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1、数学物理方法 数学物理方程的定解问题2023/4/111第1页，共77页，编辑于2022年，星期六 在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。拉普拉斯第2页，共77页，编辑于2022年，星期六一、数学物理方程一、数学物理方程(泛定方程泛定方程泛定方程泛定方程):):物理规律的数学表示物理规律的数学表示物理规律的数学表示物理规律的数学表示 物理现象物理现象 物理量物理量u 在空间和时间中的变在空间和时间中的变化规律，即物理量化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。之间的联系。数学语言描述 泛定方程泛定方程反映的是反映的是反映的是反映的是同一类物理
2、现象的共性同一类物理现象的共性同一类物理现象的共性同一类物理现象的共性，和具体条，和具体条件无关。件无关。数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别是偏微分方程和积分方程。别是偏微分方程和积分方程。重点讨论重点讨论：二阶线性偏微分方程。：二阶线性偏微分方程。例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条件无关。体条件无关。第3页，共77页，编辑于2022年，星期六三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程双曲型方程波动方程为代表波动方程为
3、代表抛物型方程抛物型方程扩散方程为代表扩散方程为代表椭圆型方程椭圆型方程泊松方程为代表泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程退化为拉普拉斯方程第4页，共77页，编辑于2022年，星期六5 1 边界问题-边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件2 历史问题-初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。三、定解问题三、定解问题 在给定的边界条件和初始条件下，
4、根据已知的物理规律，在给定的区域在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量里解出某个物理量u，即求即求u(x,y,z,t)。定解条件定解条件定解条件定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。特殊性，即个性。泛定方程泛定方程泛定方程泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。二、定解条件二、定解条件第5页，共77页，编辑于2022年，星期六6具体问题求解的一般过程：具体问题求解的一般过程：1 1、根据系统的内在
5、规律列出泛定方程、根据系统的内在规律列出泛定方程客观规律客观规律2 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件初始条件求解所必须的已知条件求解所必须的已知条件3 3、求解方法、求解方法 行波法、行波法、分离变量法分离变量法、积分变换法、格林函数法、积分变换法、格林函数法和变分法和变分法第6页，共77页，编辑于2022年，星期六7.1 7.1 数学模型（泛定方程）的建立数学模型（泛定方程）的建立建模步骤：建模步骤：（1 1）明确要研究的物理量是什么？）明确要研究的物理量是什么？从所研究的系统中从所研究的系统中划出任一微元划出任一微
6、元，分析邻近部分，分析邻近部分与它的相互作用。与它的相互作用。（2 2）研究物理量遵循哪些物理规律？）研究物理量遵循哪些物理规律？（3 3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。第7页，共77页，编辑于2022年，星期六 (一）均匀弦横振动方程一）均匀弦横振动方程一）均匀弦横振动方程一）均匀弦横振动方程 现象描述现象描述现象描述现象描述（如图）（如图）：沿：沿x轴绷紧的均匀柔软的细弦，轴绷紧的均匀柔软的细弦，在平衡位置在平衡位置(x轴轴)附近产生振幅极小的横向振动附近产生振幅极小的横向振动 目的：目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程建立与细弦上各点的振
