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1、3 3章章测量误差及数据处理测量误差及数据处理 n n3.1 测量误差的分类和测量结果的表征n n3.2 测量误差的估计和处理 n n3.3 测量不确定度 n n3.4 测量数据处理 1/22/202313.1 3.1 测量误差的分类和测量结果的测量误差的分类和测量结果的表征表征3.1.1 3.1.1 测量误差的分类测量误差的分类n n根根据据测测量量误误差差的的性性质质，测测量量误误差差可可分分为为随随机机误误差差、系系统统误差、粗大误差三类。误差、粗大误差三类。n n1.1.随机误差随机误差n n定定义义:在在同同一一测测量量条条件件下下（指指在在测测量量环环境境、测测量量人人员员、测测量
2、量技技术术和和测测量量仪仪器器都都相相同同的的条条件件下下），多多次次重重复复测测量量同同一一量量值值时时（等等精精度度测测量量），每每次次测测量量误误差差的的绝绝对对值值和和符符号号都都以以不不可可预预知知的的方方式式变变化化的的误误差差，称称为为随随机机误误差差或或偶然误差，简称随差。偶然误差，简称随差。n n随随机机误误差差主主要要由由对对测测量量值值影影响响微微小小但但却却互互不不相相关关的的大大量量因因素素共共同同造造成成。这这些些因因素素主主要要是是噪噪声声干干扰扰、电电磁磁场场微微变变、零零件件的的摩摩擦擦和和配配合合间间隙隙、热热起起伏伏、空空气气扰扰动动、大大地地微微震震、测
3、量人员感官的测量人员感官的无规律变化无规律变化等。等。1/22/202323.1.1 3.1.1 测量误差的分类测量误差的分类（续）（续）n n例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到 1.235V1.235V，1.237V1.237V，1.234V1.234V，1.236V1.236V，1.235V1.235V，1.237V1.237V。n n单次测量的随差没有规律，单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体却服从统计规律。但多次测量的总体却服从统计规律。n n可通过数理统计的方法来处理可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值即求算术平均值u随
4、机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差量进行无限多次测量所得结果的平均值之差 1/22/202333.1.1 3.1.1 测量误差的分类测量误差的分类（续）（续）n n2.2.系统误差系统误差n n定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的测量误差的绝对值和符号都保持不变绝对值和符号都保持不变，或，或在测量条件改变时按一定规律变化在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值的误差，称为系统误差。例
5、如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。随温度变化的误差。n n产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确，环境因产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。测量人员不良的读数习惯等。n n系系统统误误差差表表明明了了一一个个测测量量结结果果偏偏离离真真值值或或实实际际值值的的程程度度。系系差差越越小，测量就越准确。小，测量就越准确。n n系系统统误误差差的的定定量量定定义义是是：在在重重复复性性条条件件下下，对对同同一一被被
6、测测量量进进行行无无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。即限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。即1/22/202343.1.1 3.1.1 测量误差的分类测量误差的分类（续）（续）n n3.粗大误差：粗粗大大误误差差是是一一种种显显然然与与实实际际值值不不符符的的误误差。产生粗差的原因有：差。产生粗差的原因有：n n测测量量操操作作疏疏忽忽和和失失误误 如如测测错错、读读错错、记记错错以以及及实实验验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。条件未达到预定的要求而匆忙实验等。n n测测量量方方法法不不当当或或错错误误 如如用用普普通通万万用用表表电电压压档档直直接接测测高内阻电源的
