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1、数学分析第九章教案第1页，共52页，编辑于2022年，星期六3 有理函数和可化为有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分三、某些无理函数的不定积分三、某些无理函数的不定积分二、三角函数有理式的不定积分二、三角函数有理式的不定积分第2页，共52页，编辑于2022年，星期六有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数,一、有理函数的一、有理函数的不定积分不定积分m n 时称为真分式时称为真分式,m n 时称为假分式时称为假分式.其一般形式为其一般形式为:第3页，共52页，编辑于2022年，星期六假分式假
2、分式相除相除多项式多项式+真分真分 式式 由代数知识，真分式必可表示成若干个由代数知识，真分式必可表示成若干个部分分式之和部分分式之和下列分式称为部分分式下列分式称为部分分式：第4页，共52页，编辑于2022年，星期六部分分式的积分部分分式的积分第5页，共52页，编辑于2022年，星期六第6页，共52页，编辑于2022年，星期六令令 t=x+p/2,得得其中其中第7页，共52页，编辑于2022年，星期六当当 k=1 时时,上式右边两个积分分别为上式右边两个积分分别为第8页，共52页，编辑于2022年，星期六当当 k 2 时时,上式右边第一个积分为上式右边第一个积分为对第二个积分，记对第二个积分
3、，记第9页，共52页，编辑于2022年，星期六用分部积分法导出求用分部积分法导出求 Ik 的递推公式：的递推公式：第10页，共52页，编辑于2022年，星期六整理得整理得重复使用上述公式，最终归为计算重复使用上述公式，最终归为计算 I1 下面讨论将真分式化为部分分式的方法下面讨论将真分式化为部分分式的方法分解真分式分解真分式为部分分式的步骤如下：为部分分式的步骤如下：第11页，共52页，编辑于2022年，星期六第一步：第一步：对分母对分母 Q(x)在实数系内作标准分解：在实数系内作标准分解：其中其中均为正整数，而且均为正整数，而且第12页，共52页，编辑于2022年，星期六第二步：第二步：根据
4、分母的各个因式分别写出与之相应根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：的部分分式：对形如对形如的因式，它所对应的部分分式是的因式，它所对应的部分分式是对形如对形如的因式，它所对应的部分分式是的因式，它所对应的部分分式是第13页，共52页，编辑于2022年，星期六例如，若例如，若 Q(x)分解因式为分解因式为则相应的部分分式分解为则相应的部分分式分解为第三步：第三步：确定待定系数确定待定系数第14页，共52页，编辑于2022年，星期六确定待定系数的方法一：确定待定系数的方法一：待定系数法待定系数法将将 R(x)的所有部分分式通分相加，所得分式的的所有部分分式通分相加，所得分式的分母仍为分母
5、仍为Q(x)，分子与原分子分子与原分子P(x)相等相等.再根据再根据两个多项式相等时同次幂系数必定相等的原则两个多项式相等时同次幂系数必定相等的原则,得到待定系数所满足的线性方程组得到待定系数所满足的线性方程组,由此解出待由此解出待定系数定系数.分式分解分式分解.例例1作部分作部分第15页，共52页，编辑于2022年，星期六解解 因为因为第16页，共52页，编辑于2022年，星期六比较同次项系数比较同次项系数,得到线性方程组得到线性方程组解得解得于是完成了于是完成了R(x)的部分分式分解的部分分式分解:第17页，共52页，编辑于2022年，星期六确定待定系数的方法二：赋值法确定待定系数的方法二
6、：赋值法取使取使Q(x)=0的根代入下式的根代入下式求解系数，若系数未求完，可再令求解系数，若系数未求完，可再令x为其他特殊值为其他特殊值，直到求出所有系数。以例，直到求出所有系数。以例1 1为例说明：为例说明：令令x=2和和x=-2代入上式，有代入上式，有第18页，共52页，编辑于2022年，星期六例例 将下列分式分解为部分分式：将下列分式分解为部分分式：解解去分母得去分母得令令 x=0，得，得 A=1；令令 x=1，得，得 C=1；比较两端比较两端 x2 的系数，得的系数，得 A+B=0，从而，从而 B=1 第19页，共52页，编辑于2022年，星期六所以所以此题也可如下进行（拼凑）：此题
