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1、第三章格林函数法本讲稿第一页，共三十八页本讲稿第二页，共三十八页若已知点电荷(点点源源)产生的场(边边界无限远界无限远,无初始无初始条件）条件）任意带电体(任意任意源源)产生的场(边边界无限远，无初界无限远，无初始条件）始条件）积分得到若能求出某一点源在给定初始和边给定初始和边界条件界条件下产生的场任意源在相同初始相同初始和边界条件和边界条件下产生的场 格林函数，又称为点源影响函数，是数学物理方程中的一个重要概念，也是求解各类定解问题的另一种常用方法。积分得到：代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场格林函数格林函数本讲稿第三页，共三十八页5.1 泊松方程的格林函数法泊松方程的格林函
2、数法1.边值问题的提法边值问题的提法 第一边值问题（狄里希利问题）求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，且在边界上取已知值。第二边值问题（诺伊曼问题）求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界上对外法线方向的导数取已知值。本讲稿第四页，共三十八页 第三边值问题（洛平问题）求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界上其本身和对边界外法向导数的线性组合取已知值。本讲稿第五页，共三十八页2.格林公式格林公式 上述定解问题，都是要求在区域内部求解，故又称为内问题；若在区域外部求解，则称为外问题。在闭域 上有连续一阶偏导数，在 内有连续二阶偏导数，则有（为外法线方
3、向）上式称为上式称为第一格林公式第一格林公式上式称为上式称为第二格林公式，简称格林公式第二格林公式，简称格林公式本讲稿第六页，共三十八页3.泊松方程的基本积分公式泊松方程的基本积分公式 典型的泊松方程(三维稳定分布）边值问题为了求解上面定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的为了求解上面定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数格林函数 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：格林函数的引入本讲稿第七页，共三十八页代表三维空间变量的代表三维空间变量的 函数函数，在直角坐标系中其形式为，在直角坐标系中其形式为 格林
4、函数具有十分格林函数具有十分明确的物理意义：明确的物理意义：位于 处且电量为 的点电荷在接地的导体壳内 处所产生的电势。由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数 本讲稿第八页，共三十八页 格林函数的对称性 处的点源在点 处产生的场 函数性质 处的点源在点 处产生的场 场相同格林函数具有对称性格林函数具有对称性 对称性在电学上的意义：处单位点电荷在 处产生的电势等于 处单位点电荷在 处产生的电势 本讲稿第九页，共三十八页根据格林公式，根据格林公式，令令得到得到 即为即为根据根据函数性函数性质质有有：可得如下泊松方程的基本积分公式泊松方程的基本积分公式本讲稿第十页，共三十八页即即由格林
5、函数的对称性可得由格林函数的对称性可得 解的基本思想解的基本思想：通过上面解的形式，我们容易观察出引用格林通过上面解的形式，我们容易观察出引用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程与任意边值问题所构成函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程与任意边值问题所构成的定解问题转化为求解的定解问题转化为求解一个特定的边值问题一个特定的边值问题，一般后者的解容易求得，一般后者的解容易求得，再利用泊松方程的基本积分公式可求得定解问题的解再利用泊松方程的基本积分公式可求得定解问题的解 本讲稿第十一页，共三十八页分析：只须消掉公式中的 项即可得到结果。3.第一边值问题格林函数第一边值问题格林函数相相应应