7、开路电压高内阻电源的开路电压n n测测量量环环境境条条件件的的突突然然变变化化 如如电电源源电电压压突突然然增增高高或或降降低低，雷雷电电干干扰扰、机机械械冲冲击击等等引引起起测测量量仪仪器器示示值值的的剧剧烈烈变化等。变化等。n n含含有有粗粗差差的的测测量量值值称称为为坏坏值值或或异异常常值值，在在数数据据处处理时，应剔除掉。理时，应剔除掉。1/22/202353.1.1 3.1.1 测量误差的分类测量误差的分类（续）（续）n n4.4.系差和随差的表达式系差和随差的表达式在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差各各次次测测得得值值的的绝绝对对误
8、误差差等等于于系系统统误误差差和和随随机机误误差差的的代代数数和和。n n在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的。时存在的。n n系差和随差之间在一定条件下是可以相互转化系差和随差之间在一定条件下是可以相互转化 1/22/202363.1.2 3.1.2 测量结果的表征测量结果的表征n n准准确确度度表表示示系系统统误误差差的的大大小小。系系统统误误差差越越小小，则则准准确确度度越越高，即测量值与实际值符合的程度越高。高，即测量值与实际值符合的程度越高。n n精精密密度度表表示示随随机机误误差差的的影影响响。精精密密度度越越高高，表
9、表示示随随机机误误差差越越小小。随随机机因因素素使使测测量量值值呈呈现现分分散散而而不不确确定定，但但总总是是分分布布在平均值附近。在平均值附近。n n精精确确度度用用来来反反映映系系统统误误差差和和随随机机误误差差的的综综合合影影响响。精精确确度度越越高高，表表示示正正确确度度和和精精密密度度都都高高，意意味味着着系系统统误误差差和和随随机机误差都小。误差都小。射击误差射击误差示意图示意图 1/22/202373.1.2 3.1.2 测量结果的表征测量结果的表征（续）（续）n n测量值测量值 是粗大误差是粗大误差1/22/202383.2 3.2 测量误差的估计和处理测量误差的估计和处理n
10、n3.2.1 随机误差的统计特性及减少方法n n在测量中，随机误差是不可避免的。n n随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。n n多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。n n可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。1/22/202393.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少随机误差的统计特性及减少方法方法(续）续）（1 1）随机变量的数字特征）随机变量的数字特征 数学期望数学期望:反映其平均特性反映其平均特性。其定义如下：。其定义如下：n nX X为为离散离散型
11、随机变量：型随机变量：n nX X为为连续连续型随机变量：型随机变量：1.1.随机误差的分布规律随机误差的分布规律随机误差的分布规律随机误差的分布规律1/22/2023103.2.13.2.1随机误差的统计特性及减随机误差的统计特性及减少方法少方法(续）续）方差和标准偏差方差和标准偏差 方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。设随机变量设随机变量X X的数学期望为的数学期望为E(X)E(X)，则，则X X的方差定义为：的方差定义为：D(X)=E(XD(X)=E(XE(X)E(X)2 2 标准偏差标准偏差定义为：定义为：n n标标准准偏偏差差同
12、同样样描描述述随随机机变变量量与与其其数数学学期期望望的的分分散散程程度度，并并且与随机变量具有相同量纲且与随机变量具有相同量纲。1/22/2023113.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少随机误差的统计特性及减少方法方法(续）续）n n测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。n n中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。为什么测量数据和随机误差为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？大多接近正态分布？(2)(2)(2)(2)测量误差的正态分布测量误差的正态分
13、布测量误差的正态分布测量误差的正态分布1/22/2023123.2.13.2.13.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）正态分布的概率密度函数和统计特性正态分布的概率密度函数和统计特性n n随机误差的概率密度函数为：随机误差的概率密度函数为：n n测量数据测量数据X X的概率密度函数为：的概率密度函数为：n n随机误差的数学期望和方差为：随机误差的数学期望和方差为：n n同样测量数据的数学期望同样测量数据的数学期望E(X)E(X)，方差方差D(X)D(X)1/22/2023133.2.
