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1、数学实验与数学建模浅谈分形第1页，共20页，编辑于2022年，星期六海岸线有长度吗？法国的Mandelbrot.B 开创了分形几何1967年的论文：“英国海岸线的长度不确定”（fractal geometry）的研究（1）具有无限嵌套层次的精细结构对自然几何形态的数学研究海岸线的长度随测量尺度变化（2）在不同尺度下具有某种相似特性第2页，共20页，编辑于2022年，星期六Koch 雪花曲线设E0为单位直线段三等分后，中间一段用与其组成等边三角形的另两边代替，得到E1对E1的4条线段的每一条重复以上做法，得到E2以此方法重复，可得En当n趋于无穷，得到的极限曲线就是Koch 曲线第3页，共20页
2、，编辑于2022年，星期六用Mathematica 画koch曲线第4页，共20页，编辑于2022年，星期六redokochptlist_List:=Blocktmp=,i,pnum=Lengthptlist,Fori=1,i Sqrt3/6第5页，共20页，编辑于2022年，星期六自相似性精细结构：复杂性不随尺度减小而消失处处不光滑，每一点是尖点长度：En的长度(4/3)n趋于无穷本身定义方式简单Koch 曲线的特点Koch曲线在有限区域却长度无限，它是否一维的？问题第6页，共20页，编辑于2022年，星期六单参数的函数曲线是一维的吗？设是平面上边长为1/2的正三角形，构造 fnf1f2f3
3、以此方式得到 fn，在0,1一致收敛到极限函数 f的象将为整个三角形第7页，共20页，编辑于2022年，星期六分形维数将单位边长的线段，正方形，立方体分成边长为1/2的同样几何物体，得到21，22，23个小线段，正方形，立方体注意指数给出了几何物体的维数若将几何物体的长度（线度）缩小为1/r，定义分形维数得到N个相似小几何物体，那么维数d满足N=rdd=logN/log rKoch曲线的维数？约1.2618第8页，共20页，编辑于2022年，星期六分形的数学实例Cantor集Sierpinski集合从单位区间0,1出发，三分去中段，得E1，E1两个区间三分去中得E2，极限集合为Cantor集数
4、学名例：完备，完全不连通，长度0自相似，精细结构，简单定义三角形四等分去中间小三角形所得极限图形维数？第9页，共20页，编辑于2022年，星期六redosierpinskiptlist_List:=Blocktmp=,i,pnum=Lengthptlist/3,Fori=0,i pnum,i=i+1,tmp=Jointmp,ptlist3i+1,(ptlist3i+1+ptlist3i+2)/2,(ptlist3i+1+ptlist3i+3)/2,(ptlist3i+1+ptlist3i+2)/2,ptlist3i+2,(ptlist3i+2+ptlist3i+3)/2,(ptlist3i+1
5、+ptlist3i+3)/2,(ptlist3i+2+ptlist3i+3)/2,ptlist3i+3;tmpShowsierpinskiptlist_List:=Blocktmp=,i,pnum=Lengthptlist/3,Fori=0,i 1/GoldenRatio po1=-1,0,1,0,0,Sqrt3;ShowsierpinskiNestredosierpinski,po1,3第10页，共20页，编辑于2022年，星期六第11页，共20页，编辑于2022年，星期六第12页，共20页，编辑于2022年，星期六Weierstrass 函数W(x)=(s2)ksin(kx),1,1s2
6、数学分析中的著名例子：处处连续，但无处可微lambda=2;nmax=20;s=1.2;PlotSumlambda(s-2)k)Sin(lambdak)x,k,1,nmax,x,-1,1使用Mathematica给s以不同的值的函数，自仿射第13页，共20页，编辑于2022年，星期六S=1.2S=1.5S=1.99S=1.7第14页，共20页，编辑于2022年，星期六复变函数的迭代Julia集：固定考虑 Zk+1=Zk2+给定复数初值Z0,，得到无穷复数序列ZkJ=Z0序列Zk有界Mandelbrot集：固定Z0MZ 序列Zk有界若Zk=xk+iyk,=p+iqxk1xk2yk2,pyk12x
7、kyk,q第15页，共20页，编辑于2022年，星期六制作Mandelbrot集 设定最大迭代次数N，图形分辨率a,b,使用颜 色数 K 设定一个上界 M 设将矩形域Mx,y M分成ab网格 以每个网格点作为（p,q）,以原点作初值作迭代 若对所有n N，xn2+yn2 M2,将迭代的 所有 点用黑色显示；而若从迭代某m步起 xn2+yn2 M2 则将迭代所有点用第m(modK)种颜色显示第16页，共20页，编辑于2022年，星期六iterx_,y_,lim_:=Blockc,z,ct,c=x+I*y;z=c;ct=0;While(Absz 2.0)&(ct 120,Mesh-FalseMan
8、delbrot2=ShowMandelbrot1,GraphicsLine-0.9,-0.25,-0.7,-0.25,-0.7,-0.05,-0.9,-0.05,-0.9,-0.25Mandelbrot3=DensityPlotiterx,y,50,x,-0.9,-0.7,y,-0.25,-0.05,PlotPoints-120,Mesh-False使用Mathematica第17页，共20页，编辑于2022年，星期六选择一个局部第18页，共20页，编辑于2022年，星期六前面局部的放大自相似性，精细结构第19页，共20页，编辑于2022年，星期六实验任务选择制作一个分形的图形谈谈你所认识的分形自己设计一个分形的图形的制作第20页，共20页，编辑于2022年，星期六