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1、第第5章章 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法本讲稿第一页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学2模态叠加法模态叠加法物理空间物理空间耦合耦合主模态空间主模态空间解耦解耦物理空间物理空间耦合耦合正则模态空间正则模态空间解耦解耦多自由度系统振动多自由度系统振动本讲稿第二页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学3 在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题。的广义特征值问题。缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。线
2、性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 (a)(a)全局全局 (b)(b)第一阶主谐波共振第一阶主谐波共振仿真梁非线性模型受迫振动的稳态幅频响应仿真梁非线性模型受迫振动的稳态幅频响应 (c)(c)第二阶主谐波共振第二阶主谐波共振 (d)(d)第三阶主谐波共振第三阶主谐波共振 通常情况下，工程中只有前几阶频率和模态最受关注。如下例，梁的通常情况下，工程中只有前几阶频率和模态最受关注。如下例，梁的非线性受迫振动稳态幅频响应：非线性受迫振动稳态幅频响应：本讲稿第三页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学4 本章介绍几种近似计算方法，可作为实用的工程计算方法本章介绍几种近似计算方法，可作
3、为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算。对系统的振动特性作近似计算。邓克利法邓克利法邓克利法邓克利法瑞利法瑞利法里茨法里茨法矩阵迭代法矩阵迭代法矩阵迭代法矩阵迭代法子空间迭代法子空间迭代法子空间迭代法子空间迭代法传递矩阵法传递矩阵法传递矩阵法传递矩阵法线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法本讲稿第四页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学5 邓克利法邓克利法-由邓克利（由邓克利（Dunkerley）在实验确定多圆盘的横向振动固有频）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的。率时提出的。-便于作为系统基频的计算公式。便于作为系统基频的计算公式。自由振动作用力方程：自由振
4、动作用力方程：左乘柔度矩阵左乘柔度矩阵F=K-1，位移方程：，位移方程：定义定义D=FM 为系统的动力矩阵：为系统的动力矩阵：作用力方程的特征值问题：作用力方程的特征值问题：位移方程的特征值问题：位移方程的特征值问题：线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/邓克利法邓克利法主振动：主振动：本讲稿第五页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学6作用力方程的特征值问题：作用力方程的特征值问题：位移方程的特征值问题：位移方程的特征值问题：特征值：特征值：关系：关系：位移方程的最大特征根：位移方程的最大特征根：对应着系统的第一阶固有频率对应着系统的第一阶固有频率（基频）（基频）位移方程的
5、特征方程：位移方程的特征方程：展开：展开：其中：其中：例如：例如：线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/邓克利法邓克利法D=FM本讲稿第六页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学7特征方程：特征方程：其中：其中：当当 M 为对角阵时：为对角阵时：特征方程又可写为：特征方程又可写为：有：有：柔度系数柔度系数 fii 的物理意义：沿第的物理意义：沿第 i 个坐标施加单位力时所产生的第个坐标施加单位力时所产生的第 i 个个坐标的位移。坐标的位移。线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/邓克利法邓克利法D=FM本讲稿第七页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学8如果只
6、保留第如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：例如：两自由度系统例如：两自由度系统（1）只保留）只保留 m1 时时柔度矩阵：柔度矩阵：（2）只保留）只保留 m2 时时m1k1k2m2m1k1m2k1k2线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/邓克利法邓克利法本讲稿第八页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学9如果只保留第如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：将将 代入：代入：对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因对于梁结构系统，第二阶及第
7、二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：此左端可只保留基频项，有：邓克利法邓克利法得到的基频是精确值的下限。得到的基频是精确值的下限。线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/邓克利法邓克利法本讲稿第九页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学10解释：解释：因在邓克利法中忽略了因在邓克利法中忽略了a，因此所得结果为基频下限。，因此所得结果为基频下限。得到的基频是精确值的下限得到的基频是精确值的下限线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/邓克利法邓克利法本讲稿第十页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学11例：三自由度系统（教材例：三自由度系统