14、13.2.13.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）正态分布时概率密度曲线正态分布时概率密度曲线 随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差差相同，只是横坐标相差随机误差具有：随机误差具有：对称性对称性 单峰性单峰性 有界性有界性 抵偿性抵偿性 1/22/2023143.2.13.2.13.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性
15、及减少方法(续）续）续）续）标准偏差意义标准偏差意义n n标标准准偏偏差差是是代代表表测测量量数数据据和和测测量量误误差差分分布布离离散散程程度度的特征数。的特征数。n n标标准准偏偏差差越越小小，则则曲曲线线形形状状越越尖尖锐锐，说说明明数数据据越越集集中中；标标准准偏偏差差越越大大，则则曲曲线线形形状状越越平平坦坦，说说明明数数据据越分散。越分散。1/22/2023153.2.13.2.13.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）（3 3 3 3）测量误差的非正态分布）测量误差的非正
16、态分布）测量误差的非正态分布）测量误差的非正态分布n n常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。n n均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差等；均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差等；“四舍五入四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。而不知其分布时，一般可假定均匀分布。概率密度概率密度:均值均值:当当 时时,标准偏差标准偏差:当当 时，时，1/22/2023163.2.13.2.13.2.13.2.1随机误差的统计特性及
17、减少方法随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）2.2.有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值 求被测量的数字特征，理论上需求被测量的数字特征，理论上需无穷多次无穷多次测量，但在实际测量中测量，但在实际测量中只能进行只能进行有限次有限次测量，怎么办？测量，怎么办？用事件发生的频度代替事件发生的概率，当用事件发生的频度代替事件发生的概率，当 则则令令n n个可相同的测试数据个可相同的测试数据x xi i(i=1.2,n)(
18、i=1.2,n)次数都计为次数都计为1,1,当当 时，则时，则（1 1）有限次测量的数学期望的估计值）有限次测量的数学期望的估计值算术平均值算术平均值被测量被测量X X的数学期望，的数学期望，就是当测量次数就是当测量次数 时，各次测量值的算时，各次测量值的算术平均值术平均值 1/22/2023173.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方随机误差的统计特性及减少方法法(续）续）续）续）n n规规定定使使用用算算术术平平均均值值为为数数学学期期望望的的估估计计值值，并并作作为最后的测量结果。即：为最后的测量结果。即：n n算算术术平平均均值值是是数数学学期期望望的的无无偏偏估估计计值值、一一
19、致致估估计计值和最大似然估计值。值和最大似然估计值。有限次测量值的算术平均有限次测量值的算术平均值比测量值更接近真值？值比测量值更接近真值？1/22/2023183.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）（2 2）算术平均值的标准偏差）算术平均值的标准偏差 故：故：算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小偏差小 倍。原因是随机误差的抵偿性倍。原因是随机误差的抵偿性 。*1/22/202319算术平均值算术平均值：3.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）
20、（2）有限次测量数据的标准偏差的估计值）有限次测量数据的标准偏差的估计值残差：残差：实验标准偏差实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：标准偏差的估计值），贝塞尔公式：算术平均值标准偏差的估计值算术平均值标准偏差的估计值 ：1/22/2023203.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）【例例3.13.1】用温度计重复测量某个不变的温度，得用温度计重复测量某个不变的温度，得1111个测量个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。解：解：平均值平均值 用公式用公式 计算各测量
21、值残差列于上表中计算各测量值残差列于上表中实验偏差实验偏差 标准偏差标准偏差1/22/2023213.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续续)3.测量结果的置信问题测量结果的置信问题（1 1）置信概率与置信区间：）置信概率与置信区间：置信区间置信区间 内包含真值的概率称为置信概率。置信限：置信限：kk置信系数（或置信因子）置信系数（或置信因子）置信概率是图中置信概率是图中阴影部分面积阴影部分面积1/22/2023223.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）（2 2）正态分布的置信概率）正态分布的置信概率n n