7、动规律相应的方程 设定设定:(1)弦弦不振动时不振动时静止于静止于x轴轴;(2)用用u(x x,t)表示表示t时刻时刻弦上弦上任一点任一点任一点任一点x在在垂直于垂直于x轴轴方向上方向上的横向位移（的横向位移（偏离偏离）情况）情况 弦的横振动弦的横振动第8页，共77页，编辑于2022年，星期六 选取不包括端点的一微元选取不包括端点的一微元x,x+dx弧弧B段段作为研究对象作为研究对象.研究对象研究对象:(4)(4)设单位长度上弦受力设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：，线力密度为：假设与近似：假设与近似：(1)(1)弦是柔软的弦是柔软的 (不抵抗弯曲不抵抗弯曲),),张力沿弦的切线方向
8、张力沿弦的切线方向 (2)(2)振幅极小振幅极小,张力与水平方向的夹角张力与水平方向的夹角 1 1和和 2 2 很小，仅考很小，仅考虑虑 1 1和和 2 2的一阶小量，略去二阶小量的一阶小量，略去二阶小量 (3)(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略弦的重量与张力相比很小，可以忽略质量线密度质量线密度，u(x)u+duu0 1 2T2T1xx+dxFB第9页，共77页，编辑于2022年，星期六B段段弦的原长近似为弦的原长近似为dx.振动拉伸后：振动拉伸后：u(x)u+duu0 1 2T2T1xx+dxBFB段段的质量的质量：弦长弦长dx，质量线密度质量线密度，则，则B段段质量质量 m=dx物理
9、规律：物理规律：用牛顿运动定律分析用牛顿运动定律分析B段段弦的受力及运动状态弦的受力及运动状态：牛顿运动定律：牛顿运动定律：第10页，共77页，编辑于2022年，星期六沿沿x-方向方向：弦横向振动不出现弦横向振动不出现x方向平移，方向平移，得得力平衡方程力平衡方程沿垂直于沿垂直于x-轴方向轴方向：由牛顿运动定律得由牛顿运动定律得运动方程运动方程在微小振动近似下：在微小振动近似下：由由（1）式，弦中各点的张力相等式，弦中各点的张力相等u(x)u+duu0 1 2T2T1xx+dxBF（1 1）（2 2）第11页，共77页，编辑于2022年，星期六波动方程：波动方程：波速波速a受迫振动方程受迫振动
10、方程单位质量弦所受外单位质量弦所受外力，线力密度力，线力密度令令一维波动方程一维波动方程第12页，共77页，编辑于2022年，星期六一维波动方程一维波动方程-非齐次方程非齐次方程-齐次方程齐次方程忽略重力和外力作用：忽略重力和外力作用：如考虑弦的重量：如考虑弦的重量：u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF沿沿x-方向，不出现平移方向，不出现平移沿垂直于沿垂直于x-轴方向轴方向（1 1）（2 2）因为：因为：因为：因为：所以有：所以有：所以有：所以有：讨论：讨论：第13页，共77页，编辑于2022年，星期六（二）输动问题（二）输动问题（二）输动问题（二）输动问题-扩散问题扩散问题扩散问题
11、扩散问题 扩散现象扩散现象：系统的浓度系统的浓度系统的浓度系统的浓度 不均匀时，将出现物质从高浓度处向低浓度不均匀时，将出现物质从高浓度处向低浓度处转移的现象，称之为处转移的现象，称之为扩散扩散。扩散定律即裴克定律：扩散定律即裴克定律：这是一条实验定律这是一条实验定律 数学建模：数学建模：建立空间各点建立空间各点浓度浓度浓度浓度u u(x,y,z,tx,y,z,t)的方程的方程 物理规律：物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础粒子数守恒粒子数守恒定律：定律：单位时间内流入某一体积的单位时间内流入某一体积的粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积粒子
