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1、一、泰勒一、泰勒(Taylor)级级数数其中(在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,该邻域内有:第1页/共24页为f(x)的泰勒级数泰勒级数.则称当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.若函数的某邻域内具有任意阶导数,问题问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定不一定.第2页/共24页由此例如，那么，什么时候泰勒级数一定收敛于f(x)呢？第3页/共24页定理定理1.各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明证明
2、:令设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域 内具有第4页/共24页定理定理2.若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证证:设 f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.第5页/共24页二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1.直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;第三步 判别在收敛区间(R,R)内是否为骤如下:展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知级数展开式0.的函数展开第6页/共24页例例1.将函数将函数展开成 x 的幂级数.解解
3、:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足故(在0与x 之间)故得级数 第7页/共24页例例2.将将展开成 x 的幂级数.解解:得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足第8页/共24页思考题：思考题：试将展开成 x 的幂级数.答案：答案：第9页/共24页称为二项展开式二项展开式.说明：说明：(2)在 x1 处的收敛性与 m 有关,由下列情形 可以看出.(1)当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上 式就是代数学中的二项式定理二项式定理.类似例1，例2可得：第10页/共24页对应的二项展开式分别为第11页/共24页2.间接展开法间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的
4、运算性质,例例3.将函数展开成 x 的幂级数.解解:因为把 x 换成,得将所给函数展开成 幂级数.第12页/共24页例例4.将函数将函数展开成 x 的幂级数.解解:从 0 到 x 积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛第13页/共24页例例5.将将展成解解:的幂级数.第14页/共24页例例6.将将展成 x1 的幂级数.解解:第15页/共24页内容小结内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰勒公式;(2)间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.第16页/共24页当 m=1 时第17页/共24页快速思考题快速思考题第18页/共24页第19页/共24页1.将将在x=0处展为幂级数.解解:因此备用题备用题第20页/共24页感谢您的观看！第24页/共24页