22、当分布和k值确定之后，则置信概率可定 n n正态分布,当k=3时置信因子置信因子k k置信概率置信概率PcPc1 10.6830.6832 20.9550.9553 30.9970.997区间越宽，区间越宽，置信概率越大置信概率越大1/22/2023233.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）（3 3）t t分布的置信限分布的置信限n nt分布与测量次数有关。当n20以后，t分布趋于正态分布。正态分布是t分布的极限分布。n n当n很小时，t分布的中心值比较小，分散度较大，即对于相同的概率，t分布比正态分布有更大的置信区间。n n给定置信概率和测量次
23、数n，查表得置信因子kt。自由度：v=n-11/22/2023243.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）1/22/2023253.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）（4 4）非正态分布的置信因子）非正态分布的置信因子n n由由于于常常见见的的非非正正态态分分布布都都是是有有限限的的，设设其其置置信信限限为为误误差差极极限限 ，即误差的置信区间为，即误差的置信区间为 置信概率为置信概率为100100。（P=1)反正弦均匀三角分布例：均匀分布例：均匀分布例：均匀分布例：均匀分布 有有有有 故故故故:1/
24、22/2023263.2.13.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）1/22/2023273.2.2 3.2.2 系统误差的判断及消除方法（续）系统误差的判断及消除方法（续）1.1.系统误差的特征：系统误差的特征：在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。多次测量求平均不能减少系差多次测量求平均不能减少系差。1/22/2023283.2.2 3.2.2 系统误差的判断及消除方法（续）系统误差的判断及
25、消除方法（续）2.系统误差的发现方法系统误差的发现方法 n n（1 1）不变的系统误差）不变的系统误差：n n 校校准、修正和实验比对。准、修正和实验比对。n n（2 2）变化的系统误差）变化的系统误差n n残残差差观观察察法法，适适用用于于系系统统误误差差比比随随机机误误差差大大的的情情况况 将将所所测测数数据据及及其其残残差差按按先先后后次次序序列列表表或或作作图图，观观察察各各数据的残差值的大小和符号的变化。数据的残差值的大小和符号的变化。存在线性变化的系统误差存在线性变化的系统误差无明显系统误差无明显系统误差1/22/2023293.2.2 3.2.2 系统误差的判断及消除方法（续）系
26、统误差的判断及消除方法（续）马利科夫判据：马利科夫判据：若有累进性系统误差，若有累进性系统误差，D D 值应明显异于零。值应明显异于零。当当n n为偶数时，为偶数时，当当n n为奇数时，为奇数时，n n阿贝赫梅特判据：检验周期性系差的存在。阿贝赫梅特判据：检验周期性系差的存在。1/22/2023303.2.2 3.2.2 系统误差的判断及消除方法（续）系统误差的判断及消除方法（续）3.系统误差的削弱或消除方法系统误差的削弱或消除方法 （1 1）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差n n要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。要从测量原理和测量方法
27、尽力做到正确、严格。n n测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。n n 注注意意周周围围环环境境对对测测量量的的影影响响，特特别别是是温温度度对对电电子子测测量量的的影响较大。影响较大。n n 尽尽量量减减少少或或消消除除测测量量人人员员主主观观原原因因造造成成的的系系统统误误差差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。（2 2）用修正方法减少系统误差）用修正方法减少系统误差修正值误差修正值误差=（测量值真值）（测量值真值）实际值测量值修正值实际值测量值修正值1/22/2023313.2.2 3
28、.2.2 系统误差的判断及消除方法（续）系统误差的判断及消除方法（续）（3 3）采用一些专门的测量方法）采用一些专门的测量方法n n 替代法替代法n n 交换法交换法 n n 对称测量法对称测量法 n n 减小周期性系统误差的半周期法减小周期性系统误差的半周期法 系统误差可忽略不计的准则是：系系统统误误差差或或残残余余系系统统误误差差代代数数和和的的绝绝对对值值不不超超过过测测量量结结果果扩扩展展不不确确定定度度的的最最后后一一位位有有效效数数字字的一半。的一半。1/22/2023323.2.3 3.2.3 粗大误差及其判断准则粗大误差及其判断准则 n n大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分
29、析是大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值剔除剔除。n n1.1.粗大误差产生原因以及防止与消除的方法粗大误差产生原因以及防止与消除的方法 n n粗大误差的产生原因粗大误差的产生原因 n n 测量人员的主观原因测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；：操作失误或错误记录；n n 客客观观外外界界条条件件的的原原因因：测测量量条条件件意意外外改改变变、受受较较大大的的电电磁磁干扰，或测量仪器偶然失效等。干扰，或测量仪器偶然失效等。n n防止和消除粗大误差的方法防止和消除粗大误差的方法n n重要的是采取各种措施，重要的
30、是采取各种措施，防止产生粗大误差防止产生粗大误差。1/22/2023333.2.3 3.2.3 粗大误差及其判断准则粗大误差及其判断准则（续）（续）2.粗大误差的判别准则粗大误差的判别准则统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。并予以剔除。莱特检验法莱特检验法 格拉布斯检验法格拉布斯检验法 式中，式中，G G值按重复测量次数值按重复测量次数n n及置信概率及置信概率PcPc确定确定 1/22/2023343.2.3 3.2.
