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1、优化模型简介优化模型简介优化问题基本模型优化问题基本模型 的意思是优化（最大或最小化），的意思是优化（最大或最小化），下标指出下标指出优化目标可以是一个或多个函数。我们的目的是找到向量优化目标可以是一个或多个函数。我们的目的是找到向量 使使这些函数这些函数 取到最优值，向量取到最优值，向量 的各个分量成为模型的的各个分量成为模型的决策变量。而函数决策变量。而函数 称为目标函数。称为目标函数。S.tS.t.（subject to)subject to)的的意思是决策变量必须满足某些边界条件，这些边界条件通常称为意思是决策变量必须满足某些边界条件，这些边界条件通常称为约束。每一个常数约束。每一个常
2、数 表示的是相关约束函数表示的是相关约束函数 必须满足的必须满足的水平，通常称为模型的右端项。所以，解向量水平，通常称为模型的右端项。所以，解向量 必须使每个目必须使每个目标函数标函数 达到最优，并同时满足每一个约束关系。达到最优，并同时满足每一个约束关系。分析：分析：优化模型分类优化模型分类离散优化模型：目标函数和约束函数非连续离散优化模型：目标函数和约束函数非连续连续优化模型：目标函数和约束函数连续连续优化模型：目标函数和约束函数连续线性规划模型：如果一个优化问题满足以下性质，该优化问线性规划模型：如果一个优化问题满足以下性质，该优化问题成为线性规划题成为线性规划1 1）有唯一的目标函数）
3、有唯一的目标函数2 2）当一个决策变量出现在目标函数和任何约束函数中时，）当一个决策变量出现在目标函数和任何约束函数中时，它只以一次幂的形式出现（可以乘以一个常数）。它只以一次幂的形式出现（可以乘以一个常数）。3 3）目标函数和任何约束函数中不包含决策变量的乘积项。）目标函数和任何约束函数中不包含决策变量的乘积项。4 4）目标函数和任何约束函数中的决策变量的系数是常数。）目标函数和任何约束函数中的决策变量的系数是常数。5 5）决策变量可以是整数，也可以是分数。）决策变量可以是整数，也可以是分数。如果一个优化问题不满足其中任何一条，它就是非线性的。如果一个优化问题不满足其中任何一条，它就是非线性
4、的。以上简单了解了优化模型的几个概念，我们将进入第以上简单了解了优化模型的几个概念，我们将进入第三章的学习，本章介绍比较简单的优化模型，归结为三章的学习，本章介绍比较简单的优化模型，归结为微积分中的函数极值问题，可以直接用微分法求解。微积分中的函数极值问题，可以直接用微分法求解。第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型3.1 存贮模型存贮模型3.2 生猪的出售时机生猪的出售时机3.3 森林救火森林救火3.4 最优价格最优价格3.5 血管分支血管分支3.6 消费者均衡消费者均衡3.7 冰山运输冰山运输3.1 存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配
5、线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费元，贮存费每日每件每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要要 求求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、
6、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。需求量、准备费、贮存费之间的关系。问题分析与思考问题分析与思考 每天生产一次每天生产一次，每次，每次100件，无贮存费，准备费件，无贮存费，准备费5000元。元。日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元。元。10天生产一次天生产一次，每次，每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元。元。50天生产一次天生产一次，每次，每次5000件，贮存费件，贮存费4900+4800+100=122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计
7、127500元。元。平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天生产一次平均每天费用最小吗天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用每天费用5000元元 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在
8、最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模模 型型 假假 设设1.产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；2.每次生产准备费为每次生产准备费为 c1,每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3.T天生产一次（周期）天生产一次（周期）,每次生产每次生产Q件，件，当贮存量当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；建建 模模 目目 的的设设 r,c1,c2 已知，求已知，求T,Q 使每天总费用的平均值最小。使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模模 型型 建建
9、 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q,q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）离散问题连续化离散问题连续化一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/2模型求解模型求解求求 T 使使模型分析模型分析模型应用模型应用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天天),Q=1000(件件),C=1000(元元)回答问题回答问题 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）每天需求量每天需求量 r，每次订货费每次订货费 c1,每天每
10、件贮存费每天每件贮存费 c2，用于订货、供应、存贮情形用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次天订货一次(周期周期),每次订货每次订货Q件，当贮存量降到件，当贮存量降到零时，零时，Q件立即到货。件立即到货。允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时原模型假设：贮存量降到零时Q件件立即生产出来立即生产出来(或立即到货或立即到货)现假设：允许
