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1、函数期望 当 X为离散型随机变量则 当X为连续型随机变量，则第1页/共87页2.方差 计算方差时通常用下列关系式：称随机变量 的期望为X的方差，即 第2页/共87页3性质（1）（2）（3 3）若X X和Y Y相互独立，则第3页/共87页计算协方差时通常用下列关系式：二、协方差 第4页/共87页三、矩母函数 1定义 为X的矩母函数2原点矩的求法 称 的数学期望 利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对 逐次求导并计算在 点的值：第5页/共87页3和的矩母函数 定理1 设相互独立的随机变量 的矩母函数分别为 ，则其和 的矩母函数为 两个相互独立的随机变量之和的矩母函数等于它们的矩母函数之积.第6页/共8
2、7页 四、特征函数 特征函数 设X为随机变量，称复随机变量 的数学期望为X的特征函数，其中t是实数。还可写成 特征函数与分布函数相互唯一确定。第7页/共87页性质则和 设相互独立的随机变量 的 特征函数分别为 ，的特征函数为 两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积.第8页/共87页练习:设随机变量X的概率密度函数为试求X的矩母函数。解：第9页/共87页练习 解 由于 所以 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，求X的特征函数。第10页/共87页条件分布函数与条件期望 离散型 若 ，则称 为在条件 下，随机变量Y的条件分布律。为在条件 下，随机变量X的条件分布律。同样1、条件分
3、布函数的定义 第11页/共87页连续型 同样称为在条件 下，随机变量X的条件分布律。称为在条件 下，随机变量Y的条件分布律。注意：分母不等于0第12页/共87页2、条件期望的定义 离散型 其中连续型 其中条件概率密度 第13页/共87页3、全数学期望公式 定理 对一切随机变量X和Y，有 连续型 是随机变量Y的函数，当 时取值因而它也是随机变量。离散型 第14页/共87页设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为解：练习:第15页/共87页第16页/共87页练习:对于随机变量X和Y，满足条件则有练习:若随机变量X和Y相互独立，满足条件则有第17页/共87页 一矿工困在矿井中，要到达安全地带，有三个
4、通道可选择，他从第一个通道出去要走1个小时可到达安全地带，从第二个通道出去要走2个小时又返回原处，从第三个通道出去要走3个小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道，试问他到达安全地点平均要花多长时间。练习 解 设X表示矿工到达安全地点所需时间，Y 表示他选定的通道，则所以 第18页/共87页第二章复习内容随机过程的分类T离散、I离散T离散、I连续参数T状态I分类T连续、I离散T连续、I连续 Poisson过程是参数 状态 的随机过程.Brown运动是参数 状态 的随机过程.离散连续连续连续第19页/共87页练习 袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每
5、一个确定的t对应随机变量试求这个随机过程的一维分布函数族。分析先求 的概率分布第20页/共87页所以解P第21页/共87页随机过程的数字特征 2方差函数 1均值函数 3协方差函数注第22页/共87页 4自相关函数注第23页/共87页 5互协方差函数 6互相关函数第24页/共87页练习解求:(1)均值函数;(2)协方差函数;(3)方差函数。（1）（2）（3）第25页/共87页练习解试求它们的互协方差函数。所以第26页/共87页1.严平稳过程定义1则 称为严平稳过程若对任意的和任意的严平稳过程的有限维分布关于时间是平移不变的.第27页/共87页2.宽平稳过程定义2如果它满足：则称 为宽平稳过程，简
6、称平稳过程第28页/共87页因为均值函数注:(3)可等价描述为:第29页/共87页注2注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。宽平稳过程也不一定是严平稳过程。因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。第30页/共87页性质1 平稳过程相关函数的性质(1)自相关函数的性质性质2性质3第31页/共87页(2)协方差函数的性质性质2性质3性质1第32页/共87页练习解:第33页/共87页的随机变量序列,则令练习2.若对任意的,增量的概率分布只依赖于而与 无关，则称随机过程