31、3 粗大误差及其判断准则（续）粗大误差及其判断准则（续）应注意的问题应注意的问题n n 所所有有的的检检验验法法都都是是人人为为主主观观拟拟定定的的，至至今今无无统统一一的的规规定定。当当偏偏离离正正态态分分布布和和测测量量次次数数少少时时检检验不一定可靠。验不一定可靠。n n 若若有有多多个个可可疑疑数数据据同同时时超超过过检检验验所所定定置置信信区区间间，应应逐逐个个剔剔除除，重重新新计计算算，再再行行判判别别。若若有有两两个个相相同数据超出范围时，应逐个剔除。同数据超出范围时，应逐个剔除。n n在一组测量数据中，在一组测量数据中，可疑数据应很少可疑数据应很少。反之，。反之，说明系统工作不
32、正常。说明系统工作不正常。1/22/2023353.2.3 3.2.3 粗大误差及其判断准则粗大误差及其判断准则（续）（续）解：解：计算得计算得 s=0.033s=0.033计算计算残差填入表残差填入表3 37 7，最大，最大，是可疑数据。是可疑数据。用莱特检验法用莱特检验法 3 3 s=3 s=30.033=0.0990.033=0.099 故可判断故可判断 是粗大误差，应予剔除。是粗大误差，应予剔除。再再对对剔剔除除后后的的数数据据计计算算得得：s s=0.016 0.016 3 3s s=0.048=0.048各测量值的残差各测量值的残差V V填入表填入表3 37 7，残差均小于，残差均
33、小于3 s3 s故故1414个数据都为正常数据。个数据都为正常数据。【例例3.33.3】对某电炉的温度进行多次重复测量，所得对某电炉的温度进行多次重复测量，所得结果列于表结果列于表3 37 7，试检查测量数据中有无粗大误差。，试检查测量数据中有无粗大误差。1/22/2023363.2.4 3.2.4 测量结果的处理步骤测量结果的处理步骤 n n对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；n n求出算术平均值求出算术平均值n n列出残差列出残差 ，并验证，并验证n n按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值n n按莱特准则按
34、莱特准则 ，或格拉布斯准则，或格拉布斯准则 检查和剔除粗大误差；检查和剔除粗大误差；n n判判断断有有无无系系统统误误差差。如如有有系系统统误误差差，应应查查明明原原因因，修修正正或或消除系统误差后重新测量；消除系统误差后重新测量；n n计算算术平均值的标准偏差计算算术平均值的标准偏差 ；n n写出最后结果的表达式，即写出最后结果的表达式，即 （单位）单位）。1/22/2023373.2.4 3.2.4 测量结果的处理步骤测量结果的处理步骤（续）（续）n n【例例3 34 4】对对某某电电压压进进行行了了1616次次等等精精度度测测量量，测测量量数数据据中中已已记记入入修修正正值值，列列于于表
35、表中中。要要求求给给出出包包括误差在内的测量结果表达式。括误差在内的测量结果表达式。1/22/2023383.2.4 3.2.4 测量结果的处理步骤测量结果的处理步骤（续）（续）1/22/2023391/22/2023403.2.4 3.2.4 测量结果的处理步骤测量结果的处理步骤（续）（续）等精度测量与不等精度测量等精度测量与不等精度测量 n n等精度测量等精度测量：即在相同地点、相同的测量方法和相同测：即在相同地点、相同的测量方法和相同测量设备、相同测量人员、相同环境条件（温度、湿度、量设备、相同测量人员、相同环境条件（温度、湿度、干扰等），并在干扰等），并在短时间内进行的重复测量短时间内