12、数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积内的单位时间内粒子数的增加量内的单位时间内粒子数的增加量处理方法：处理方法：在在浓度不均匀的无源空间，划浓度不均匀的无源空间，划出出任一小立方体任一小立方体任一小立方体任一小立方体V V为研为研究对象，分析浓度变化规律究对象，分析浓度变化规律。第14页，共77页，编辑于2022年，星期六浓度不均匀浓度不均匀:用浓度梯度用浓度梯度用浓度梯度用浓度梯度 表示表示表示表示；扩散流强弱（强度）扩散流强弱（强度）：用单位时间通用单位时间通过单位面积的物质的量过单位面积的物质的量 表示；表示；扩散（裴克）实验定律：扩散（裴克）实验定律：扩散系数扩散系数设定：设定：处理
13、方法：处理方法：在在浓度不均匀的无源空间，划浓度不均匀的无源空间，划出出任一小立方体任一小立方体任一小立方体任一小立方体V V为研究对象，分析浓为研究对象，分析浓度变化规律度变化规律。扩散流强度与浓度梯度间关系：扩散流强度与浓度梯度间关系：采用裴克实验定律确采用裴克实验定律确定定体元体元内粒子数：内粒子数：第15页，共77页，编辑于2022年，星期六考察沿考察沿考察沿考察沿x x-方向扩散流情况：方向扩散流情况：方向扩散流情况：方向扩散流情况：单位时间沿单位时间沿x-方向净流入量方向净流入量同理沿同理沿y 和沿和沿z方向净流入量方向净流入量由粒子数守恒定律，有由粒子数守恒定律，有负号表示扩散方
14、向与浓度梯度方向相反负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反单位时间内向单位时间内向V的净流入量的净流入量下面由粒子数守恒定律建立下面由粒子数守恒定律建立下面由粒子数守恒定律建立下面由粒子数守恒定律建立V V内粒子数变化规律。内粒子数变化规律。内粒子数变化规律。内粒子数变化规律。单位时间内单位时间内V内粒子数的增加量内粒子数的增加量第16页，共77页，编辑于2022年，星期六如果如果扩散是均匀的扩散是均匀的,即即D是一常数，则可以令是一常数，则可以令D=a2 2，则有则有代入扩散定律代入扩散定律三维扩散方程三维扩散方程三维扩散方程三
15、维扩散方程 如果所如果所研究的空间存在扩散源，源强度与研究的空间存在扩散源，源强度与u(x,y,z,t)无关，无关，且为且为F(x,y,z),这时扩散方程修改为这时扩散方程修改为 如果所如果所研究的空间存在源，源强度与研究的空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)成正比，成正比，即即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)这时扩散方程修改为这时扩散方程修改为讨论：讨论：讨论：讨论：第17页，共77页，编辑于2022年，星期六密度场：密度在空间的分布构成一个标量场。密度场：密度在空间的分布构成一个标量场。有扩散源时系统的密度场满足有扩散源时系统的密度场满足非齐次扩散方程非齐次扩散方程稳定状态：密度
16、稳定状态：密度u 不随时间变化，则不随时间变化，则泊松方程泊松方程无扩散源：无扩散源：F=0拉普拉斯方程拉普拉斯方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程:稳定场问题稳定场问题第18页，共77页，编辑于2022年，星期六例例1 1 1 1 热传导热传导所要研究的物理量：所要研究的物理量：温度温度 物理规律物理规律：采用傅里叶实验定律：采用傅里叶实验定律热传导现象热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热量从高温处流向低温处。数学建模数学建模：傅里叶定律：傅里叶定律：温度不均匀温度不均匀:用用温度梯度温度
17、梯度 表示表示；传热的强弱即传热的强弱即热流强度热流强度：用单位时间内通过单用单位时间内通过单位面积的热量位面积的热量 表示；表示；设定：设定：沿曲面法向流出热量：沿曲面法向流出热量：热传导系数热传导系数热传导系数热传导系数第19页，共77页，编辑于2022年，星期六有限时间内有限时间内即时刻即时刻t1 1到到t2 2通过闭曲面通过闭曲面S流入流入V的热量为的热量为 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量对包围该体积的面积分）高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量对包围该体积的面积分）热场处理方法：处理方法：在温在温度不均匀的无源空间，划出任一封闭曲面度不均匀的无源空间，划出任一封闭曲面S包围的包
