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1、第三章 单相液体渗流数学模型本讲稿第一页，共四十七页油气层渗流力学Mechanics of the Oil and Gas Flow in Porous Media第三章 单相液体渗流数学模型 第一节 渗流数学模型的建立原则 第二节 渗流数学模型的微分方程 第三节 渗流数学模型的定解条件关键词：数学模型的构成本讲稿第二页，共四十七页第一节 渗流数学模型的建立原则分析实际过程油气渗流力学的研究方法简化物理模型建立数学模型求解数学方程指导现场生产n油气藏类型及其外部形态的简化n油气藏内部储集空间结构的简化n多孔介质及连续介质场n渗流过程概念及渗流形态的简化n绪论n油气渗流的力学基础n油气渗流的达西
2、定律n油气渗流的非达西定律n两相渗流规律 将渗流过程中各种力学、物理、化学现象和规律用微分方程（组）进行描述本讲稿第三页，共四十七页第一节 渗流数学模型的建立原则一、建立数学模型的基础一、建立数学模型的基础1、地质基础n对储集空间类型、渗流通道类型的准确把握n对流体原始分布、流体运动规律的深入认识n对油气层几何形状、边界性质、参数分布的准确描述2、实验基础n认识、理解、验证各种渗流机理的基础实验n科学、合理的实验手段、实验方案和实验分析技术3、数学方法基础n微元体物理和力学现象物质守恒建立渗流微分方程n证明数学模型的有解性及解的连续性和唯一性本讲稿第四页，共四十七页第一节 渗流数学模型的建立原
3、则二、渗流数学模型的结构二、渗流数学模型的结构1、运动方程（流速与压力的关系）2、状态方程（由于弹性而引起的状态随压力的变化）3、质量守恒方程（流入质量-流出储量=单元内质量变化）4、能量守恒方程（流入能量-流出能量=单元内能量变化）5、附加方程（针对特殊渗流过程）6、定解条件（初始条件+边界条件）本讲稿第五页，共四十七页第一节 渗流数学模型的建立原则三、建立渗流数学模型的步骤三、建立渗流数学模型的步骤1、明确建立数学模型的目的（解决什么问题？）（1）压力分布，P=f(x,y,z,t)（2）渗流速度分布，v=f(x,y,z,t)（3）饱和度分布，S=f(x,y,z,t)（4）界面移动规律，分界
4、面t连续介质本讲稿第六页，共四十七页第一节 渗流数学模型的建立原则三、建立渗流数学模型的步骤三、建立渗流数学模型的步骤2、明确渗流过程的状态类型（1）过程状况：等温过程？非等温过程？（2）系统状况：单组分系统？多组分系统？（3）相态状况：单相流？多相流？存在混相？（4）流态状况：线性渗流？非线性渗流？选择合理的运动方程守恒方程状态方程附加方程本讲稿第七页，共四十七页第一节 渗流数学模型的建立原则三、建立渗流数学模型的步骤三、建立渗流数学模型的步骤3、确定各个物理量之间的关系（1）渗流速度压力梯度 运动方程（2）物性参数地层压力状态方程（3）v或S空间和时间连续性方程（4）物、化反应的函数关系
5、附加方程本讲稿第八页，共四十七页第一节 渗流数学模型的建立原则三、建立渗流数学模型的步骤三、建立渗流数学模型的步骤4、构造数学模型的综合微分方程组（1）连续性方程【f(x,y,z,t)】体现了建模目的（求解连续介质的属性分布），可作为基础方程（2）将其它方程代入到连续性方程=得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程5、量纲分析（1）所建数学模型量纲一致？（2）所建数学模型量纲齐次？检验数学模型的正确性本讲稿第九页，共四十七页第一节 渗流数学模型的建立原则三、建立渗流数学模型的步骤三、建立渗流数学模型的步骤6、确定数学模型的适定性（1）解的存在性（2）解的唯一性（3）解的稳定性7、给出初始条件
6、，边界条件 检验数学模型的正确性本讲稿第十页，共四十七页油气层渗流力学Mechanics of the Oil and Gas Flow in Porous Media第三章 单相液体渗流数学模型 第一节 渗流数学模型的建立原则 第二节 渗流数学模型的微分方程 第三节 渗流数学模型的定解条件关键词：数学模型的构成本讲稿第十一页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程1、服从达西定律n线性渗流一、运动方程（一、运动方程（v vP P）2、服从非达西定律n二项式n指数式本讲稿第十二页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程1、弹性液体的状态变化方程二、状态方程二、状态方程（描述由于弹性引起力学
7、性质随状态发生变化的方程）Vp压缩性质量守恒M1=M2液体微可压缩，则C为常数，对上式积分按麦克劳林级数展开，取前2项=本讲稿第十三页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程2、弹性介质的状态变化方程二、状态方程二、状态方程（描述由于弹性引起力学性质随状态发生变化的方程）压缩性岩石微可压缩，则C为常数，对上式积分按麦克劳林级数展开，取前2项=忽略骨架压缩性本讲稿第十四页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程三、质量守恒（连续性）方程三、质量守恒（连续性）方程在地层中任取一个微小的单元体，在单元体内若没有源（注入井）或汇（生产井）存在，则某一时间间隔内包含在单元体封闭表面内的流体质量变化（