8、（教材P104算例）算例）采用常规方法，采用常规方法，固有频率：固有频率：邓克利法：邓克利法：当当 m1 单独存在时单独存在时当当 m2 单独存在时单独存在时当当 m3 单独存在时单独存在时代入邓克利法公式：代入邓克利法公式：mmkk2m2k线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/邓克利法邓克利法本讲稿第十一页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学12特征方程：特征方程：其中：其中：特征方程又可写为：特征方程又可写为：有：有：线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/邓克利法邓克利法D=FM邓克利法的另一种表达：邓克利法的另一种表达：本讲稿第十二页，共四十八页2023年4月
9、11日振动力学振动力学13本讲稿第十三页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学14线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/邓克利法邓克利法本讲稿第十四页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学15本讲稿第十五页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学16线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/邓克利法邓克利法本讲稿第十六页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学17线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/邓克利法邓克利法本讲稿第十七页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学18线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/邓克利法邓克
10、利法小结小结:邓克利法邓克利法1.得到的基频是精确值的下限得到的基频是精确值的下限 2.影响系数法：当影响系数法：当 M 为对角阵时为对角阵时,如果只保留第如果只保留第 i 个质量，所个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：得的单自由度系统的固有频率为：3.邓克利法的另一种表达：邓克利法的另一种表达：本讲稿第十八页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学19 瑞利法瑞利法-基于能量原理的一种近似方法基于能量原理的一种近似方法-可用于计算系统的基频可用于计算系统的基频 算出的近似值为实际基频的上限。算出的近似值为实际基频的上限。-配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围配合
11、邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围 n 自由度保守系统：自由度保守系统：机械能守恒机械能守恒主振动主振动：动能与势能：动能与势能：最大值：最大值：瑞利商瑞利商线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/瑞利法瑞利法本讲稿第十九页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学20瑞利商瑞利商对于第对于第 i 阶模态：阶模态：当当 为一般向量时（不是实际模态），总能展开为为一般向量时（不是实际模态），总能展开为 n 个正则个正则模态的线性组合：模态的线性组合：代入瑞利商：代入瑞利商：可以证明，可以证明，和和 分别为瑞利商的极小值和极大值分别为瑞利商的极小值和极大值即：即：线性振
12、动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/瑞利法瑞利法对应第对应第 i 阶固有频率阶固有频率本讲稿第二十页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学21分析分析证证明：明：换为换为若将瑞利商右端分子内的所有若将瑞利商右端分子内的所有 是最低是最低阶阶固有固有频频率，率，由于由于因此：因此：由瑞利商公式知，当由瑞利商公式知，当 确确为为第一第一阶阶模模态时态时，有：，有：因此，瑞利商的极小因此，瑞利商的极小值为值为同理可同理可证证明，瑞利商的极大明，瑞利商的极大值为值为 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/瑞利法瑞利法本讲稿第二十一页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学
13、22如果如果 接近第接近第 k 阶真实模态阶真实模态 比起比起 ak，其它系数很小，其它系数很小代入，得：代入，得：线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/瑞利法瑞利法本讲稿第二十二页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学23线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/瑞利法瑞利法解释：解释：例如例如 k1约去约去a1分子上加减分子上加减1项项本讲稿第二十三页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学24如果如果 接近第接近第 k 阶真实模态阶真实模态 ，比起比起 ak，其它系数很小，其它系数很小代入，得：代入，得：因此，若因此，若 与与 的差异为一阶小量，则瑞利商与的
14、差异为一阶小量，则瑞利商与 的差别的差别为二阶小量。为二阶小量。对于基频的特殊情况，令对于基频的特殊情况，令k1，则由于，则由于 瑞利商在基频处取极小值。瑞利商在基频处取极小值。利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限。利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限。线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/瑞利法瑞利法愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确。愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确。本讲稿第二十四页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学25例：三自由度系统（教材例：三自由度系统（教材P106算例）算例）采用常规方法，固有频率：采用常规方法