11、缺货现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3,缺货需补足缺货需补足T一周期一周期贮存费贮存费一周期一周期缺货费缺货费周期周期T,t=T1贮存量降到零贮存量降到零一周期总费用一周期总费用每天总费用每天总费用平均值平均值（目标函数）（目标函数）一周期总费用一周期总费用求求 T,Q 使使为与为与不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型相比，相比，T记作记作T,Q记作记作Q不允不允许缺许缺货模货模型型记记允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货允许允许缺货缺货模型模型0qQ rT1tT注意：缺货需补足注意：缺货需补足Q 每周期初的存贮每周期初的存贮量量R每周期的生产量每周期的生
12、产量R（或订货量）或订货量）Q不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量)3.2 生猪的出售时机生猪的出售时机饲养场每天投入饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设元资金，用于饲料、人力、设备，备，估计估计可使可使80千克重的生猪体重增加千克重的生猪体重增加2公斤。公斤。问问题题市场价格目前为每千克市场价格目前为每千克8元，但是元，但是预测预测每天会降每天会降低低 0.1元，问生猪应何时出售。元，问生猪应何时出售。如果如果估计估计和和预测预测有误差，对结果有何影响。有误差，对结果有何影响。分分析析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间
13、减少，故存在最佳出售时机，使利润最大时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大求求 t 使使Q(t)最大最大10天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt出售价格出售价格 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=R-C=pw-C估计估计r=2，若当前出售，利润为若当前出售，利润为808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1敏感性分析敏感性分析研究研究 r,g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 估计估计r=2，g=0.1 设设g=0.1不变不变 t 对对
14、r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。rt敏感性分析敏感性分析估计估计r=2，g=0.1研究研究 r,g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 t 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度 生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。gt强健性分析强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由由 S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 ,再作计算。再作计算。研究研究
15、 r,g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w=w(t)p=8-gt p=p(t)若若 (10%),则则 （30%）每天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资金 3.3 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开
16、始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t).损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数,由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定.救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数,由队员人数和救火时间由队员人数和救火时间决定决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x),f2(x)之和最之和最小小 关键是对关键是对B(t)作出作出合理的简化假设合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t
17、)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成成正比，系数正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费）1）0 t t1,dB/dt 与与 t成成正比，系数正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度）2）t1 t t2,降为降为-x(为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度）速度）4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用一次性费用c3假设假设1）的解释的解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，均匀向四周呈圆形蔓延，半径半径 r与与 t 成正比成正比面积
18、面积 B与与 t2成正比，成正比，dB/dt与与 t成正比成正比.模型建立模型建立b0t1tt2假设假设1）目标函数目标函数总费用总费用假设假设3）4）假设假设2）模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小结果解释结果解释 /是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中其中 c1,c2,c3,t1,为已知参为已知参数数模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知,t1可估可估计计,c2 x c1,t1,x c3,x 结果结果解释解释c1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费,c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费
