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1、数学思想与数学方法专题训练第1页，共38页，编辑于2022年，星期六【解析】【解析】设设k ，则，则 k 为过圆为过圆(x2)2y21上点及原点的直线斜率上点及原点的直线斜率,作图如下作图如下,k ，又，又y0，k0，故，故 的取值范围是的取值范围是 答案答案 B第2页，共38页，编辑于2022年，星期六3在在等等比比数数列列an中中，Sn为为其其前前n项项和和，已已知知a52S43，a62S53，则此数列的公比，则此数列的公比q为为()(A)2(B)3(C)4(D)5【解析】【解析】两式相减得两式相减得a6a52a5，a63a5，q3 答案答案 B4从从5位位男男教教师师和和4位位女女教教师
2、师中中选选出出3位位教教师师，派派到到3个个班班担担任任班班主主任任(每每班班1位位班班主主任任)，要要求求这这3位位班班主主任任中中男男、女女教教师师都都要要有，则不同的选派方案共有有，则不同的选派方案共有()(A)210种种(B)420种种(C)630种种(D)840种种【解解析析】由由题题意意先先从从3位位班班主主任任中中选选出出1男男2女女或或者者2男男1女女，然然后后再再全排列，所以共有全排列，所以共有(CCCC)A420种，故选种，故选B或或AAA 答案答案 B第3页，共38页，编辑于2022年，星期六5已知函数已知函数f(x)Acos(x)的图象的图象 如如 图图 所所 示示 ，
3、f ，则，则f(0)等于等于()(A)(B)(C)(D)第4页，共38页，编辑于2022年，星期六【解析】【解析】由图可知由图可知 ，T ，3，f ，f(0)f 又图象的对称中心是又图象的对称中心是 ，f ，f ，故故f(0)f 答案答案 C第5页，共38页，编辑于2022年，星期六 6编辑一个运行程序：编辑一个运行程序：1()(A)2002(B)2002(C)2004(D)2004【解析】【解析】由已知得由已知得1 答案答案 C 7设设x0，y0，且，且9xyxy，则，则xy的最小值为的最小值为()(A)12(B)14(C)16(D)18【解析】【解析】由由9xyxy，得，得 1，xy(xy
4、)10 102 16.答案答案 C第6页，共38页，编辑于2022年，星期六8不等式不等式 a 在在t(0,2上恒成立，则上恒成立，则a的的取值范围是取值范围是()(A)a1(B)a1(C)a (D)a2 【解析】【解析】f(t)在在(0,2上为减函上为减函数数,a要小于等于要小于等于 ,即即a要小于等于要小于等于f(t)在在(0,2上的最小值上的最小值f(2)1.g(t)在在(0,2上为增函数上为增函数,a要大于等于要大于等于 ,即即a要大要大于等于于等于g(t)在在(0,2上的最大值上的最大值g(2),故故 a1.答案答案 B第7页，共38页，编辑于2022年，星期六9ABC中，中，a,b
5、,c分别为角分别为角A,B,C的对边的对边,如果如果a,b,c成等成等差数列差数列,B30,ABC的面积为的面积为 ,那么那么b为为()(A)1 (B)3 (C)(D)2 【解析】【解析】如下图，由面积公式得：如下图，由面积公式得：第8页，共38页，编辑于2022年，星期六 acsin 30 ac2由由a，b，c成等差数列，成等差数列，2bac又由余弦定理得：又由余弦定理得：b2a2c22accos 30，即即b2(ac)22ac2ac ，得得b24b2222 ，求得，求得b 答案答案 C第9页，共38页，编辑于2022年，星期六10过过正正三三棱棱锥锥SABC侧侧棱棱SB与与底底面面中中心心
6、O作作截截面面SBO，已已知知截面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为截面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为()(A)(B)(C)或或 (D)或或 【解解析析】如如图图，在在正正三三棱棱柱柱SABC中中，设设底底边边BCa，侧侧棱棱SBb，SO面面ABC，ACBD，第10页，共38页，编辑于2022年，星期六ACSD,SDB即为侧面与底面所成角的平面角即为侧面与底面所成角的平面角SD ，BD a，SBb显然显然SBSD，SBBD或或SDBD(1)若若SBBD，即，即b a，此时，此时SD a，cosSDB 第11页，共38页，编辑于2022年，星期六(2)若若SDBD，即，即 a