18、围的体积元体积元V（如图）（如图）。在在S 上选取任一足够小的微面元上选取任一足够小的微面元dS，在此面元范在此面元范围内热流强度近似为常量。围内热流强度近似为常量。那么在那么在dt时间内从时间内从dS流入流入V的的热量热量热量热量为为(向为正向为正)：第20页，共77页，编辑于2022年，星期六流入的热量导致流入的热量导致V内的温度发生变化内的温度发生变化 流入的热量：流入的热量：温度发生变化需要的热量温度发生变化需要的热量(c比热容，比热容，质量密度质量密度)：热传导方程热传导方程热场热场热场热场如果物体内有热源，则温度满足如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程非齐次热传导方程 总结
19、：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两者本质不同，但满足同一微分方程者本质不同，但满足同一微分方程者本质不同，但满足同一微分方程者本质不同，但满足同一微分方程第21页，共77页，编辑于2022年，星期六例例例例2 2 2 2 静电场电势问题。静电场电势问题。介质方程介质方程:其中其中:高斯定理高斯定理:环路定理环路定理:物理规律物理规律：由电磁学可知，静电场满足静电学高斯定理、环路定由电磁学可知，静电场满足静电学高斯定理、环路定理和介质方程。理和介质方程
20、。数学建模数学建模：建立电势：建立电势u(x,y,z)与电荷密度与电荷密度(x,y,z)的关系。的关系。由电场的高斯定理由电场的高斯定理 物理问题物理问题：在介电常数为在介电常数为的介质的介质空间空间，存在电荷分布，存在电荷分布(x,y,z)激发电场激发电场 形成电势分布形成电势分布u(x,y,z)。第22页，共77页，编辑于2022年，星期六若空间若空间无电荷，即电荷密度无电荷，即电荷密度，上式成为，上式成为 称这个方程为拉普拉斯方程拉普拉斯方程.由电场的环路定理，可知静电场是一个保守场由电场的环路定理，可知静电场是一个保守场.由保守由保守场的性质，场的性质，引入电势引入电势引入电势引入电势
21、u u,且且电场是电势梯度的负值电场是电势梯度的负值电场是电势梯度的负值电场是电势梯度的负值，即，即：进一步对电场取散度，有：进一步对电场取散度，有：泊松方程泊松方程 设电势为设电势为:u(x,y,z)。第23页，共77页，编辑于2022年，星期六7.1 3.4.第24页，共77页，编辑于2022年，星期六7.2 7.2 定解条件定解条件 数学物理方程的定解数学物理方程的定解 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量域里解出某个物理量u，即求即求即求即求u u(x x,y y,z z,t t)。1
22、 1 1 1 数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。程。它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。2 2 2 2 定解条件定解条件定解条件定解条件：边界条件和初始条件的总体。边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。它反映了问题的特殊性，即个性。第25页，共77页，编辑于2022年，星期六初始时刻的温度分布：初始时刻的温度分布：B B、热传导方程的初始条件、热传导方程的初始条件C C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件A A、波动方程的初始条件波动方程的初始条件描
23、述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初位移系统各点的初速度系统各点的初速度（一）（一）初始条件初始条件波动方程含有时间的二阶导数，所以需二个初始条件波动方程含有时间的二阶导数，所以需二个初始条件 热传导方程含有时间的一阶导数，所以需一个初始条件热传导方程含有时间的一阶导数，所以需一个初始条件此类导方程不含时间的导数，所以不需要有初始条件此类导方程不含时间的导数，所以不需要有初始条件第26页，共77页，编辑于2022年，星期六和和 是空间坐标的函数是空间坐标的函数注意注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是某
