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1、教材和参考书教材和参考书第1页/共22页第第1010章章 多元函数微分学多元函数微分学10.1 多元连续函数多元连续函数10.1.1 多元函数的多元函数的概念概念 多多元元函函数数微微积积分分是是一一元元函函数数微微积积分分的的直直接接推推广广，但但是是内内容容要要丰丰富富得得多多，也也要要有有意意思思得得多多.包包括括多多元元函函数数微微分分学学、重重积积分分、曲曲线线积积分分、曲曲面面积积分分、向向量量分分析析、场场论论等等内内容容.在在学学习习过过程程中中，应应该该注注意意把把握握基基本本概概念念之之间间的的联联系系，在此基础上熟练运用运算法则进行运算在此基础上熟练运用运算法则进行运算.
2、第2页/共22页二元函数二元函数 设设 若若 与之与之 对应对应,称称 D为函数的定义域为函数的定义域.通常记函数为通常记函数为 f,二元函数记为二元函数记为 三元函数三元函数 设设 若若 与与 之对应，之对应，域为域为 则称这种对应规则为二元函数则称这种对应规则为二元函数.记其定义记其定义记记则称这种对应规则为三元函数则称这种对应规则为三元函数.显函数与隐函数显函数与隐函数 显函数：形如显函数：形如 隐函数：形如隐函数：形如 第3页/共22页10.1.2 中的中的简单简单拓扑学知拓扑学知识识 内积与范数内积与范数 范数的定义：范数的定义：Cauchy-Schwarz不等式不等式:三点三点不等
3、式：不等式：距离距离的定义：的定义：第4页/共22页点列点列收敛收敛的定义的定义 设设若若 则则称称记记作作:记记则：则：Cauchy收敛准则收敛准则:收收敛敛的充分必要条件是：的充分必要条件是：收收敛敛于于第5页/共22页邻域：邻域：10.1.3 开集、邻域和区域开集、邻域和区域 设设 集合集合 称作称作 的的 邻邻域域,内点：内点：设设若若使得使得开集：开集：设设若若 x都是都是A的内点，的内点，则则 称称A为为开集开集.例例:聚点：聚点：设设若若则则称称是是A的聚点的聚点.可以属于可以属于A，也，也则则称称是是A的内点的内点(必有必有！).可以不属于可以不属于A，属于，属于A不见得是聚点
4、！不见得是聚点！记作记作:第6页/共22页闭集：闭集：设设若若A的所有聚点都属于的所有聚点都属于A，则，则称称A为闭为闭集集.例：空集例：空集，边界点与边界：边界点与边界：设设若若中既有属于中既有属于A的点，又有不属于的点，又有不属于A的点，的点，则称则称 为为A的边界点的边界点.边界点的集合称为边界，记做边界点的集合称为边界，记做在在 中，开集的余集是闭集，闭集的中，开集的余集是闭集，闭集的 余集是开集余集是开集.例例 闭（聚点或为闭（聚点或为 内点，或为边界点）内点，或为边界点）.第7页/共22页连通集：连通集：若若A中任意两点中任意两点P，Q都可以用在都可以用在A中中的一条的一条连续连续
5、曲曲线连线连接起来，接起来，则则称称A为连通集为连通集.ABCC开区域与闭区域：开区域与闭区域：连通的开集称为开区域，开连通的开集称为开区域，开 区域与其边界的并集称为闭区域区域与其边界的并集称为闭区域.第8页/共22页10.1.4 多元函数的极限多元函数的极限 多元函数极限的定义：多元函数极限的定义：设设是函数是函数的定的定义义域域的一个聚点，的一个聚点，A是常数是常数.则称当则称当 时，时，以以A为为极限极限.记作记作 或者或者 例例1：证证明：明：先先设设则则若若第9页/共22页要要 即即只要只要 即即只要只要只要只要只要只要 即即第10页/共22页例例2：证证明：明：，则则要要 即即只