7、，化简得化简得ab，此时，此时BD a，SD a，SBa，cosSDB ，侧面与底面所成角的余弦值为侧面与底面所成角的余弦值为 或或 答案答案 C第12页，共38页，编辑于2022年，星期六11已知点已知点P为抛物线为抛物线y22x上的动点上的动点,点点P在在y轴上的射轴上的射影是点影是点M,点点A的坐标是的坐标是 ,则则|PA|PM|的最小值是的最小值是()(A)(B)4(C)(D)5【解析】【解析】如图，焦点如图，焦点F ，当当P、A、F三点共线时，三点共线时，|PA|PM|才有最小值，此时才有最小值，此时|PA|PM|PA|PF|，即即|PA|PM|的最小值为的最小值为|FA|答案答案
8、C第13页，共38页，编辑于2022年，星期六12.（2011年年衡衡水水一一中中一一模模）正正方方体体ABCDA1B1C1D1的的棱棱长长为为2，点点M是是棱棱AB上上异异于于点点A的的一一定定点点，点点P是是平平面面ABCD内内的的一一动动点点，且且点点P到到直直线线A1D1的的距距离离两两倍倍的的平平方方比比到到点点M的的距距离离的的平平方方大大4，则则点点P的轨迹为的轨迹为()(A)圆圆(B)椭圆椭圆(C)双曲线双曲线(D)抛物线抛物线【解解析析】点点P到到直直线线A1D1的的距距离离两两倍倍的的平平方方比比到到点点M距距离离的的平平方方大大4，可可转转化化为为点点P到到点点M的的距距
9、离离等等于于P到到AD的的距距离离，由由抛抛物物线线定定义义得点得点P的轨迹为抛物线的轨迹为抛物线 答案答案 D第14页，共38页，编辑于2022年，星期六二、填空题二、填空题13如如果果(1x2)n(1x)2n的的展展开开式式中中x项项的的系系数数与与x2项项的的系系数之和为数之和为40，则，则n的值等于的值等于_【解解析析】(1x2)n的的展展开开式式中中不不含含x项项，x2项项的的系系数数是是Cn1；(1x)2n的的展展开开式式中中x项项的的系系数数是是C2n1，x2项项的的系系数数是是C2n2，所所以以Cn1C2n1C2n240，解得：，解得：n4 答案答案 414与与点点P(4,3)
10、的的距距离离为为5，且且在在两两坐坐标标轴轴的的截截距距相相等等的的直直线线方方程为程为_第15页，共38页，编辑于2022年，星期六【解析】【解析】若截距若截距a0，可设直线方程为：，可设直线方程为：1 即即xya0由已知：由已知：5，可得：，可得：a75 若截距若截距a0，由于，由于OP所在的直线方程为所在的直线方程为 y x，且，且|OP|5，所求直线方程为所求直线方程为y x综上，所求直线方程为综上，所求直线方程为 xy75 0 或或 x y75 0或或4x3y0 答案答案 xy-7-5 0或或xy-75 0或或4x3y0第16页，共38页，编辑于2022年，星期六15给给定定两两个个
11、长长度度为为1的的平平面面向向量量 和和 ，它它们们的的夹夹角角为为120如图所示，点如图所示，点C在以在以O为圆心的圆弧为圆心的圆弧AB上变动若上变动若 x y ，其中，其中x，yR，则，则xy的最大值是的最大值是_【解析】【解析】|2(x y )2x2y2xy1，即即(xy)23xy1，所以所以(xy)213xy13 2,得得xy2，当且，当且仅当仅当xy1时等号成立时等号成立 答案答案 2第17页，共38页，编辑于2022年，星期六16直直角角坐坐标标系系中中横横坐坐标标、纵纵坐坐标标均均为为整整数数的的点点称称为为格格点点，如如果果函函数数f(x)的的图图象象恰恰好好通通过过k个个格格
12、点点，则则称称函函数数f(x)为为k阶阶格格点点函函数数下列函数：下列函数：f(x)sin ；f(x)(x1)23；f(x)；f(x)log0.6(x1)其其中中是是一一阶阶格格点点函函数数的的是是_(填填上上所所有有满满足足题题意意的的序序号号)【解解析析】中中函函数数不不通通过过格格点点；中中函函数数通通过过格格点点(1,3)；中中函函数通过多个格点；数通过多个格点；中函数通过格点中函数通过格点(0,0)答案答案 第18页，共38页，编辑于2022年，星期六三、解答题三、解答题17已已知知函函数数f(x)Asin(x)B(A0，0，|)的的一一系列对应值如下表：系列对应值如下表：(1)根据
13、表格提供的数据求函数根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式；的解析式；(2)根据根据(1)的结果，若函数的结果，若函数yf(kx)(k0)的周期为的周期为 ,当当x 时时,方程方程f(kx)m恰有两个不同的解恰有两个不同的解,求实数求实数m的取值的取值范围范围.【解析】【解析】(1)设设f(x)的最小正周期为的最小正周期为T，得得T 2由由T 得得1x y1131113第19页，共38页，编辑于2022年，星期六又又令令w w +F F ，即，即 +F F ，解得，解得F F ，f(x)2sin +1(2)函数函数yf(kx)2sin +1的周期为的周期为 ，又又k0，k3令令t3x-，x