15、，固有频率：采用邓克利法，基频：采用邓克利法，基频：取在取在2m质量上施加力质量上施加力P所产生的所产生的“静变形曲线静变形曲线”作为近似的第一阶作为近似的第一阶主振型，即：主振型，即：代入瑞利商公式：代入瑞利商公式：与精确值相比，相对误差与精确值相比，相对误差1.34%mmkk2m2k线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/瑞利法瑞利法本讲稿第二十五页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学26线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/瑞利法瑞利法本讲稿第二十六页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学27线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/瑞利法瑞利法本
16、讲稿第二十七页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学28本讲稿第二十八页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学29-基于能量原理的一种近似方法基于能量原理的一种近似方法-可用于计算系统的基频可用于计算系统的基频 算出的近似值为实际基频的上限。算出的近似值为实际基频的上限。n 自由度保守系统：自由度保守系统：第一瑞利商：第一瑞利商：线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/瑞利法瑞利法位移方程：位移方程：第二瑞利商：第二瑞利商：小结小结:瑞利法瑞利法本讲稿第二十九页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学30 里茨法里茨法 里兹法是瑞利法的改进里兹法是瑞利法的改进
17、;里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降。下降。用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几阶频率和模态。阶频率和模态。瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限。的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限。线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法本讲稿第三十页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学31 里里兹兹法基于与
18、瑞利法相同的原理，但将瑞利使用的法基于与瑞利法相同的原理，但将瑞利使用的单单个假个假设设模模态态改改进进为为若干个独立的假若干个独立的假设设模模态态的的线线性性组组合：合：元素待定元素待定代入瑞利商：代入瑞利商：由于由于 在系统中的真实主振型处取驻值，所以在系统中的真实主振型处取驻值，所以 A 的各个元的各个元素应当从下式确定：素应当从下式确定：线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法本讲稿第三十一页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学32瑞利商：瑞利商：代入：代入：其中其中是是 r 阶单阶单位矩位矩阵阵的第的第 j 列列 上面上面 r 个方程可合成为：个方程可合
19、成为：表示将函数分别对表示将函数分别对 A 的各个元素依次求偏导，然后排列成列向量。的各个元素依次求偏导，然后排列成列向量。线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法本讲稿第三十二页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学33瑞利商：瑞利商：同理，有：同理，有：两两项项代入：代入：可写为：可写为：线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法本讲稿第三十三页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学34由于由于 的的阶阶数数 r 一般一般远远小于系小于系统统自由度数自由度数 n，上式所示，上式所示的矩的矩阵阵特征特征值问题值问题比原来系比原来系统统的矩
20、的矩阵阵特征特征值问题值问题解起来容解起来容易得多易得多。因此里因此里兹兹法法实际实际上是一种上是一种缩缩减系减系统统自由度以求解固有振自由度以求解固有振动动的近似方法。的近似方法。就是自由度就是自由度缩缩减减为为 r 的新系的新系统统的的刚刚度矩度矩阵阵和和质质量矩量矩阵阵。可求出可求出 r 个特征根个特征根及相应的特征向量及相应的特征向量原来系统的前原来系统的前 r 阶固有频率可近似取为：阶固有频率可近似取为：相应的前相应的前 r 阶主振型近似取为：阶主振型近似取为：线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法本讲稿第三十四页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学3
21、5正交性分析正交性分析得出的近似主振型式关于矩阵得出的近似主振型式关于矩阵 M 和和 K 相互正交相互正交。时时成立成立同理，有：同理，有：因此：因此：线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法本讲稿第三十五页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学36例：三自由度系统（教材例：三自由度系统（教材P106算例）算例）采用常规方法，固有频率：采用常规方法，固有频率：采用邓克利法，基频：采用邓克利法，基频：将假将假设设的振型取的振型取为为：mmkk2m2k线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法采用瑞利法，基频：采用瑞利法，基频：本讲稿第三十六页，共四十八