8、M）等于同一时间间隔内流体流入质量（M1）和流出（M2）质量之差1、质量守恒定律（连续性原理）xyz本讲稿第十五页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程三、质量守恒（连续性）方程三、质量守恒（连续性）方程描述运动要素（速度、密度、饱和度、浓度等）随时间和空间的变化关系，在稳定渗流时则是描述这些要素和空间坐标之间的变化 2、连续性方程的表现形式（1）渗流速度分布，v=f(x,y,z,t)（2）流体密度分布，Den=f(x,y,z,t)（3）饱和度分布，S=f(x,y,z,t)（4）浓度分布，S=f(x,y,z,t)本讲稿第十六页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程三、质量守恒（连续性）
9、方程三、质量守恒（连续性）方程（1）在地层中取微元体 六面体单元3、用微元法建立连续性方程的过程xyzM（2）质量守恒分析 在 dt 时间内，小单元体中流体质量的变化 M等于在同一时间内流入小单元体中的流体质量M1与流出小单元体的流体质量M2之差质量流量质量变化量（因为弹性）本讲稿第十七页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程三、质量守恒（连续性）方程三、质量守恒（连续性）方程（3）质量流量的表达式3、用微元法建立连续性方程的过程M点x方向流速：vxM点x方向质量流速：vxM点x方向质量流速MMMdxdydz dt时间经M面流入的质量流量距离=速度时间体积=距离面积本讲稿第十八页，共四十七
10、页第二节 渗流数学模型的微分方程三、质量守恒（连续性）方程三、质量守恒（连续性）方程（3）质量流量的表达式3、用微元法建立连续性方程的过程M“点x方向质量流速MMMdxdydz dt时间经M”面流出的质量流量距离=速度时间体积=距离面积本讲稿第十九页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程三、质量守恒（连续性）方程三、质量守恒（连续性）方程（3）质量流量的表达式3、用微元法建立连续性方程的过程微元体在dt时间内x方向流入质量-流出质量：MMMdxdydz？本讲稿第二十页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程三、质量守恒（连续性）方程三、质量守恒（连续性）方程（3）质量流量的表达式 y、z
11、方向同理3、用微元法建立连续性方程的过程M”MdxdydzMdxdydzMM”M本讲稿第二十一页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程三、质量守恒（连续性）方程三、质量守恒（连续性）方程（3）质量流量的表达式3、用微元法建立连续性方程的过程在dt时间内微元体流入-流出的总质量流量差：Mdxdydz质量流量质量变化量=本讲稿第二十二页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程三、质量守恒（连续性）方程三、质量守恒（连续性）方程（4）微元体内质量变化量的表达式3、用微元法建立连续性方程的过程微元体内质量变化的原因由于岩石和液体弹性能量的作用（岩石表现为孔隙度的变化、液体表现为密度的变化），在流
12、动过程中，微元体内将释放或储存一部分质量，引起微元体内质量发生变化质量流量质量变化量本讲稿第二十三页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程三、质量守恒（连续性）方程三、质量守恒（连续性）方程（4）微元体内质量变化量的表达式3、用微元法建立连续性方程的过程微元体内质量变化量Mdxdydz微元体内孔隙体积：微元体内流体质量：单位时间内流体质量变化率：dt时间内流体质量的总变化：本讲稿第二十四页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程三、质量守恒（连续性）方程三、质量守恒（连续性）方程（5）单相微可压缩流体在弹性介质中的渗流质量守恒方程（不稳定渗流连续性方程）3、用微元法建立连续性方程的过程M
13、dxdydz流入质量-流出流量质量变化量本讲稿第二十五页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程三、质量守恒（连续性）方程三、质量守恒（连续性）方程（6）单相不可压缩流体在刚性介质中的渗流质量守恒方程（稳定渗流连续性方程）3、用微元法建立连续性方程的过程Mdxdydzn 不可压缩流体n 刚性多孔介质本讲稿第二十六页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程1、单相不可压缩流体在均质、刚性地层中线性、稳定渗流的微分方程 运动方程连续性方程代入状态方程（无）：不可压缩、刚性本讲稿第二十七页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程四、典
14、型渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程n 适用条件：单相均质流体 线性运动规律 不考虑多孔介质及流体的压缩性 稳定渗流 渗流过程等温1、单相不可压缩流体在均质、刚性地层中线性、稳定渗流的微分方程 本讲稿第二十八页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程2、单相微可压缩流体在均质、弹性地层中线性、不稳定渗流的微分方程 运动方程状态方程连续性方程?运动方程本讲稿第二十九页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程2、单相微可压缩流体在均质、弹性地层中线性、不稳定