19、,c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用,t1开始救火时刻开始救火时刻,火火势蔓延速度势蔓延速度,每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么?,可可设置一系列数设置一系列数值值由模型决定队员数量由模型决定队员数量x3.4 最优价格最优价格问题问题根据产品成本和市场需求，在产销平根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大衡条件下确定商品价格，使利润最大假设假设1）产量等于销量，记作）产量等于销量，记作 x2）收入与销量）收入与销量 x 成正比，系数成正比，系数 p 即价格即价格3）支出与产量）支出与产量 x 成正比，系数成正比，系数 q 即成本即成本4）销量）
20、销量 x 依赖于价格依赖于价格 p,x(p)是减函数是减函数 建模建模与求解与求解收入收入支出支出利润利润进一步设进一步设求求p使使U(p)最大最大使利润使利润 U(p)最大的最优价格最大的最优价格 p*满足满足最大利润在边际收入等于边际支出时达到最大利润在边际收入等于边际支出时达到 建模建模与求解与求解边际收入边际收入边际支出边际支出结果结果解释解释 q/2 成本的一半成本的一半 b 价格上升价格上升1单位时销量的下降单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度）幅度（需求对价格的敏感度）a 绝对需求绝对需求(p很小时的需求很小时的需求)b p*a p*思考：如何得到参数思考：如何得到参数a,
21、b?3.5 血血 管管 分分 支支背背景景机体提供能量维持血液在血管中的流动机体提供能量维持血液在血管中的流动给血管壁以营养给血管壁以营养克服血液流动的阻力克服血液流动的阻力消耗能量取决于血管的几何形状消耗能量取决于血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则已经达到能量最小原则研究在能量最小原则下，血管分支处研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度粗细血管半径比例和分岔角度问问题题模型假设模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面血液流动近似于粘性流体在刚性管道中
22、的运动血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液给血管壁的能量随管血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度近似加而增加，管壁厚度近似与血管半径成正比与血管半径成正比qq1q1ABBCHLll1rr1 q=2q1r/r1,?考察血管考察血管AC与与CB,CB粘性流体在刚粘性流体在刚性管道中运动性管道中运动 pA,C压力差，压力差，粘性系数粘性系数克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量提供营养消耗能量提供营养消耗能量管壁内表面积管壁内表面积 2 rl管壁体积管壁体积(d2+2rd)l,管壁厚度管壁厚度d与与r成成正比正比模型假设模型假设qq1q1ABBCHL
23、ll1rr1 模型建立模型建立qq1q1ABBCHLll1rr1 克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量提供营养消耗能量提供营养消耗能量机体为血流提供能量机体为血流提供能量模型求解模型求解qq1q1ABBCHLll1rr1 模型模型解释解释生物学家：结果与观察大致吻合生物学家：结果与观察大致吻合大动脉半径大动脉半径rmax,毛细血管半径毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有大动脉到毛细血管有n次分岔次分岔 观察：狗的血管观察：狗的血管血管总条数血管总条数推论推论n=？q2U(q1,q2)=cq103.6 消费者均衡消费者均衡问题问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别消费者对甲乙两种商品的偏爱程度
24、用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。购买这两种商品，以达到最大的满意度。设甲乙数量为设甲乙数量为q1,q2,消消费者的无差别曲线族费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相单调减、下凸、不相交），记作交），记作 U(q1,q2)=cU(q1,q2)效用函数效用函数已知甲乙价格已知甲乙价格 p1,p2,有钱有钱s，试分配试分配s,购买甲乙数量购买甲乙数量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大.s/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq10模型模型及及求解求解已知价格已知价格 p1,p2,钱钱 s,求求q1,q2
25、,或或 p1q1/p2q2,使使 U(q1,q2)最最大大几几何何解解释释直线直线MN:最优解最优解Q:MN与与 l2切点切点斜率斜率MQN结果结果解释解释边际效用边际效用消费者均衡状态在两种商品消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。价格之比时达到。效用函数效用函数U(q1,q2)应满足的条件应满足的条件A.U(q1,q2)=c 所确定的函数所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸单调减、下凸 解释解释 B的实际意义的实际意义效用函数效用函数U(q1,q2)几种常用几种常用的形的形式式 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比消费者均衡状态下购
26、买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。与二者价格之比的平方根成正比。U(q1,q2)中参数中参数 ,分别表示消费者对甲分别表示消费者对甲乙乙两种商品的偏爱程度。两种商品的偏爱程度。购买两种商品费用之比与二者价格无关。购买两种商品费用之比与二者价格无关。U(q1,q2)中参数中参数 ,分别表示对甲乙分别表示对甲乙的偏爱程度。的偏爱程度。思考：如何推广到思考：如何推广到 m(2)种商品的情况种商品的情况效用函数效用函数U(q1,q2)几种常用几种常用的形的形式式3.7 冰山运输冰山运输背景背景 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米成本为每立方米0
27、.1英镑。英镑。专家建议从专家建议从9600千米远的南极用拖船千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水运送冰山，取代淡化海水 从经济角度研究冰山运输的可行性。从经济角度研究冰山运输的可行性。建模准备建模准备1.日租金和最大运量日租金和最大运量船船 型型小小 中中 大大日租金（英镑）日租金（英镑）最大运量（米最大运量（米3）4.06.28.05 1051061072.燃料消耗（英镑燃料消耗（英镑/千米）千米）3.融化速率（米融化速率（米/天）天）与南极距离与南极距离(千米千米)船速船速(千米千米/小时小时)0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.