22、页2023年4月11日振动力学振动力学37将假将假设设的振型取的振型取为为：缩缩减后的新系减后的新系统统的的刚刚度矩度矩阵阵和和质质量矩量矩阵阵：特征特征值问题值问题：线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法本讲稿第三十七页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学38固有固有频频率：率：主振型：主振型：和和 是主振型归一化时产生的常数，不必考虑是主振型归一化时产生的常数，不必考虑。线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法本讲稿第三十八页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学39固有固有频频率：率：主振型：主振型：固有固有频频率精确率精确值值
23、：主振型精确主振型精确值值：采用邓克利法，基频：采用邓克利法，基频：采用瑞利法，基频：采用瑞利法，基频：里兹法得到的基频精度比用瑞利法的高，但第二阶固有频率的精度里兹法得到的基频精度比用瑞利法的高，但第二阶固有频率的精度还欠佳还欠佳。线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法本讲稿第三十九页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学40例例:下图表示一等直径的圆轴，左端紧固，求轴自由扭转下图表示一等直径的圆轴，左端紧固，求轴自由扭转振动的一阶固有频率和振型。振动的一阶固有频率和振型。等直圆轴扭转振动模型等直圆轴扭转振动模型 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里
24、兹法里兹法本讲稿第四十页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学41解解：把把圆圆轴轴沿沿轴轴向向平平均均划划分分为为7 7段段，把把每每一一段段轴轴的的转转动动惯惯量量 平平均均向向两两端端集集聚聚，于于是是均均匀匀连连续续的的轴轴变变为为七七个个集集中中的的圆圆盘盘，最最右右边边的的那那个个圆圆盘盘转动惯量为转动惯量为 ,其余六个圆盘均为其余六个圆盘均为J J。相相邻邻圆圆盘盘间间用用无无重重的的弹弹性性扭扭转转轴轴联联系系，扭扭转转刚刚度度为为k kt t。这这样样的的扭扭转转系系统与前面讲的多自由度弹簧统与前面讲的多自由度弹簧-质量系统是类似的。质量系统是类似的。等直圆轴扭转振
25、动模型等直圆轴扭转振动模型 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法本讲稿第四十一页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学42质量矩阵和刚度矩阵分别为质量矩阵和刚度矩阵分别为:线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法本讲稿第四十二页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学43因为扭转轴自由端变位最大，于是可假设因为扭转轴自由端变位最大，于是可假设于是有于是有线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法本讲稿第四十三页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学44于是得到新的特征问题：于是得到新的特征问题：根据材料力学，每
26、一小段轴的扭转刚度和转动惯量分别为：根据材料力学，每一小段轴的扭转刚度和转动惯量分别为：令令 则经过简化后的迭代方程为则经过简化后的迭代方程为线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法本讲稿第四十四页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学45得到特征方程为得到特征方程为对应的特征向量为对应的特征向量为 得到用里兹法估算的系统固有频率为得到用里兹法估算的系统固有频率为:精确解为精确解为计算结果，一阶频率误差仅计算结果，一阶频率误差仅0.130.13，精度是较好的，精度是较好的。线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法本讲稿第四十五页，共四十八页2023
27、年4月11日振动力学振动力学46小结小结:里茨法里茨法 里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降。值进一步下降。用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几阶用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几阶频率和模态。频率和模态。瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限。度，而且得到的基频总是精确值的上限。线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法瑞利商：瑞利商：本讲稿第四十六
28、页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学47线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/矩阵迭代法矩阵迭代法小结小结:矩阵迭代法矩阵迭代法出发，适合计算系统的最低几阶模态和固有频率。出发，适合计算系统的最低几阶模态和固有频率。从位移方程：从位移方程：计算第一阶模态和固有频率的迭代矩阵和迭代格式为计算第一阶模态和固有频率的迭代矩阵和迭代格式为计算第二阶模态和固有频率的迭代矩阵和迭代格式为计算第二阶模态和固有频率的迭代矩阵和迭代格式为计算第三阶模态和固有频率的迭代矩阵和迭代格式为计算第三阶模态和固有频率的迭代矩阵和迭代格式为动力矩阵动力矩阵D和和和和和和本讲稿第四十七页，共四十八页2023年4月11日振动力学振动力学48教材教材123页：页：2、3、5线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法/传递矩阵法传递矩阵法课后作业：课后作业：本讲稿第四十八页，共四十八页