24、一位置处的情况。某一位置处的情况。例例：一一根长为根长为l的弦，两端固定于的弦，两端固定于0和和l。在中点位置将弦沿着横向拉在中点位置将弦沿着横向拉开距离开距离h，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。l x l/2h解：解：初始时刻就是放手的那一瞬间，弦的形状如图初始时刻就是放手的那一瞬间，弦的形状如图所示所示,且弦处于静止状态，即有方程且弦处于静止状态，即有方程初始位移初始位移初始速度初始速度第27页，共77页，编辑于2022年，星期六（二）边界条件（二）边界条件 定义：定义：系统的物理量在边界上具有的情况。系统的物理量在边界上具有的情况。
25、A.A.第一类（狄利克雷）边界条件第一类（狄利克雷）边界条件给出未知函数在给出未知函数在边界上的函数值边界上的函数值。例例2 2：两端固定的弦振动时的边界条件：两端固定的弦振动时的边界条件：和和常见的线性边界条件分为三类：常见的线性边界条件分为三类：第28页，共77页，编辑于2022年，星期六例例3：细杆热传导：细杆热传导 细杆在细杆在x=l端的温度端的温度随时间变化随时间变化,设温度变化规律为设温度变化规律为f(t),边界的数理边界的数理方程方程细杆细杆x=l端的温度处于恒温状态端的温度处于恒温状态,边界的数理方程边界的数理方程第一类边界条件的基本形式：第一类边界条件的基本形式：第一类边界条
26、件的基本形式：第一类边界条件的基本形式：第29页，共77页，编辑于2022年，星期六B.B.第二类（诺伊曼）边界条件第二类（诺伊曼）边界条件例例4 4：细杆热传导细杆热传导 我们用傅里叶我们用傅里叶(热传导热传导)定律来建立边界的数学物理方程定律来建立边界的数学物理方程.傅里叶实验定律傅里叶实验定律:单位时间内单位时间内,通过单位面积的热流为通过单位面积的热流为 给出未知函数在边界上的给出未知函数在边界上的法线方向的导数之值法线方向的导数之值。第二类边界条件的基本形式：第二类边界条件的基本形式：第二类边界条件的基本形式：第二类边界条件的基本形式：细杆细杆x=a端点绝热的端点绝热的边界条件：边界
27、条件：边界条件：边界条件：设细杆沿设细杆沿x轴方向轴方向,则一维傅里叶实验定律改写为则一维傅里叶实验定律改写为其中其中u是所在位置处物体的是所在位置处物体的k是传热系数。是传热系数。细杆细杆x=a端点有热流端点有热流kf(t)流出的流出的边界条件：边界条件：边界条件：边界条件：第30页，共77页，编辑于2022年，星期六（3 3）.第三类（混合）边界条件第三类（混合）边界条件牛顿冷却定律：单位时间内，通过物体单位表面牛顿冷却定律：单位时间内，通过物体单位表面牛顿冷却定律：单位时间内，通过物体单位表面牛顿冷却定律：单位时间内，通过物体单位表面流入周围介质的热流（流入周围介质的热流（流入周围介质的
28、热流（流入周围介质的热流（即流出热流即流出热流）为）为）为）为式中式中式中式中u是物体表面的温度，是物体表面的温度，是周围介质的温度，是周围介质的温度，是周围介质的温度，是周围介质的温度，h是热是热交换系数。交换系数。在一维情况下，在一维情况下，在一维情况下，在一维情况下，牛顿冷却定律简化为牛顿冷却定律简化为一维傅里叶实验定律一维傅里叶实验定律先引入两个基本物理定律：先引入两个基本物理定律：第31页，共77页，编辑于2022年，星期六例例5 5：写出写出导热细杆导热细杆l端端“自由自由”冷却的边界条件。冷却的边界条件。根据根据热传导定律热传导定律，在，在 x=l 处处：负负x方向方向正正x方向
29、方向在在x=0 处：处：流出热流强度流出热流强度由由牛顿冷却定律牛顿冷却定律牛顿冷却定律牛顿冷却定律，此此流出热量与细杆和外界的温度差成正比，即流出热量与细杆和外界的温度差成正比，即即：即：讨论：如图情况讨论：如图情况x第32页，共77页，编辑于2022年，星期六例例6 6：细杆纵振动：细杆纵振动：端点与固定点弹性连接。应力为弹性力端点与固定点弹性连接。应力为弹性力胡克定律：胡克定律：弹性力：弹性力：则在端点则在端点这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。（三）衔接条件（三）衔接条件（三）衔接条件（三）衔接条件 系统中可能出现物理性质急剧变化的点系统
