只有两个迹点。迹点是直线和投影面的共有点，它的投影同时具有直线上的点和投影面内的点的投影特性。根据这些特点可以求迹点的投影。本讲稿第四十一页，共七十九页HaammbbX Xa ab bM M(mm)A AB Bn nN N(n n)Xa aaammb bM M(mm)n nbbN N(n

17、n)本讲稿第四十二页，共七十九页例例4 如图所示、求作直线AB 的迹点 M，N 的投影图解：若M 为水平迹点，由于M 在H 面内，m 必与M 重合；ZM=0m必在X轴上，又因为 M在AB上，m必在ab 或其延长线上，m 必在ab 或其延长线上。同理 N为V 面内的点 n表达N 的位置，且yN=0 n必是X轴与ab 或其延长线的交点。作图方法是：（1）将ab 或ab 延长与X 轴交于m 或 n （2）在ab 或ab 上求出m 或 n下一页返回上一页Xmmn nN N(n n)a aaab bbbM M(mm)本讲稿第四十三页，共七十九页3-4 两直线的相对位置两直线的相对位置一、两直线平行一

18、、两直线平行二、两直线相交二、两直线相交三、两直线交叉三、两直线交叉本讲稿第四十四页，共七十九页两直线的相对位置Vabdcaabbdcce(f)AAABBBDCCCDEF平行平行两直线两直线相交相交两直线两直线交叉交叉两直线两直线本讲稿第四十五页，共七十九页XOV一一两直线平行两直线平行5 规则：若空间两直线平行，则它们的各同面投影平行。规则：若空间两直线平行，则它们的各同面投影平行。abcdb b a a c c d d ABDCb b a a d d c c bacda a b b c c d d 同向、同比例同向、同比例本讲稿第四十六页，共七十九页6不平行不平行判断空间两直线是否平行。

19、判断空间两直线是否平行。b b a a d d c c bacdXO平行平行c c d d c cd dg g h h h hg g本讲稿第四十七页，共七十九页XOYZVfef eefCDdccddc7EF本讲稿第四十八页，共七十九页基本作图基本作图8过已知点过已知点A作直线作直线AB平行于已知直线平行于已知直线CD。b b a a c c d d cdab本讲稿第四十九页，共七十九页bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkk二相交两直线交点K的三面投影符合点的投影规律。本讲稿第五十页，共七十九页10投影图投影图利用投影判两断利用投影判两断直线是否相交？直线是否相交？本讲稿第五

20、十一页，共七十九页基本作图基本作图过已知点作直线与已知直线相交。过已知点作直线与已知直线相交。11本讲稿第五十二页，共七十九页12举举例例如图所示，作一条与如图所示，作一条与V面相距面相距20mm并与已知直线并与已知直线 CD相交的相交的直线直线AB。本讲稿第五十三页，共七十九页ddkkaabbcc例：过C点作水平线CD与AB相交。先作CD的正面投影本讲稿第五十四页，共七十九页三三交叉两直线交叉两直线空间既不平行又不相交的二直线为交叉直线空间既不平行又不相交的二直线为交叉直线。b b X Xa a a ab bc c d d d dc c1 11 1(2(2)2 2X XO OB BD

21、 DA AC Cb bb b a aa a c c c cd dd d 2 21 11 1(2(2)2 21 1交叉两直线的同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。本讲稿第五十五页，共七十九页aabbccddc c d d c cd dg g h h h hg g本讲稿第五十六页，共七十九页XOYZVfef eefCDdccddc7EF本讲稿第五十七页，共七十九页判断交叉两直线重影点的可见性 X XO OB BD DA AC Cb bb b a aa a c c c cd dd d(3(3)4)4 1(2)1(2)4 43 33 34 41 1 2 2 1 12 2 判断重影点的可见性时，