15、渗流的微分方程 连续性方程状态方程因为微可压缩，C、C很小，因此C C可忽略本讲稿第三十页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程2、单相微可压缩流体在均质、弹性地层中线性、不稳定渗流的微分方程 连续性方程定义综合压缩系数：Ct=C+C物理意义：降低单位压力，由于孔隙收缩和液体膨胀，单位岩石孔隙体积总共排出来的液体体积本讲稿第三十一页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程2、单相微可压缩流体在均质、弹性地层中线性、不稳定渗流的微分方程 连续性方程状态方程运动方程本讲稿第
16、三十二页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程2、单相微可压缩流体在均质、弹性地层中线性、不稳定渗流的微分方程 本讲稿第三十三页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程2、单相微可压缩流体在均质、弹性地层中线性、不稳定渗流的微分方程 本讲稿第三十四页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程2、单相微可压缩流体在均质、弹性地层中线性、不稳定渗流的微分方程 本讲稿第三十五页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方
17、程四、典型渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程2、单相微可压缩流体在均质、弹性地层中线性、不稳定渗流的微分方程 本讲稿第三十六页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程2、单相微可压缩流体在均质、弹性地层中线性、不稳定渗流的微分方程 导压系数：单位时间内压力传播的面积 本讲稿第三十七页，共四十七页第二节 渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程四、典型渗流数学模型的微分方程n单相、均质、线性渗流n微可压缩流体（Cl常数，密度可变）n弹性多孔介质（Cr常数，孔隙度可变）n不稳定渗流（t）n单相、均质、线性渗
18、流n不可压缩流体（密度常数）n刚性多孔介质（孔隙度常数）n稳定渗流3、微分方程形式对比本讲稿第三十八页，共四十七页油气层渗流力学Mechanics of the Oil and Gas Flow in Porous Media第三章 单相液体渗流数学模型 第一节 渗流数学模型的建立原则 第二节 渗流数学模型的微分方程 第三节 渗流数学模型的定解条件关键词：数学模型的构成本讲稿第三十九页，共四十七页第三节 渗流数学模型的定解条件空间 边界条件时间 初始条件定解条件研究区域物理过程数学模型本讲稿第四十页，共四十七页第三节 渗流数学模型的定解条件一、渗流数学模型的三种边界条件一、渗流数学模型的三种边
19、界条件 1、定压力边界（第一类边界）稳定压力边界变压力边界常压边界本讲稿第四十一页，共四十七页第三节 渗流数学模型的定解条件一、渗流数学模型的三种边界条件一、渗流数学模型的三种边界条件 2、定流量边界（第二类边界）（1）流速表达式（2）压力的法线导数表达式P本讲稿第四十二页，共四十七页第三节 渗流数学模型的定解条件一、渗流数学模型的三种边界条件一、渗流数学模型的三种边界条件 3、混合边界（第三类边界）同时用压力函数和它的法线导数线性组合形式来限定边界 本讲稿第四十三页，共四十七页第三节 渗流数学模型的定解条件二、典型渗流问题的定解条件二、典型渗流问题的定解条件1、圆形定压边界稳定流（1）物理模
20、型圆形边界地层中心一口井，液体向井的流动满足达西平面径向稳定流，井底保持恒定压力Pwf，供给边界re上恒压Pe（2）定解条件初始条件：（稳定流，不需要）内边界（定压）:外边界（定压）：本讲稿第四十四页，共四十七页第三节 渗流数学模型的定解条件二、典型渗流问题的定解条件二、典型渗流问题的定解条件2、无限大地层不稳定流（1）物理模型无限大地层中心一口井，液体向井的流动满足达西平面径向不稳定流，油井定产量q，地层原始压力Pe（2）定解条件初始条件：内边界（定流量）:外边界（定压）：本讲稿第四十五页，共四十七页第三节 渗流数学模型的定解条件二、典型渗流问题的定解条件二、典型渗流问题的定解条件3、圆形封闭边界不稳定流（1）物理模型圆形封闭边界地层中心一口井，液体向井的流动满足达西平面径向不稳定流，油井定产量q，地层原始压力Pe（2）定解条件初始条件：内边界（定流量）:外边界（封闭）：本讲稿第四十六页，共四十七页第三节 渗流数学模型的定解条件二、典型渗流问题的定解条件二、典型渗流问题的定解条件4、圆形定压边界不稳定流（1）物理模型圆形定压边界地层中心一口井，液体向井的流动满足达西平面径向不稳定流，油井定产量q，供给边界定压力Pe（2）定解条件初始条件：内边界（定流量）:外边界（定压）：本讲稿第四十七页，共四十七页