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1、第一节 大数定律1本讲稿第一页，共十五页 在数学中大家都注意到在数学中大家都注意到这样这样的的现现象：有象：有时时候一个有限候一个有限的和很的和很难难求求,但一但一经经取极限由有限取极限由有限过过渡到无限渡到无限,则问题则问题反反而好而好办办.例如例如,若若对对某一某一x,要要计计算和算和 而一而一经经取极限，取极限，则则有有简单简单的的结结果果 2本讲稿第二页，共十五页 事事实证实证明明这这是可能的，而且在一般情况下和的极是可能的，而且在一般情况下和的极限分布就是限分布就是正态分布正态分布，由此可，由此可见见正正态态分布的重要性。分布的重要性。对对和的分布收和的分布收敛敛于正于正态态分布的分
2、布的这这一一类类极限定理的研究，在极限定理的研究，在长长达两个世达两个世纪纪的的时时期内成了概率期内成了概率论论研究的中心研究的中心课题课题，因，因此得到了此得到了“中心极限定理中心极限定理”的名称。本章将列述的名称。本章将列述这类这类定理中定理中最最简单简单，然而也是最重要的情况。，然而也是最重要的情况。3本讲稿第三页，共十五页 在概率在概率论论中，另一中，另一类类重要的极限定理是所重要的极限定理是所谓谓“大数大数定律定律”。在第一章中我在第一章中我们们已已经讨论经讨论了了“频率的稳定性频率的稳定性”。大量的重复大量的重复试验试验中，事件中，事件A发发生的生的频频率接近某个常数，率接近某个常
3、数，这这个常个常数数实际实际上就是事件上就是事件发发生的概率。生的概率。“大数大数”的意思，就是指的意思，就是指试验试验数目是大量的。数目是大量的。4本讲稿第四页，共十五页预备知识：切比雪夫不等式预备知识：切比雪夫不等式或或1 1 大数定律大数定律 5本讲稿第五页，共十五页几个常见的大数定律几个常见的大数定律定理定理1 1（切比雪夫大数定律）切比雪夫大数定律）设设 X1,X2,是相互独立的随机变是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即方差有共同的上界，即 D(Xi)C，i=1,2,，则对任意的则对任意的 有有或或称依概率收敛6本讲稿
4、第六页，共十五页证证两两边夹边夹,即得结论即得结论.7本讲稿第七页，共十五页解释解释:取值接近于其数学期望的概率接近于取值接近于其数学期望的概率接近于1.当当n充分大时，充分大时，差不多不再是随机的了差不多不再是随机的了,8本讲稿第八页，共十五页定理定理2 2（伯（伯努努利利大数定律大数定律）或或 下面给出的伯努利大数定律下面给出的伯努利大数定律,是定理是定理1的一种特例的一种特例.设设nA是是n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生发生的次数，的次数，p是事件是事件A发生的概率，则对任发生的概率，则对任给的给的 ,有有9本讲稿第九页，共十五页引入引入i=1,2,n则则 而而 由由切比雪夫
5、大数定律，切比雪夫大数定律，10本讲稿第十页，共十五页是事件是事件A发生的频率，发生的频率，贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大充分大时，事件时，事件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有较大偏差有较大偏差的概率很小的概率很小.这这就是就是频频率率稳稳定性的理定性的理论论解解释释。历历史上，史上，贝贝努利第一个研究了努利第一个研究了这这种种类类型的极限定理，在型的极限定理，在17131713年年发发表的表的论论文中文中(这这是概率是概率论论的第一篇的第一篇论论文文!),!),他建立了他建立了以上定理。所以有人以上定理。所以有人认为认
6、为，概率，概率论论的真正的真正历历史史应应从出从出现贝现贝努努利大数定律的利大数定律的时时刻算起。刻算起。11本讲稿第十一页，共十五页 下面给出的独立同分布下的大数定律，下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,独立同分布，具有独立同分布，具有有限的数学期有限的数学期E(Xi)=,i=1,2,，定理定理3 3（辛钦大数定律辛钦大数定律）辛钦辛钦 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径实际可行的途径.12本讲稿第十二页，共十五页 例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如些有代表性的地块，例如n 块块.计算其平均亩产量，计算其平均亩产量，则当则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计估计.13本讲稿第十三页，共十五页 将一枚均匀对称的色子重复掷将一枚均匀对称的色子重复掷n次，则当次，则当n时，求时，求n次次掷出点数的算术平均值依概率收敛的极限掷出点数的算术平均值依概率收敛的极限 例例1 1解解其共同的数学期望为其共同的数学期望为 14本讲稿第十四页，共十五页练习：练习：P150 习题五习题五 15本讲稿第十五页，共十五页