6、要只要只要只要 只要只要只要只要只要只要 第11页/共22页例例3：解：解：考虑两条不同的路径：考虑两条不同的路径：所以所以不存在！不存在！第12页/共22页连续函数：连续函数：设设点点若若则则称称在在 点点连续连续.开区域内连续函数：开区域内连续函数：设设D是开区域是开区域.若函数若函数 f 在在D的每个点上都连续，的每个点上都连续，闭区域上连续函数：闭区域上连续函数：设设D是闭区域是闭区域.若函数若函数 f 在在D的每个内点上都连续的每个内点上都连续,点点满足满足即即 则称则称 f 在闭域在闭域D上连续上连续.且对于且对于D的每个边界的每个边界则称则称 f 在在D内连续内连续.第13页/共
7、22页例例4：初等函数：初等函数(6种基本初等；四则运算；复种基本初等；四则运算；复合合)连续连续.例例5：二元函数：二元函数 在在点点满满足足 在在点点连续连续.时时，不存在，不连续！不存在，不连续！第14页/共22页例例6：二元函数：二元函数 所以在所以在点不点不连续连续.闭区域上连续函数的性质：闭区域上连续函数的性质：最大、最小值定理最大、最小值定理 连续，连续，则则存在存在使得使得 设设在有界在有界闭闭区域区域D上上第15页/共22页一致连续定理一致连续定理 设设在有界在有界闭闭区域区域D上连续上连续,则则有有 介值定理介值定理 设设函数函数在有界在有界闭闭区域区域D上连续上连续,则对
8、于介于则对于介于之间的任何值之间的任何值,存在存在 使得使得第16页/共22页到到的的连续连续映射映射 到到的映射的映射 若若与之与之对应对应,称称D为映射为映射f 的定义域的定义域,映射的极限映射的极限 设设是是的聚点的聚点.则称则称A为为 在在 时的极限时的极限,记记作作到到的的连续连续映射映射 若若，且，且，则则称称在在点点连续连续.则称对应关系为映射则称对应关系为映射,记作记作记作记作若若第17页/共22页定理定理:记记则则都都连续连续.例例7:f：则则 f 连续连续.则则 是是 的的连续连续映射映射.f 连续连续一般地，一般地，设设A是是 矩阵矩阵,第18页/共22页第19页/共22
9、页莱莱 布布 尼尼 茨茨(Leibniz,Gottfried Wilhelm,1646.7.1-1716.11.14)德德国国数数学学家家、物物理理学学家家和和哲哲学学家家等等数数理理逻逻辑辑的的创创始始人人.生生于于莱莱比比锡锡，卒卒于于汉汉诺诺威威.1661年年入入莱莱比比锡锡大大学学学学习习法法律律，又又曾曾到到耶耶拿拿大大学学学学习习几几何何.1666年年获获法法学学博博士士学学位位.1673年年当当选选为为英英国国皇皇家家学学会会会会员员.1676年年任任汉汉诺诺威威图图书书馆馆馆馆长长.1700年年当当选选为为巴巴黎黎科科学学院院院院士士，促促成成组组建建了了柏柏林林科科学学院院并并任任首首任任院院长长.他他的的研研究究领领域域涉涉及及到到逻逻辑辑学学、数数学学、力力学学、地地质质学学、法法学学、历历史史学学、语语言言学学、生生物物学学以以及及外外交交、神神学学等等诸诸多多方方面面.他他与与牛牛顿顿并并称称为为微微积积分分的的创创立立者者.他他系系统统阐阐述述了了二二进进制制计计数数法法，并并把把它它和和中中国国的的八八卦卦联联系系起起来来.在在哲哲学学方方面，著有面，著有单子论单子论，内含辩证法的因素，内含辩证法的因素.数学名家介绍数学名家介绍(一一)第20页/共22页作业作业P471(3)(4),2(2)(4),3第21页/共22页感谢您的观看！第22页/共22页