30、中可能出现物理性质急剧变化的点(跃变点跃变点)。如两节具有不同。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，理过程因此不同。但在跃变点，某些物理量仍然可以是连续的某些物理量仍然可以是连续的，这就，这就构成构成衔接条件衔接条件。第三类边界条件的基本形式：第三类边界条件的基本形式：第三类边界条件的基本形式：第三类边界条件的基本形式：第33页，共77页，编辑于2022年，星期六这两个等式就是构成两段这两个等式就是构成两段衔接的衔接的是是衔接条件衔接条件。折点处折点处折点处折点处
31、，横向力应与张力平衡：，横向力应与张力平衡：即即 1 2折点处折点处折点处折点处位移极限值相同。位移极限值相同。弦在折点弦在折点弦在折点弦在折点x x0 0的左右斜率不同。的左右斜率不同。的左右斜率不同。的左右斜率不同。即斜率有跃变，则即斜率有跃变，则即斜率有跃变，则即斜率有跃变，则u uxxxx在折点在折点在折点在折点x x0 0 0 0不存在，也即此点处弦振动方程不存在，也即此点处弦振动方程不存在，也即此点处弦振动方程不存在，也即此点处弦振动方程不成立。只能把弦以不成立。只能把弦以不成立。只能把弦以不成立。只能把弦以x x0 0为界分为二段。为界分为二段。为界分为二段。为界分为二段。例例7
32、 7横向力横向力F(t)集中作用于弦上集中作用于弦上x0 0点点,使使x0点成为折点（如图）点成为折点（如图）。但二段是同一根弦，它们间相互关连。因此要建立此关系：但二段是同一根弦，它们间相互关连。因此要建立此关系：第34页，共77页，编辑于2022年，星期六例例 8 8 长为长为 l 的弦在的弦在 x=0 端固定，另一端端固定，另一端 x=l 自由，自由，且在初始时刻且在初始时刻 t=0=0 时处于水平状态，初始速度为时处于水平状态，初始速度为 x(l-x)，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.解解 （1 1）确定泛定方程：）确定泛定方程：取弦的水
33、平位置为取弦的水平位置为轴，轴，为原点，为原点，弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程 (2)(2)确定边界条件确定边界条件 对于弦的固定端，显然有对于弦的固定端，显然有 u(x,t)|x=0=0,ux(x,t)|x=l=0 另一端自由，意味着弦的张力为零则另一端自由，意味着弦的张力为零则 第35页，共77页，编辑于2022年，星期六(3)(3)确定初始条件确定初始条件 根据题意，当根据题意，当时，弦处于水平状态，即初始位移为零时，弦处于水平状态，即初始位移为零 初始速度初始速度 综上讨论，故定解问题为综上讨论，故定解问题为第3
34、6页，共77页，编辑于2022年，星期六例9 在均匀静电场E E0 0 中置入半径为R0 的导体球，若导体 球接有稳恒电池，使球与地保持电势差u0。试写出电势u满足的泛定方程与定解条件。解：选z轴沿均匀外电场E E0 0的方向，见图1。0z(a)0Z(b)（图 1）第37页，共77页，编辑于2022年，星期六 设球内外电势分别用u0、u1 表示。（1）泛定方程。因为除球面上(R=R0)有自由电荷分布外，球内外的f=0，故（2）定解条件 给出球面与无限远最势满足的规律。给出球面与无限远最势满足的规律。球面处：球面处：球面上电势连续，即有边界条件0z(a)0Z(b)（图 1）第38页，共77页，编
35、辑于2022年，星期六 现在计算上式从 到 的积分。由于在静电场中，上式的积分与积分的路线无关，故可取积分路线l为直线，如图(1)所示。将 Ecos作为常数提出积分号外，并将u(R0)=u0 代入，便有边界条件无限远处：可以把导体表面有限的电荷分布产生的电势和电势u0看成点电荷和点电势源,由于点电荷在无限远处的贡献可以忽略不计，故可把目前问题简化为点电势在空间的分布问题。对于点电势，随着离开点势源的距离l的增加,电势是减少的,由图(1)可得第39页，共77页，编辑于2022年，星期六7.21.3.5.7第40页，共77页，编辑于2022年，星期六(一一)线性二阶偏微分方程线性二阶偏微分方程(1