6、的格林函数的格林函数是下列是下列问题问题的解的解：本讲稿第十二页，共三十八页二维时 二维时 由格林函数的对称性可得由格林函数的对称性可得 上式为第一边值问题解的积分表示式上式为第一边值问题解的积分表示式本讲稿第十三页，共三十八页5.2 用电像法求格林函数法用电像法求格林函数法1.无界空间的格林函数无界空间的格林函数 基本解基本解 求出对应的格林函数 为求解泊松方程 利用解的积分表达式 必须解一个特殊的泊松方程边值问题 为求格林函数 对一般形状区域，要解决这个特殊的泊松方程边值问题也十分困难，但由于满足的边值问题具有同一性，难度相对原问题也有一定程度降低，特别是对泊松方程狄利克雷问题其格林函数又
7、有十分明确的物理图像，因此该做法仍具有重要而积极意义。不仅如此，对若干特殊形状区域，还可用初等方法求出，从而能够解决该区域上的所有泊松方程的狄利克雷问题。本讲稿第十四页，共三十八页对狄利克雷问题的格林函数应满足：令 代入上述定解问题有 再令 （在区域内）显然没有考虑边界的影响（或者说对应着无界空间）本讲稿第十五页，共三十八页注意 表示点 处的源对点 处的直接影响，表示点 处的源对点 处（通过边界）的间接影响。若认为若认为 、是由点电荷是由点电荷 、产生的电势产生的电势，则由它，则由它们满足的方程可知：们满足的方程可知：是所研究区域内是所研究区域内 处的点电荷处的点电荷 在所在所研究区域内研究区
8、域内 处产生的、且不计任何边界或初始条件的电势；处产生的、且不计任何边界或初始条件的电势；则应为点电荷则应为点电荷 在边界上产生的感应电荷的等效点电荷在边界上产生的感应电荷的等效点电荷 （电量未知，位置（电量未知，位置 应在所研究区域之外）在所研究区域应在所研究区域之外）在所研究区域内内 处产生的并满足一定边界条件的电势。处产生的并满足一定边界条件的电势。称为相应方程的基本解基本解（即无界空间的格林函数）本讲稿第十六页，共三十八页二维空间：三维空间：本讲稿第十七页，共三十八页2.电像法求特殊区域的格林函数电像法求特殊区域的格林函数 根据格林函数的物理意义，利用电磁学中关于计算点电荷电势的知识，
9、针对特殊区域的具体形式，再结合几何、数学有关内容，就可求得相应的格林函数，从而解决该区域上泊松方程的边值问题。这即是所谓的电像法。思路：例1 试求球内的泊松方程的狄利克雷问题的格林函数。解：该定解问题为三维，其基本解为 则满足 本讲稿第十八页，共三十八页O 设产生 的等效点电荷电量 、位置 （在 的延长线上且在球形区域以外，这样方程自然满足）因此：则本讲稿第十九页，共三十八页O选取 使得 球形区域格林函数表达式；区域形状不同其格林函数也会有所不同本讲稿第二十页，共三十八页本讲稿第二十一页，共三十八页本讲稿第二十二页，共三十八页O例2 试求解球内的泊松方程的狄利克雷问题 解：、在球坐标系中单位矢
10、量分别为 设 的球坐标为本讲稿第二十三页，共三十八页球的拉普拉斯方程的狄利克雷问题的格林函数由例1得：本讲稿第二十四页，共三十八页本讲稿第二十五页，共三十八页最后得本讲稿第二十六页，共三十八页本讲稿第二十七页，共三十八页例3 试求圆的泊松方程的狄利克雷问题的格林函数。解：圆的泊松方程的狄利克雷问题的基本解 应满足：设产生 的等效点电荷电量 、位置 （在 的延长线上且在圆形区域以外，这样方程自然满足）O本讲稿第二十八页，共三十八页O则：仍选取 使得 本讲稿第二十九页，共三十八页可得：最后得：注意：这只是二维空间中圆形区域圆形区域的格林函数表达式本讲稿第三十页，共三十八页例4 求解圆内拉普拉斯方程狄利克雷问题 解：由例3，圆内泊松方程狄利克雷问题的格林函数为：本讲稿第三十一页，共三十八页本讲稿第三十二页，共三十八页本讲稿第三十三页，共三十八页例5 在半平面内求解边值问题 解：在 处放置一点电荷 其在 处产生的电势（基本解）为 O本讲稿第三十四页，共三十八页在 处放置一点电荷 其在 处产生的电势为 在边界 ：O本讲稿第三十五页，共三十八页即注：这是二维空间中区域为上半平面的格林函数表达式，它与圆形区域的格林函数不同。本讲稿第三十六页，共三十八页因为本讲稿第三十七页，共三十八页因此返回同理 本讲稿第三十八页，共三十八页