22、需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。前遮后、上遮下、前遮后、上遮下、左遮右左遮右上遮下前遮后本讲稿第五十八页，共七十九页aabbccdd 交叉两直线投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。11223344()()本讲稿第五十九页，共七十九页基本作图基本作图过已知点作直线与已知直线交叉。过已知点作直线与已知直线交叉。15能否过A点随意作线呢？答案有多少个？无数个。本讲稿第六十页，共七十九页例题判断两直线的相对位置dacboYWYHzXaacddcbb本讲稿第六十一页，共七十九页例题判断两直线的相对位置ba

23、acddcbX11d1c1本讲稿第六十二页，共七十九页例：判断两直线的相对位置。交点的连线垂直于OX，且两直线为一般位置直线，由两面投影可判断为相交两线。ab与cd在一直线上，而abcd，两直线平行。CD为侧平线，利用点分割线段成比例进行判断。为交叉两直线。OXaabbccddOXaabbccddOXaabbccddEmk本讲稿第六十三页，共七十九页例：已知：两直线AB、CD的投影及点M的水平投影m，试作一直线MNCD并与直线AB相交于N点。nnm作图：过m作mncd，并与ab交于n；由n求出n；过n作作nmcd，求得m。aabbccddmOX本讲稿第六十四页，共七十九页例题判断两直线重影

24、点的可见性bbcddcXaa3(4)34121(2)本讲稿第六十五页，共七十九页 3-4 直角投影定理直角投影定理一、垂直相交的两直线的投影一、垂直相交的两直线的投影定理一：垂直相交的两直线，其中有一条直定理一：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。投影仍反映直角。定理二：定理二：相交两直线在同一投影面上的投影反相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。两直线的夹角必是直角。本讲稿第六十六页，共七十九页一、垂直相

25、交的两直线的投影AHBCacbcXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac本讲稿第六十七页，共七十九页二、交叉垂直的两直线的投影二、交叉垂直的两直线的投影定理三：相互垂直的两直线，其中有一定理三：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。投影面上的投影仍反映直角。定理四：两直线在同一投影面上的投影定理四：两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。面，则空间两直线的夹角必是直角。本讲稿第六十八页，共七十九页二、交叉垂直

26、的两直线的投影BHACcbaMNnmXbabamnnmAB垂直于MN,且AB平行于H面,则有ab mn本讲稿第六十九页，共七十九页17 两垂直直线的判断两垂直直线的判断关键是：关键是：两垂直直线中必须有一条直线是投影面的平行直线两垂直直线中必须有一条直线是投影面的平行直线。本讲稿第七十页，共七十九页18 基本作图基本作图过已知点，作直线垂直于已知直线。过已知点，作直线垂直于已知直线。答案有答案有多少个多少个？ox本讲稿第七十一页，共七十九页例题过点A 作EF 线段的垂线AB。bbaaOfeefXffcXcddee垂直相交垂直相交本讲稿第七十二页，共七十九页f例题过点E 作线段AB、CD

27、的公垂线EF。fOcbaabXcddee本讲稿第七十三页，共七十九页19举举例例求作点到直线的距离。求作点到直线的距离。本讲稿第七十四页，共七十九页两平行直线的距离两平行直线的距离8投影面垂直线投影面垂直线b b a a d d c c a(b)c(d)e e f f efabcda(b)c(d)ef本讲稿第七十五页，共七十九页9投影面平行线投影面平行线两平行直线的距离两平行直线的距离实距实距本讲稿第七十六页，共七十九页例6：已知：直线EF平行CD并与直线AB相交，F点在H面上。求所缺的投影aabbccddOXeeffKK本讲稿第七十七页，共七十九页ABab|yA-yB|bc=BCb例题作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。bcnmaaXmnc本讲稿第七十八页，共七十九页掌握点与直线的投影特性，掌握点与直线的投影特性，尤其是特殊位尤其是特殊位置直线的投影特性。置直线的投影特性。点与直线及两直线相对位置的判断方法及点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。投影特性。点分割直线成定比点分割直线成定比定比定理定比定理。小结：小结：本讲稿第七十九页，共七十九页

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