36、)(1)偏微分方程偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如含有未知多元函数及其偏导数的方程，如其中其中是未知多元函数，而是未知多元函数，而 是未知变量；是未知变量；为为的偏导数的偏导数.有时为了书写方便，通常记有时为了书写方便，通常记7.3 7.3 数学物理方程的分类数学物理方程的分类*第41页，共77页，编辑于2022年，星期六(2)(2)方程的阶方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶方程的阶(3)(3)方程的次数方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数分方程的
37、次数(4)(4)线性方程线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导数的合）偏导数的幂次数幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程方程称为非线性方程(5)(5)准线性方程准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程(6)(6)自由项自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项项称为自由项第
38、42页，共77页，编辑于2022年，星期六（7 7）方程的通解）方程的通解如：二阶线性非齐次偏微分方程如：二阶线性非齐次偏微分方程 的的通解通解为为其中其中是两个独立的任意函数是两个独立的任意函数若函数若函数 的具体形式给定，则得到方程的特解。的具体形式给定，则得到方程的特解。（8 8）方程的特解）方程的特解方程的解含有方程的解含有任意元素任意元素（即任意常数或任意函数）（即任意常数或任意函数）第43页，共77页，编辑于2022年，星期六1.1.1.1.二阶线性偏微分方程的一般形式二阶线性偏微分方程的一般形式二阶线性偏微分方程的一般形式二阶线性偏微分方程的一般形式a11,a12,a22,b1,
39、b2,c,f 只是只是 x,y 的函数。的函数。f 0 方程为方程为齐次齐次的的;否则否则 ,为为非齐次非齐次的的.叠加原理叠加原理 定解问题的解可以看作几个部分的线性叠加，只要这些部分定解问题的解可以看作几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是各自所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程和定解条件。原来的泛定方程和定解条件。泛定方程、定解条件都是线性泛定方程、定解条件都是线性(二二)二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类第44页，共77页，编辑于2022年，星期六2.2.2.2.二阶偏微分方程的化简二阶偏微分方程的化
40、简二阶偏微分方程的化简二阶偏微分方程的化简作变换：作变换：为使变换非奇异，其雅克比行列式满足为使变换非奇异，其雅克比行列式满足变换变换运算运算有有即即第45页，共77页，编辑于2022年，星期六采用新变量后的方程采用新变量后的方程其中其中第46页，共77页，编辑于2022年，星期六注意注意A11和和A22形式相同，形式相同，和和用用z表示，如果表示，如果则有则有 （或（或 ）注意到注意到二阶线性偏微分二阶线性偏微分方程的方程的特征方程特征方程特征方程的根为：特征方程的根为：通过求解此微分方程可以得到变换函数（通过求解此微分方程可以得到变换函数（特征线特征线），从而线性偏微分方程得以简化。，从而
41、线性偏微分方程得以简化。第47页，共77页，编辑于2022年，星期六定义：定义：1.1.当判别式当判别式 以求得以求得两个实函数解两个实函数解 时，从特征方程可时，从特征方程可也就是说，偏微分方程也就是说，偏微分方程(1)(1)有有两条实的特征线两条实的特征线于是取于是取方程可化为：方程可化为：作为新的自变量，此时有：作为新的自变量，此时有：第48页，共77页，编辑于2022年，星期六或者进一步作变换或者进一步作变换于是有于是有所以所以又可以进一步将方程化为又可以进一步将方程化为形式形式我们前面建立的波动方程就属于此类型我们前面建立的波动方程就属于此类型 这种类型的方程称为这种类型的方程称为双