28、6冰山体积冰山体积(米米3)船速船速(千米千米/小时小时)105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模准备建模准备建模建模目的目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较模型模型假设假设 航行过程中船速不变，总距离航行过程中船速不变，总距离9600千米千米 冰山呈球形，球面各点融化速率相同冰山呈球形，球面各点融化速率相同到达目的地后，每立方米冰可融化到达目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水立方米水建模建
29、模分析分析目的地目的地水体积水体积运输过程运输过程融化规律融化规律总费用总费用目的地目的地冰体积冰体积初始冰初始冰山体积山体积燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型,船速船速船型船型船型船型,船速船速船型船型模模型型建建立立1.冰山融化规律冰山融化规律 船速船速u(千米千米/小时小时)与南极距离与南极距离d(千米千米)融化速率融化速率r(米米/天）天）r是是 u 的的线性函数；线性函数；d4000时时u与与d无关无关.航行航行 t 天天第第t天融天融化速率化速率 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1.冰山融化规律冰山融化规律 冰山初始半
30、径冰山初始半径R0，航行航行t天时半径天时半径冰山初始体积冰山初始体积t天时体积天时体积总航行天数总航行天数选定选定u,V0,航行航行t天时冰山体积天时冰山体积到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积2.燃料消耗燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英镑英镑/千米千米)q1对对u线性线性,对对log10V线性线性选定选定u,V0,航行第航行第t天燃料消耗天燃料消耗 q(英镑英镑/天天)燃料消耗总费用燃料消耗总费用 V0 5 105 106 107 f(V0)4.0 6.2 8
31、.0 3.运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山初始体积冰山初始体积V0的日的日租金租金 f(V0)（英镑）英镑）航行天数航行天数总燃料消耗费用总燃料消耗费用拖船租金费用拖船租金费用冰山运输总费用冰山运输总费用冰山到达目的地冰山到达目的地后得到的水体积后得到的水体积3.运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山运输总费用冰山运输总费用运送每运送每立方米立方米水费用水费用 到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积模型求解模型求解选择船型和船速，使冰山到达目选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低的地后每立方米水的费用最低求求 u,V0使使Y(u,V0)最小最小u=45(千米千米
32、/小时小时),V0=107(米米3)，Y(u,V0)最最小小V0只能取离散值只能取离散值经验公式很粗糙经验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5 106取几组（取几组（V0，u）用）用枚举法枚举法计算计算结果分析结果分析由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0)。有关部门认为，只有当计算出的有关部门
33、认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性。低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性。大型拖船大型拖船V0=107(米米3)，船速，船速 u=45(千米千米/小时小时),冰冰山到达目的地后每立米水的费用山到达目的地后每立米水的费用 Y(u,V0)约约0.065(英英镑镑)虽然虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙。但是模型假设和构造非常简化与粗糙。附：冰块融化的时间附：冰块融化的时间背景：背景：美国的某个州存在严重干旱问题，因此总在寻找新的水源，美国的某个州存在严重干旱问题，因此总在寻找新
34、的水源，建议之一是把冰山从极地水域拖到此州近岸水域，以期用建议之一是把冰山从极地水域拖到此州近岸水域，以期用 融化的冰块来提供淡水。融化的冰块来提供淡水。假设：假设：1、冰块为巨大的立方体、冰块为巨大的立方体2、融化过程中冰块保持为立方体不变、融化过程中冰块保持为立方体不变3、冰块体积的衰减率和冰块表面积成正比、冰块体积的衰减率和冰块表面积成正比4、最前面的一个小时里冰块融化掉、最前面的一个小时里冰块融化掉1/4体积体积分析建模分析建模由假设由假设1，不妨令冰块体积为，不妨令冰块体积为 ，s为边长为边长表面积为表面积为 由假设由假设3我们有我们有 负号表示体积的不断缩小负号表示体积的不断缩小综