36、进行的重复测量。n n不等精度测量不等精度测量：在：在测量条件不相同测量条件不相同时进行的测量，测量时进行的测量，测量结果的精密度将不相同。结果的精密度将不相同。n n不等精度测量处理方法：不等精度测量处理方法：权值与标准偏差的平方成反比权值与标准偏差的平方成反比 。权值。权值 测量结果为加权平均值测量结果为加权平均值 1/22/2023413.2.4 3.2.4 测量结果的处理步骤测量结果的处理步骤（续）（续）1/22/2023423.2.5 3.2.5 误差的合成分析误差的合成分析n n问问题题：用用间间接接法法测测量量电电阻阻消消耗耗的的功功率率时时，需需测测量量电电阻阻R R、端端电电
37、压压V V和和电电流流I I三三个个量量中中的的两两个个量量，如如何何根根据据电电阻阻、电电压压或电流的误差来推算功率的误差呢？或电流的误差来推算功率的误差呢？1/22/2023433.2.5 3.2.5 误差的合成分析误差的合成分析（续）（续）1/22/2023443.2.5 3.2.5 误差的合成分析误差的合成分析（续）（续）n n在实际应用中，由于分项误差符号不定而可同时在实际应用中，由于分项误差符号不定而可同时取正负，有时就采用保守的办法来估算误差，即取正负，有时就采用保守的办法来估算误差，即将式中各分项取绝对值后再相加将式中各分项取绝对值后再相加n n该公式常用于在设计阶段中对传感器
38、、仪器及系该公式常用于在设计阶段中对传感器、仪器及系统等的误差进行分析和估算，以采取减少误差的统等的误差进行分析和估算，以采取减少误差的相应措施。但是，更严格和更准确地计算合成误相应措施。但是，更严格和更准确地计算合成误差的方法是测量不确定度理论中的合成不确定度差的方法是测量不确定度理论中的合成不确定度评定，有关内容在本书第评定，有关内容在本书第3 3章中讨论章中讨论 1/22/2023453.3 3.3 测量不确定度测量不确定度 n n3.3.1 3.3.1 不确定度的概念不确定度的概念n n不不确确定定度度是是说说明明测测量量结结果果可可能能的的分分散散程程度度的的参参数数。可可用用标标准
39、准偏偏差差表表示示，也也可可用用标标准准偏偏差差的的倍倍数数或或置置信信区区间间的半宽度表示。的半宽度表示。n n1.1.术语术语（1 1）标准不确定度标准不确定度：用概率分布的用概率分布的标准偏差表示的不确定度标准偏差表示的不确定度 A A类类标准不确定度：用标准不确定度：用统计方法统计方法得到的不确定度。得到的不确定度。B B类类标准不确定度：用标准不确定度：用非统计方法非统计方法得到的不确定度得到的不确定度 1/22/2023463.3.1 3.3.1 不确定度的概念不确定度的概念（续）（续）（2 2）合成合成标准不确定度标准不确定度*由各由各不确定度分量合成不确定度分量合成的标准不确定
40、度。的标准不确定度。*因为测量结果是受若干因素联合影响。因为测量结果是受若干因素联合影响。（3 3）扩展扩展不确定度不确定度*合成标准不确定度的倍数合成标准不确定度的倍数表示的测量不确定度，即用包表示的测量不确定度，即用包含因子乘以合成标准不确定度得到一个区间半宽度。含因子乘以合成标准不确定度得到一个区间半宽度。*包含因子的取值决定了扩展不确定度的置信水平。包含因子的取值决定了扩展不确定度的置信水平。*通常通常测量结果的不确定度都用扩展不确定度表示测量结果的不确定度都用扩展不确定度表示 1/22/2023473.3.1 3.3.1 不确定度的概念不确定度的概念（续）（续）（续）（续）2.不确定