14、，t 第20页，共38页，编辑于2022年，星期六如图，如图，f(t)sin ts在在 上有两个不同的解的充上有两个不同的解的充要条件是要条件是s ，方程方程f(kx)m在在x 上恰好有两个不同的解的上恰好有两个不同的解的充要条件是充要条件是m +1,3)，即实数即实数m的取值范围是的取值范围是 +1,3)第21页，共38页，编辑于2022年，星期六18某某电电视视台台举举行行电电视视奥奥运运知知识识大大奖奖赛赛，比比赛赛分分初初赛赛和和决决赛赛两两部部分分为为了了增增加加节节目目的的趣趣味味性性，初初赛赛采采用用选选手手选选一一题题答答一一题题的的方方式式进进行行，每每位位选选手手最最多多有
15、有5次次选选题题答答题题的的机机会会，选选手手累累计计答答对对少少于于3题题或或答答错错3题题即即终终止止其其初初赛赛的的比比赛赛，答答对对题题者者直直接接进进入入决决赛赛，答答错错题题者者则则被被淘淘汰汰已知选手甲答题的正确率为已知选手甲答题的正确率为(1)求选手甲可进入决赛的概率；求选手甲可进入决赛的概率；(2)设设选选手手甲甲在在初初赛赛中中答答题题的的个个数数为为，试试写写出出的的分分布布列列，并并求求的数学期望的数学期望【解析】【解析】(1)选手甲答选手甲答3道题进入决赛的概率为道题进入决赛的概率为 ；选手甲答选手甲答4道题进入决赛的概率为道题进入决赛的概率为 ；选手甲答选手甲答5道
16、题进入决赛的概率为道题进入决赛的概率为第22页，共38页，编辑于2022年，星期六 ；选手甲可进入决赛的概率选手甲可进入决赛的概率p (2)依题意，依题意，的可能取值为的可能取值为3,4,5则有则有P(3)；P(4)；P(5)；因此，有因此，有E3 345p第23页，共38页，编辑于2022年，星期六19试试求求常常数数a的的取取值值范范围围，使使曲曲线线yax2-1的的所所有有弦弦都都不不能能被直线被直线x+y0垂直平分垂直平分【解析】【解析】(法一法一)判别式法判别式法曲线曲线yax2-1关于直线关于直线x+y0对称的曲线方程为对称的曲线方程为-xay2-1.两式相减，得两式相减，得x+y
17、a(x2-y2)，两对称点两对称点A、B所在的直线方程为所在的直线方程为yx 代入代入yax2-1，得，得a2x2-ax+1-a0由由D Da2-4a2(1-a)0，解得，解得a 故当故当a 时曲线上存在两点关于直线时曲线上存在两点关于直线x+y0对称对称,原原题要求所有弦都不能被直线垂直平分题要求所有弦都不能被直线垂直平分,那么那么a(-,0)第24页，共38页，编辑于2022年，星期六(法二法二)基本不等式法基本不等式法设已知曲线上关于直线设已知曲线上关于直线x+y0对称的两点为对称的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则将将、代入代入、，并注意，并注意x1 x2，得，得将将、代
18、入基本不等式代入基本不等式第25页，共38页，编辑于2022年，星期六 (x1 x2)，有有2 ，解得，解得a 故当故当a 时曲线上存在两点关于直线时曲线上存在两点关于直线x+y0对称对称,原题原题要求所有弦都不能被直线垂直平分要求所有弦都不能被直线垂直平分,那么那么a(-,0).第26页，共38页，编辑于2022年，星期六20已知函数已知函数f(x)tx2+2t2x+t-1(xR，t0)(1)求求f(x)的最小值的最小值h(t)；(2)若若h(t)0)，当当x-t时，时，f(x)取最小值取最小值f(-t)-t3+t-1，即即h(t)-t3+t-1(2)令令g(t)h(t)-(-2t+m)-t
19、3+3t-1-m，由由g(t)-3t2+30，得，得t1，t-1(不合题意，舍去不合题意，舍去)当当t变化时，变化时，g(t)、g(t)的变化情况如下表：的变化情况如下表：第27页，共38页，编辑于2022年，星期六g(t)在在(0,2)内有最大值内有最大值g(1)1-mh(t)-2t+m在在(0,2)内内恒恒成成立立等等价价于于g(t)0在在(0,2)内内恒恒成成立立，即等价于即等价于1-m1t(0,1)1(1,2)g(t)+0-g(t)递增极大值1-m递减第28页，共38页，编辑于2022年，星期六21如如图图，已已知知正正方方体体ABCDA1B1C1D1的的棱棱长长为为1，点点P在在棱棱