7、也可如下进行（拼凑）：根据分母的形式，将分子凑为根据分母的形式，将分子凑为第20页，共52页，编辑于2022年，星期六说明说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法简便的方法.例例2 求求解解第21页，共52页，编辑于2022年，星期六于是于是其中第一个积分其中第一个积分第二个积分第二个积分第22页，共52页，编辑于2022年，星期六p.186 例例9（或用递推公式）：（或用递推公式）：第23页，共52页，编辑于2022年，星期六于是于是第24页，共52
8、页，编辑于2022年，星期六解解 由例由例1 1,例例其中其中第25页，共52页，编辑于2022年，星期六于是于是第26页，共52页，编辑于2022年，星期六设设表示三角函数有理式表示三角函数有理式,则则三角函数有理式的不定积分三角函数有理式的不定积分通过变换通过变换（万能变换）（万能变换）总可以化为总可以化为 t 的有理函数的积分的有理函数的积分二、三角函数有理式的不定积分二、三角函数有理式的不定积分第27页，共52页，编辑于2022年，星期六这是因为这是因为所以所以第28页，共52页，编辑于2022年，星期六例例3 求求 解解 令令则则第29页，共52页，编辑于2022年，星期六第30页，
9、共52页，编辑于2022年，星期六例例解解第31页，共52页，编辑于2022年，星期六对三角函数有理式的不定积分对三角函数有理式的不定积分,在某些条件下还在某些条件下还可选用如下三种变换可选用如下三种变换,使不定积分简化使不定积分简化.第32页，共52页，编辑于2022年，星期六例例解解第33页，共52页，编辑于2022年，星期六例例第34页，共52页，编辑于2022年，星期六例例4解解第35页，共52页，编辑于2022年，星期六令令令令1令令三、某些无理根式的不定积分三、某些无理根式的不定积分第36页，共52页，编辑于2022年，星期六例如，积分例如，积分 可令可令积分积分 可令可令第37页
10、，共52页，编辑于2022年，星期六例例5 求求解解令令则有则有其中其中第38页，共52页，编辑于2022年，星期六2方法方法1 由于由于则作相应的变换，上述积分必可转化为以下则作相应的变换，上述积分必可转化为以下三种积分之一：三种积分之一：再作相应的三角变换，它们都可转化为三角有再作相应的三角变换，它们都可转化为三角有理式的不定积分理式的不定积分第39页，共52页，编辑于2022年，星期六方法方法2（欧拉变换）欧拉变换）(1)若若 a 0,令令(2)若若 c 0,令令(3)若若有两个不同实根有两个不同实根 x1,x2,令令第40页，共52页，编辑于2022年，星期六例例6解法解法 1:第41
11、页，共52页，编辑于2022年，星期六由于由于第42页，共52页，编辑于2022年，星期六解法解法2令令则则第43页，共52页，编辑于2022年，星期六因此因此第44页，共52页，编辑于2022年，星期六但实质上只相差某一常数而已但实质上只相差某一常数而已.注注1 由以上两种方法所得的结果由以上两种方法所得的结果,形式虽不相同形式虽不相同注注2 对于本题来说对于本题来说,解法解法 2 显然比解法显然比解法 1 简捷简捷.在解法在解法2中也可作变换中也可作变换会产生相同的效果会产生相同的效果.第45页，共52页，编辑于2022年，星期六注注 虽然初等函数都是连续函数虽然初等函数都是连续函数,从而
12、它们都存在从而它们都存在原函数原函数,但并非初等函数的原函数都是初等函数但并非初等函数的原函数都是初等函数例如例如都不是初等函数都不是初等函数,因此都不可能用我们介绍的方法因此都不可能用我们介绍的方法把它们的原函数求出来把它们的原函数求出来第46页，共52页，编辑于2022年，星期六例例解解从而有从而有第47页，共52页，编辑于2022年，星期六第48页，共52页，编辑于2022年，星期六6）解法二：令解法二：令第49页，共52页，编辑于2022年，星期六解解 令令12）第50页，共52页，编辑于2022年，星期六18）16）第51页，共52页，编辑于2022年，星期六第52页，共52页，编辑于2022年，星期六