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1、第一节向量组及其线性组合本讲稿第一页，共三十一页 教学目的：教学目的：通过本章的教学使学生理解向量组线性相通过本章的教学使学生理解向量组线性相关性、线性组合、线性表示的概念，会判断向量组线性相关性、线性组合、线性表示的概念，会判断向量组线性相关性关性.掌握向量组的极大无关组和向量组的秩掌握向量组的极大无关组和向量组的秩.了解向量空了解向量空间的概念，熟练掌握向量空间的基和空间中的向量用这个间的概念，熟练掌握向量空间的基和空间中的向量用这个基线性表示基线性表示.教学要求：教学要求：会判断向量组的线性相关性；会求向量空间的会判断向量组的线性相关性；会求向量空间的基和空间中的向量用这个基线性表示基和
2、空间中的向量用这个基线性表示.教学重点：教学重点：向量组线性相关性的判定；向量空间基的向量组线性相关性的判定；向量空间基的求法求法.教学难点：教学难点：向量组线性相关性定理的证明向量组线性相关性定理的证明.2本讲稿第二页，共三十一页定义定义1 1分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量，实向量，一、一、维向量的概念维向量的概念本讲稿第三页，共三十一页例如例如n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量本讲稿第四页，共三十一页二、二、维向量的表示方法维向量的表示方法 维向量写成一行，
3、称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：本讲稿第五页，共三十一页注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.本讲稿第六页，共三十一页 2、n维向量的运算维向量的运算 定义定义2.2 设设n
4、维向量维向量 1)=,当且仅当当且仅当ai=bi(i=1,2,n);2)+=(a1+b1,a2+b2,an+bn);3)k=(ka1,ka2,kan),其中其中 k 是数量是数量.=(a1,a2,an);注：注：如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的线性运算线性运算.=(b1,b2,bn);本讲稿第七页，共三十一页 n维向量的运算律维向量的运算律 设设 ,为为n维向量，维向量，k、l为实数，为实数，0为零向量为零向量.1)+=+;2)+=+(+);3)+0=;4)+()=0;5)1=;6)k(l )=(k l);7)k (+)=k+k;8)(k+l
5、)=k+l.本讲稿第八页，共三十一页例例1.1 计算设 求 1）2）3.解解 +2 ;3 +2 本讲稿第九页，共三十一页向量向量解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可随意几何形象：可随意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向量的代数形象：向量的坐标表示式坐标表示式坐坐标标系系三、向量空间三、向量空间本讲稿第十页，共三十一页空间空间解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间：点的集合：点的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合坐坐标标系系代数形象：向量空代数形象：向量空间中的平面间中的平面
6、几何形象：空间几何形象：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面平面或曲面一一对应一一对应本讲稿第十一页，共三十一页叫做叫做 维向量空间维向量空间 时，时，维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面本讲稿第十二页，共三十一页确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角机身的仰角机身的仰角机翼的转角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量 维向量的实际意义维向量的实际意义本讲稿第
7、十三页，共三十一页定义定义 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组例如例如三、向量、向量组与矩阵三、向量、向量组与矩阵本讲稿第十四页，共三十一页向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组本讲稿第十五页，共三十一页 反之，反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵一个矩阵.本讲稿第十六页，共三十一页线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应本讲稿第十七页，共三十一页定义定义线性组合线性
8、组合四四 向量组的线性组合向量组的线性组合本讲稿第十八页，共三十一页 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示本讲稿第十九页，共三十一页定理定理1 1定义定义向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价本讲稿第二十页，共三十一页 若向量组若向量组1,2,s能由向量组能由向量组1,2,t 线性线性表示，向量组表示，向量组1,2,t 又能向量组又能向量组1,2,p线线性表示性表示.则向量组则向量组1,2,s必能由向量组必能由向量组1,2,p线性表示线性表示.这一结论称为向量组线性表示的这一结论称为向量组线性表示的传递性传递性.容易证明向量组的等价关系具有容易证明向量组的等价关系具有反身性、对称性和传反身性、对称性和传递性递性.本讲稿第二十一页，共三十一页本讲稿第二十二页，共三十一页从而从而本讲稿第二十三页，共三十一页本讲稿第二十四页，共三十一页本讲稿第二十五页，共三十一页本讲稿第二十六页，共三十一页本讲稿第二十七页，共三十一页本讲稿第二十八页，共三十一页本讲稿第二十九页，共三十一页本讲稿第三十页，共三十一页本讲稿第三十一页，共三十一页