42、曲型方程双曲型方程，是双曲型方程的是双曲型方程的标准标准第49页，共77页，编辑于2022年，星期六2 2当判别式当判别式 时：这时方程重根时：这时方程重根特征线为一条实特征线特征线为一条实特征线作变换作变换 任意选取另一个变换，任意选取另一个变换，只要它和只要它和 彼此独立，即雅可比式彼此独立，即雅可比式第50页，共77页，编辑于2022年，星期六方程可化为：方程可化为：此类方程称为此类方程称为抛物型方程抛物型方程热传导（扩散）方程就属于热传导（扩散）方程就属于这种类型这种类型第51页，共77页，编辑于2022年，星期六3.3.当判别式当判别式 面的讨论，只不过得到的面的讨论，只不过得到的
43、时：可以重复上时：可以重复上和和 是一是一对对共轭的共轭的复函数，或者说，复函数，或者说，两条特征线是一对两条特征线是一对共轭复函数共轭复函数族族:是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量于是于是第52页，共77页，编辑于2022年，星期六所以所以 方程进一步化为方程进一步化为这种类型的方程称为这种类型的方程称为椭圆型方程椭圆型方程拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)方程、泊方程、泊松松(Poisson)(Poisson)方程和方程和Helmholtz Helmholtz 方程都属于这种类型方程都属于这种类型第53页，共77页，编辑于
44、2022年，星期六小结：小结：=a212 a11a22判别式判别式D 0 双曲型双曲型 =0 抛物线型抛物线型 x/a时，上式后两项无意义，必须将时，上式后两项无意义，必须将 u(x,t)延拓到这个范围延拓到这个范围，作奇延拓作奇延拓：半无限长弦的自由振动半无限长弦的自由振动第63页，共77页，编辑于2022年，星期六第64页，共77页，编辑于2022年，星期六半波损失只有初始位移，没有初始速度只有初始位移，没有初始速度开始反射开始反射第65页，共77页，编辑于2022年，星期六一个端点自由一个端点自由设初始条件为设初始条件为和和边界条件边界条件应该是偶延拓应该是偶延拓第66页，共77页，编辑
45、于2022年，星期六无半波损失无半波损失只有初始位移，没有初始速度只有初始位移，没有初始速度开始反射开始反射第67页，共77页，编辑于2022年，星期六（三）跃变点的反射（三）跃变点的反射 无限长杆，无限长杆，x0 两部分的杨氏模量和密度分别为两部分的杨氏模量和密度分别为 。x=0 是跃变点是跃变点。设有行波设有行波 从区域从区域 I 向向 x=0 点运动。到点运动。到x=0 产生反射和产生反射和透射透射。取此波在取此波在 t=0 时刻抵达时刻抵达 x=0 .衔接条件衔接条件第68页，共77页，编辑于2022年，星期六区域区域 II II 中，只有透射波中，只有透射波衔接条件衔接条件区域区域
46、I I 中的行波：中的行波：第69页，共77页，编辑于2022年，星期六又又反射系数反射系数透射系数透射系数第70页，共77页，编辑于2022年，星期六 从从达朗贝尔公式达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解，是初始条件的可以看出，波动方程的解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。来。而这种演化又受到边界条件的限制。而这种演化又受到边界条件的限制。这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解时的重要性。时的重要性。达朗贝尔解表示沿达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波的叠加轴正、反向传播的两列波的叠加第71页，共77页，编辑于2022年，星期六例例9 9设初始条件为设初始条件为和边界条件边界条件定解问题定解问题端点自由时的解端点自由时的解分解分解分析：分析：第72页，共77页，编辑于2022年，星期六解：通解为解：通解为定解条件定解条件求：求：第73页，共77页，编辑于2022年，星期六求求第74页，共77页，编辑于2022年，星期六例例1111 求解求解Goursat问题问题解解：令第75页，共77页，编辑于2022年，星期六7.41.2.4.8第76页，共77页，编辑于2022年，星期六第77页，共77页，编辑于2022年，星期六