20、BB1上运动上运动(不含不含B、B1两点两点)(1)设设APC1，求，求cos 的最小值；的最小值；(2)求求APC1的面积的面积S的最小值的最小值【解析】【解析】(法一法一)(1)设设PB1x(0 x1),则则PC1 ,PA ，AC1 ，由余弦定理得由余弦定理得cos 令令f(x)cos2 ，则则f(x)第29页，共38页，编辑于2022年，星期六 当当0 x1时，时，x(x1)0，而，而 0令令f(x)0，得，得x 于于是是，当当0 x 时时，f(x)0，f(x)单单调调递递增增;当当 x1时时，f(x)0，f(x)单调递减单调递减当当x 时，时，f(x)maxf )，即，即cos2 ，c
21、os ，cos 的最小值为的最小值为 第30页，共38页，编辑于2022年，星期六(2)以以D1为为原原点点，D1A1为为x轴轴，D1C1为为y轴轴，D1D为为z轴轴建建立立空空间间直直角坐标系角坐标系设设点点P(1,1，z)，在在AC1上上任任取取一一点点Q，可可将将点点Q的的坐坐标标设设为为(x,1x，x)，则，则 (1,1，1)，(0,0,1)，(x1，x，xz)，要要使使|最最小小,必必有有 ，得得 第31页，共38页，编辑于2022年，星期六当当xz 时时，|(，0)|，即即|，又，又|，APC1的面积的面积S|,故故APC1的面积的面积S的最小值为的最小值为 (法二法二)(1)设设
22、xcos2，则则1xsin2，cos 令令tcos2sin2，t则则cos 第32页，共38页，编辑于2022年，星期六 4，cos cos ，当，当t ，也即也即sin 21时时，x 时，时，cos (2)当当PQAC1且且PQBB1时时，SAPC1达达到到最最小小，则则PQ为为AC1与与BB1的公垂线段，由的公垂线段，由BB1面面AA1C1，则即化为点则即化为点B1到面到面AA1C1的距离的距离d，取，取A1C1中点中点O，则则dB1O ，SPC1A 第33页，共38页，编辑于2022年，星期六22已知数列已知数列an中中,a11，an12ann1(nN)(1)求数列求数列an的通项公式；
23、的通项公式；(2)记记bn ，求数列，求数列bn的前的前n项的和项的和Tn；(3)若若 对一切对一切nN恒成立，求非零实数恒成立，求非零实数t的取值范围；的取值范围；(4)设数列设数列cn满足：满足：cn ,若若cn1cn对一切对一切nN恒成立，求恒成立，求的最大值的最大值【解析】【解析】(1)(法一法一)an12ann1，an2an1n11，an1an2an2an11，an1an12an12an122(anan11)，anan11为等比数列为等比数列,且公比且公比q2,首项首项a2a112.anan1122n22n1，anan12n11a2a1211，a3a2221，a4a3231，第34页
24、，共38页，编辑于2022年，星期六anan12n11，ana1(2122232n1)(n1)(n1)2n2n12nn1an2nn(法二法二)an12ann1，an112ann，an1(n1)2annn2(ann)，ann是是等等比比数数列列，且且首首项项a112，公公比比q2，则则ann22n12n，an2nn(2)bn ，Tn ，Tn ，第35页，共38页，编辑于2022年，星期六 Tn ，Tn1 2 2 (3)，且，且an0，tn(an1tan)0对一切对一切nN恒成立，若恒成立，若t0，则，则tn时正时负，而时正时负，而an1tan0，tn(an1tan)0不可能对一切不可能对一切nN
25、恒成立；恒成立；若若t0，则原不等式等价于，则原不等式等价于an1tan0，即，即 t，记记f(n)2 ，第36页，共38页，编辑于2022年，星期六f(n1)2 ，f(n1)f(n)，当当n1时，时，(n2)2n1210，f(2)f(1)0，当当n2时，时，(n2)2n110，f(3)f(2)0，当当n3时，时，(n2)2n11,2nCn0Cn1Cnn，当当n3时，时，2nn，2n1n1f(n1)f(n)0，f(n1)f(n)f(2)f(1)，f(2)f(3)f(4)f(5)f(n)f(n1),f(n)maxf(2)2 ，t 第37页，共38页，编辑于2022年，星期六(4)cn 2 ，cn12 ，4 4 4 ，设设h(n)4 ，则，则h(n1)h(n)0,所以所以h(n)关于关于n是单调递增函数，是单调递增函数，从而从而h(n)minh(1)4 ，的最大值是的最大值是 第38页，共38页，编辑于2022年，星期六