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1、2023/3/30（一）薄板以及变形特征满足 变形为双向弯曲图2-27 薄板载荷平面载荷横向载荷复合载荷内力薄膜力弯曲内力（中面内的拉、压力和面内剪力）（弯矩、扭矩和横向剪力）第1页/共28页2023/3/30（二）基本假设（克希霍夫Kirchhoff）变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同 一法线上，且法线上各点间的距离不变。平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切 变形，只有沿中面法线的挠度。只有横向力载荷第2页/共28页2023/3/30二、圆板轴对称弯曲的基本方程二、圆板轴对称弯曲的基本方
2、程（一）圆板中力的分析（一）圆板中力的分析分析模型见图2-28半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz内力：Mr、M、Qr 三个内力分量在r、z圆柱坐标系中轴对称性几何对称，载荷对称，约束对称，在r、z圆柱坐标系中挠度 只是 r 的函数，而与无关。第3页/共28页2023/3/30图2-28 圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力（a）分析模型分析模型第4页/共28页2023/3/30图2-28 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体受力(b)挠度微分方程的建立：微元体用半径为r和r+dr的两个圆柱面和夹角为d的两个径向截面截出板上一微元体如图228（a）、（b）基于平衡、几何、物理方程第5页/共
3、28页2023/3/30微元体内力 径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr周向：M、M横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr微元体外力 上表面P=prddr 图2-28 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体受力(c)挠度微分方程的建立：基于平衡、几何、物理方程第6页/共28页2023/3/301 1、平衡方程、平衡方程微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即MT=0圆平板在轴对称载荷下的平衡方程 图2-28 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体受力(d)第7页/共28页2023/3/302 2、几何方程几何方程取 径向截面上与中面相距为z，半径为 r 与 两点A与B构成的微段图22
4、9 圆平板对称弯曲的变形关系第8页/共28页2023/3/30板变形后：微段的径向应变为过A点的周向应变为作为小挠度，带入以上两式，应变与挠度关系的几何方程第9页/共28页2023/3/303 3、物理方程、物理方程根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为第10页/共28页2023/3/304 4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程将几何方程带入物理方程，可得将几何方程带入物理方程，可得第11页/共28页2023/3/30通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩 和 表示成 的形式。由上式可见，和 沿着厚度（即z
5、方向）均为线性分布，图2-30中所示为径向应力的分布图。图2-30 圆平板内的应力与内力之间的关系第12页/共28页2023/3/30 、的线性分布力系便组成弯矩 、。单位长度上的径向弯矩为：“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关同理第13页/共28页2023/3/30将弯矩关系式代入应力关系式，得弯矩和应力的关系式为：上式代入平衡方程，得：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：Qr值可依不同载荷情况用静力法求得第14页/共28页2023/3/30三、受均布载荷的圆平板三、受均布载荷的圆平板（一）承受均布载荷时圆平板中的应力（一）承受均布载荷时圆平板中的应力图2-31 均布载荷作用时
6、圆板内Qr的确定据右图，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：代入弯曲微分方程均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为对r连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率（得到中面在弯曲后的挠度）第15页/共28页2023/3/30C1、C2、C3均为积分常数。对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2 0，于是上述方程改写为：式中C1、C3由边界条件确定第16页/共28页2023/3/30（二）周边简支的圆平板（二）周边简支的圆平板图2-32 周边简支圆平板将上述边界条件代入受均布载荷圆平板的公式，解得积分常数C1、C3：得到挠度方程第17页/共28页2023/3
7、/30弯矩表达式：应力表达式：第18页/共28页2023/3/30不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心 处周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34。图2-34 周边简支圆板的弯曲应力分布（板下表面）第19页/共28页2023/3/30（三）周边固支圆平板（三）周边固支圆平板图2-35 周边固支圆平板将上述边界条件代入受均布载荷的圆平板公式，解得积分常数第20页/共28页2023/3/30将挠度对r的一阶导数和二阶导数代入应力公式，便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：由此弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式：第21页/共28页2023/3/30周边固支圆平板下表面的应力
8、分布，如图2-36所示。最大应力在板边缘上下表面，即图2-36周边固支圆平板的弯曲应力分布（板下表面）第22页/共28页2023/3/30（四）支承对平板刚度和强度的影响（四）支承对平板刚度和强度的影响1、挠度、挠度周边固支时，最大挠度在板中心周边简支时，最大挠度在板中心这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。简支固支第23页/共28页2023/3/302、应力、应力周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为这表明，周边简支板的最大正应力大于周边固支板的正应力。第
9、24页/共28页2023/3/30（五）薄圆平板应力的特点（五）薄圆平板应力的特点板内为二向应力 、。平行于中面各层相互之间的正 应力 及剪力 引起的切应力 均可予以忽略。应力沿半径的分布与周边支承方式有关，工程实际中的圆板 周边支承是介于两者之间的形式。薄板结构的最大弯曲应力 与 成正比，而薄壳的最大 拉（压）应力 与 成正比，故在相同 条件下，薄板所需厚度比薄壳大。正应力 、沿板厚度呈直线分布，在板的上下表面有最 大值，是纯弯曲应力。第25页/共28页2023/3/30四、轴对称载荷下环形板中的应力四、轴对称载荷下环形板中的应力图2-37 圆板中心承受集中载荷时板中的剪力Qr由前面得到的挠度微分方程式，剪力可由图2-37中的平衡条件确定：采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值第26页/共28页2023/3/30图2-38 外周边简支内周边承受均布载荷的圆环板只要写出边界条件，一样的方法求解只要写出边界条件，一样的方法求解承受边缘弯矩的环形板：沿周边简支承受均布横剪力的环形板：第27页/共28页2023/3/30第二章 压力容器应力分析感谢您的观看！第28页/共28页