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1、第一讲复变函数本讲稿第一页，共四十页对对 象象复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。具体地就是复数域上的微积分。主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。共形映射等。复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、本讲稿第二页，共四十页学习方法复变函数中许多概念、理论、和复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同
2、之处，在学习之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结意复数域上特有的那些性质与结果。果。本讲稿第三页，共四十页背景背景复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不
3、能接受的以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数虚数”。直到十八世纪，。直到十八世纪，J.DJ.DAlembert(1717-1783)Alembert(1717-1783)与与L.Euler(1707-1783)L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。本讲稿
4、第四页，共四十页复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。A.L.Cauchy A.L.Cauchy（1789-1866)1789-1866)和和K.Weierstrass(1815-K.Weierstrass(1815-1897)1897)分别应用积分和级数研究复变函数，分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.G.F.B.Riemann(1826-1866)Riemann(1826-1866)研究了复变函数的映照性质。他们是研究了复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形
5、成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。益密切。本讲稿第五页，共四十页&1.1.复数的概念复数的概念复数的概念复数的概念&2.2.代数运算代数运算代数运算代数运算&3.3.共轭共轭共轭共轭复数复数复数复数CH1 11复数
6、及其代数运算复数及其代数运算本讲稿第六页，共四十页A 一般一般,任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。1.复数的概念复数的概念 定义定义 对任意两实数对任意两实数x、y,称称 z=x+iy或或z=x+yi为为复数。复数。复数复数z 的实部的实部 Re(z)=x;虚部虚部 Im(z)=y.(real part)(imaginary part)复数的模复数的模 判断复数相等判断复数相等本讲稿第七页，共四十页定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：的和、差、积和商为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x
7、2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代数运算代数运算四则运算四则运算本讲稿第八页，共四十页z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与与实数相同实数相同）即，）即，本讲稿第九页，共四十页共轭复数的性质共轭复数的性质3.共轭复数共轭复数定义定义 若若z=x+iy,称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)本讲稿第十页，共四十页本讲稿第十一页，共
8、四十页本讲稿第十二页，共四十页&1.1.点的表示点的表示点的表示点的表示&2.2.向量表示法向量表示法向量表示法向量表示法&3.3.三角表示法三角表示法三角表示法三角表示法&4.4.指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法2 复数的表示方法复数的表示方法本讲稿第十三页，共四十页1.点的表示点的表示点的表示：点的表示：A 数数z z与点与点z z同义同义.本讲稿第十四页，共四十页2.向量表示法向量表示法A oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴 为始边为始边,以以 为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数 称为复数称为
9、复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时)本讲稿第十五页，共四十页辐角无穷多：辐角无穷多：Arg z=0+2k，kZ，把其中满足把其中满足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz。A z=0z=0时，辐角不确定。时，辐角不确定。计算计算argz(z0)的公式的公式本讲稿第十六页，共四十页A 当当z z落于一落于一,四象限时，不变。四象限时，不变。A 当当z z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 。A 当当z z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 。本讲稿第十七页，共四十页oxy(z)z1z2 z1+z2z2-z1由向量表示法知由向量表示法知3.三角表示法三角表示
10、法4.指数表示法指数表示法本讲稿第十八页，共四十页引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例例1 用复数方程表示用复数方程表示:（1）过两点）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；的直线；（2）中心在点）中心在点(0,-1),半径为半径为2的圆。的圆。oxy(z)Lz1z2z解解（1）z=z1+t(z2-z1)（-t 0为半径的圆为半径的圆|z-z 0|(或或 0|z z 0|
11、0,对任意对任意 z D,均有均有zG=z|z|R，则，则D是有界是有界区域区域；否则无界。；否则无界。闭区域闭区域 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,本讲稿第三十四页，共四十页本讲稿第三十五页，共四十页2.简单曲线（或简单曲线（或Jardan曲线曲线)令令z(t)=x(t)+iy(t)atb;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)，atb有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。本讲稿第三十六页，共四十页重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b),t2 a,b,当当t1t2时，若
12、时，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。定义定义 称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线。z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线本讲稿第三十七页，共四十页3.单连通域与多连通域单连通域与多连通域简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)，ta，b，把复，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分
13、：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B，如果如果B内的任何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的内部总在内部总在B内内，就称，就称 B为单连通为单连通域；非单连通域称为多连通域。域；非单连通域称为多连通域。本讲稿第三十八页，共四十页例如例如|z|0）是单连通的；）是单连通的；0r|z|R是多连通的。是多连通的。单连通域单连通域多连通域多连通域多连通域多连通域单连通域单连通域本讲稿第三十九页，共四十页作业P31 1（）（），（）（）（），（）（），（）（）（）（）（）（）本讲稿第四十页，共四十页