35、上，我们得到如下模型：综上，我们得到如下模型：我们的目的是要求使我们的目的是要求使 的的t值值利用复合函数求导公式，对利用复合函数求导公式，对 两边关于时间求导得两边关于时间求导得令 ，我们可以得到我们可以得到此式表示立方体的边长以每小时此式表示立方体的边长以每小时2k的常速率减少的常速率减少若设立方体初始边长为若设立方体初始边长为 冰块全部融化的时间冰块全部融化的时间t为使得为使得 的的t值。值。从而我们有从而我们有由假设4，故所以3.8 连续约束优化连续约束优化 在建立一个优化模型时，有时需要考虑自变量被限制在平面在建立一个优化模型时，有时需要考虑自变量被限制在平面的一些特定子集内时的最大
36、值和最小值。本节我们给出这种约束的一些特定子集内时的最大值和最小值。本节我们给出这种约束问题的一个例子。问题的一个例子。例例 石油转运公司石油转运公司 考虑为一家小型石油转运公司做咨询的情形。由于存储空间考虑为一家小型石油转运公司做咨询的情形。由于存储空间非常有限，该公司管理人员希望有一种使费用最小的管理策略。非常有限，该公司管理人员希望有一种使费用最小的管理策略。分析分析 在满足有限的储存空间约束的前提下，分配和维持足够的石在满足有限的储存空间约束的前提下，分配和维持足够的石油以满足需求，使总费用最小。油以满足需求，使总费用最小。假设假设 决定总费用的因素很多，在我们的模型中考虑以下因素：容
37、决定总费用的因素很多，在我们的模型中考虑以下因素：容器储存石油的持货费；单位时间内从容器中取走石油的速率；石器储存石油的持货费；单位时间内从容器中取走石油的速率；石油的成本；容器的容量。油的成本；容器的容量。模型建立模型建立我们对两类石油定义如下变量（我们对两类石油定义如下变量（i=1或或2）：）：=储存的第储存的第 i 类石油的数量类石油的数量 =第第 i 类石油的成本类石油的成本 =单位时间内取走的第单位时间内取走的第 i 类石油的速率类石油的速率 =第第 i 类石油单位时间的持货（储存）费类石油单位时间的持货（储存）费 =每单位的第每单位的第 i 类石油所占的储存空间（立方英尺）类石油所
38、占的储存空间（立方英尺）T=储存容器的总容量储存容器的总容量通过研究历史数据记录，已经得到了用以上变量表达的总费用通过研究历史数据记录，已经得到了用以上变量表达的总费用计算公式。我们的目标是最小化费用之和：计算公式。我们的目标是最小化费用之和：（*）公司为我们提供了以下数据：公司为我们提供了以下数据：石油类型 1 9 3 0.50 2 2 4 5 0.20 4 通过测量，发现公司的储存容器的总容量只有通过测量，发现公司的储存容器的总容量只有24立方英立方英尺，将这些数据代入（尺，将这些数据代入（*）式，所建立的模型成为）式，所建立的模型成为 模型求解模型求解 求解具有等式约束的连续优化问题的常
39、用方法是求解具有等式约束的连续优化问题的常用方法是Lagrange乘子乘子法。这一方法通过引入新变量法。这一方法通过引入新变量 （称为（称为Lagrange乘子），定义函数乘子），定义函数 求解的方法是将上式对变量分别求偏导数，并令它们为求解的方法是将上式对变量分别求偏导数，并令它们为0，即，即使用matlab 求解，eq1=sym(-27/x2+0.25+2*z=0);eq2=sym(-20/y2+0.10+4*z=0);eq3=sym(2*x+4*y-24=0);x,y,z=solve(eq1,eq2,eq3)x=14.321354+13.657179*i 14.321354-13.657
40、179*i 5.096777 -9.739485y=-1.160677-6.828589*i-1.160677+6.828589*i 3.451611 10.86974 z=-0.123364-0.344333e-1*i-0.123364+0.344333e-1*i 0.394687 0.173186e-1合理的取值我们有合理的取值我们有=5.096777=3.451611=0.394687当对当对 和和 的值做很小的扰动（无论增加还是减少）时，我的值做很小的扰动（无论增加还是减少）时，我们发现们发现 的值是增加的。因此这个解是一个极小点。的值是增加的。因此这个解是一个极小点。模型的敏感性模型
41、的敏感性变量变量 的值具有特殊的意义，并被称为影子价格。的值具有特殊的意义，并被称为影子价格。的值表示的值表示的是，当所表示的约束的右端项增加的是，当所表示的约束的右端项增加 1 个单位时，目标函数的个单位时，目标函数的值的改变量。值的改变量。所以，在这个问题中所以，在这个问题中 表示，如果表示，如果储存容器的总容量从储存容器的总容量从24立方英尺增加到立方英尺增加到25立方英尺，则目标函立方英尺，则目标函数的值从数的值从12.71美元近似变为美元近似变为12.71+(1)(0.3947).即即13.10美元。经美元。经济学解释是：储存容器的总容量增加济学解释是：储存容器的总容量增加1个单位时个单位时 分配和持货费分配和持货费用增加用增加0.4美元。美元。