41、度的分类不确定度的分类 1/22/2023483.3.1 3.3.1 不确定度的概念不确定度的概念（续）（续）3.不确定度的来源不确定度的来源被被测测量量定定义义的的不不完完善善，实实现现被被测测量量定定义义的的方方法法不不理理想想，被被测测量量样样本本不能代表所定义的被测量。不能代表所定义的被测量。测量装置或仪器测量装置或仪器的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。测量环境测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。计计量量标标准准和和标标准准物物质质的的值值本本身身的的不不确
42、确定定度度，在在数数据据简简化化算算法法中中使使用用的的常常数数及及其其他他参参数数值值的的不不确确定定度度，以以及及在在测测量量过过程程中中引引入入的的近近似似值值的的影影响。响。在相同条件下，由随机因素所引起的在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性。被测量本身的不稳定性。1/22/202349测量误差测量不确定度客观存在的，但不能准确得到，是一个定性的概念表示测量结果的分散程度，可根据试验、资料等信息定量评定。误差是不以人的认识程度而改变与人们对被测量和影响量及测量过程的认识有关。随机误差、系统误差是两种不同性质的误差A类或B类不确定度是两种不同的评定方法，与随机误差、系统误
43、差之间不存在简单的对应关系。须进行异常数据判别并剔除。剔除异常数据后再评定不确定度在最后测量结果中应修正确定的系统误差。在测量不确定度中不包括已确定的修正值，但应考虑修正不完善引入的不确定度分量。“误差传播定律”可用于间接测量时对误差进行定性分析。不确定度传播律更科学，用于定量评定测量结果的合成不确定度1/22/202350n n1.1.标准不确定度的标准不确定度的A A类评定方法类评定方法 在同一条件下对被测量在同一条件下对被测量X X进行进行n n 次测量，测量值为次测量，测量值为x xi i(i i=1,2,n)=1,2,n)，(A)(A)计算样本算术平均值，作为被测量计算样本算术平均值
44、，作为被测量X X的估计值，并的估计值，并把它作为测量结果把它作为测量结果。(B)(B)计算实验偏差计算实验偏差式中自由度式中自由度v v=n n1.1.(C)A(C)A类不确定度类不确定度3.3.3 3.3.3 不确定度的评定方法不确定度的评定方法（续）（续）自由度意义：自由度意义：自由度数值越大，自由度数值越大，说明测量不确定说明测量不确定度越可信。度越可信。1/22/2023513.3.3 3.3.3 不确定度的评定方法不确定度的评定方法（续）（续）2.2.标准不确定度的标准不确定度的B B类评定方法类评定方法n nB B类类方方法法评评定定的的主主要要信信息息来来源源是是以以前前测测量
45、量的的数数据据、生生产产厂厂的技术证明书、仪器的鉴定证书或校准证书等。的技术证明书、仪器的鉴定证书或校准证书等。n n确确定定测测量量值值的的误误差差区区间间（,-,-），并并假假设设被被测测量量的的值值的的概概率率分分布布，由由要要求求的的置置信信水水平平估估计计包包含含因因子子k k，则则B B类类标标准准不不确定度确定度u uB B为为n n其中其中 a a 区间的半宽度；区间的半宽度；n nk k置信因子，通常在置信因子，通常在2 23 3之间。之间。1/22/202352分布分布三角三角梯形梯形均匀均匀反正弦反正弦 k(p=1)概率概率P%5068.27909595.459999.7
46、3置信因置信因子子0.67611.6451.96022.57633.3.3 3.3.3 不确定度的评定方法不确定度的评定方法（续）（续）n n表表3 39 9正态分布时概率与置信因子的关系正态分布时概率与置信因子的关系表表3 31010几种非正态分布的置信因子几种非正态分布的置信因子k k 1/22/2023533.3.3 3.3.3 不确定度的评定方法（续）不确定度的评定方法（续）1/22/2023543.3.3 3.3.3 不确定度的评定方法不确定度的评定方法（续）（续）3.合成标准不确定度的计算方法合成标准不确定度的计算方法n n（1 1）协方差和相关系数的概念协方差和相关系数的概念n
47、n两两个个随随机机变变量量X X和和Y Y，其其中中一一个个量量的的变变化化导导致致另另一个量的变化，那么这两个量是相关的。一个量的变化，那么这两个量是相关的。n n独立肯定不相关，但不相关不一定独立。独立肯定不相关，但不相关不一定独立。n n协方差的概念协方差的概念n n协方差协方差n n协方差的估计值协方差的估计值 1/22/2023553.3.3 3.3.3 不确定度的评定方法不确定度的评定方法（续）（续）n n相关系数相关系数Q Q 概念概念 :表示两随机变量相关程度表示两随机变量相关程度 n n 11Q Q11。n n相关系数的估计值相关系数的估计值 r(xr(x，y)y)正正相关相
48、关负相关负相关完全正相完全正相关关完全负相关完全负相关 不相关不相关0Q10Q11Q01Q11方次1111y=a+bx 1/22/2023833.4.3 3.4.3 建立经验公式的步骤建立经验公式的步骤 已知测量数据列已知测量数据列(x xi,i,y yi i i i=1,2,n)=1,2,n),建立公式的步骤如下：建立公式的步骤如下：n n（1)1)将将输输入入自自变变量量x xi,i,作作为为横横坐坐标标，输输出出量量y yi i即即测测量量值值作作为为纵坐标，描绘在坐标纸上，并纵坐标，描绘在坐标纸上，并把数据点描绘成测量曲线把数据点描绘成测量曲线。n n（2 2）分析描绘的曲线，）分析描
49、绘的曲线，确定公式确定公式y=f(x)y=f(x)的基本形式的基本形式。n n直线，可用一元线性回归方法确定直线方程。直线，可用一元线性回归方法确定直线方程。n n某某种种类类型型曲曲线线，则则先先将将该该曲曲线线方方程程变变换换为为直直线线方方程程，然后按一元线性回归方法处理。然后按一元线性回归方法处理。n n如如果果测测量量曲曲线线很很难难判判断断属属于于何何种种类类型型，这这可可以以按按曲曲线多项式回归处理。即：线多项式回归处理。即：（3 3）由测量数据）由测量数据确定拟合方程（公式）中的常量确定拟合方程（公式）中的常量。1/22/2023843.4.3 3.4.3 建立经验公式的步骤建
50、立经验公式的步骤 （续）（续）（续）（续）n n(4)(4)检验所确定的方程的准确性检验所确定的方程的准确性。用用测测量量数数据据中中的的自自变变量量代代入入拟拟合合方方程程计计算算出出函函数值数值yy 计算拟合残差计算拟合残差 计算拟合曲线的标准偏差计算拟合曲线的标准偏差 式式中中：m m为为拟拟合合曲曲线线未未知知数数个个数数，n n为为测测量量数数据据列长度。列长度。n n如果标准偏差很大，说明所确定的公式基本形式如果标准偏差很大，说明所确定的公式基本形式有错误，应建立另外形式公式重做。有错误，应建立另外形式公式重做。1/22/2023853.4.4 3.4.4 一元线性回归一元线性回归