7、为 。独立增量过程 时齐的第34页/共87页定义第三章复习内容第35页/共87页定义第36页/共87页定义的等价定义显见Poisson过程本身不是平稳过程，其增量是平稳过程。第37页/共87页第38页/共87页第39页/共87页解:练习:第40页/共87页设N(t)是参数为 的Poisson过程,事件发生时刻 在已知N(t)=2的条件下的联合概率密度为_.练习:第41页/共87页重要结论第42页/共87页解:没被维修过的概率练习:维修过一次的概率第43页/共87页例1解设顾客到达某商场的过程是泊松过程,已知平均每小时有30人到达,求下列事件的概率:两个顾客相继到达的时间间隔:(1)超过2分钟;
8、(2)在1分钟到3分钟之间.若以分钟为单位,顾客到达数是强度为 的泊松过程.则顾客到达的时间间隔 服从参数为 的指数分布,其密度函数为 故第44页/共87页例2：一理发师在t=0时开门营业,设顾客按强度为的泊松过程到达.若每个顾客理发需要a分钟,a是正常数.求第二个顾客到达后不需等待就马上理发的概率及到达后等待时间S的平均值.解：解：设第一个顾客的到达时间为设第一个顾客的到达时间为T1，第二个顾客的，第二个顾客的到达时间为到达时间为T2。令。令X2=T2-T1，则第二个顾客到达，则第二个顾客到达后不需等待等价于后不需等待等价于 X2a。由定理知由定理知X2服从参数为服从参数为 的指数分布，故的
9、指数分布，故等待时间等待时间第45页/共87页考虑一特定保险公司的全部赔偿，设在0,t 内投保死亡的人数N(t)是发生率为 的泊松过程。设 是第n个投保人的赔偿价值，独立同分布。表示0,t 内保险公司必须付出的全部赔偿。练习:第46页/共87页解：第47页/共87页第四章第四章 更新过程更新过程1.更新过程的定义 设Xn,n1是独立同分布的非负随机变量，分布函数为F(x)，且F(0)1，令记称N(t),t0更新过程。第48页/共87页2、更新函数 令M(t)=EN(t)，称M(t)为更新函数。Theorem：第49页/共87页3.更新方程 设M(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为m(t)
10、，则其中 是 的密度函数。第50页/共87页 定义（更新方程）如下形式的积分方程称为更新方程其中H(t)，F(t)为已知，且当t0时，H(t)，F(t)均为0，当H(t)在任何区间上有界时称此方程为适定更新方程，简称更新方程。第51页/共87页更新方程的解 定理：设更新方程中H(t)为有界函数，则方程存在惟一的在有限区间内有界的解第52页/共87页更新定理1、初等更新定理设 ，则第53页/共87页2、布莱克威尔(Blackwell)定理设F(x)为非负随机变量X的分布函数 (1)若F(x)不是格点的，则对任意的a0，有(2)若F(x)是格点的，周期为d，则P在nd处发生更新容易看出，初等更新定
11、理是BlackwellBlackwell定理的特殊情况。第54页/共87页记 ，设h(t)0满足(1)h(t)非负不增；(2)。H(t)是更新方程的解。那么（1）若F(x)不是格点的3、关键更新定理第55页/共87页（2）若F(x)是格点的，对于注：关键更新定理与布莱克威尔(Blackwell)定理是等价性的第56页/共87页第五章复习内容马尔可夫性即无后效性.状态的分类及性质是重点互通,类,不可约,周期等概念.第57页/共87页状态i非常返常返正常返零常返第58页/共87页第59页/共87页平稳分布与极限分布(重点)第60页/共87页研究状态的关系(重点)第61页/共87页练习：设马氏链的状
12、态空间为1,2,一步转移矩阵为解:第62页/共87页练习：设马氏链的状态空间为1,2,一步转移矩阵为解:状态转移图如右:第63页/共87页第64页/共87页练习：设马氏链的状态空间为1,2,一步转移矩阵为解:显然,此链具有遍历性。由解得第65页/共87页练习：设马氏链的状态空间为1,2,3,一步转移矩阵为解:第66页/共87页练习：设马氏链的状态空间为1,2,3,一步转移矩阵为解:第67页/共87页(2)经两步转移后处于状态3的概率为第68页/共87页设马氏链的状态空间为1,2,3,4,一步转移矩阵为试研究其状态关系.解:状态转移图如下:练习第69页/共87页第70页/共87页故状态1与2都是
13、正常返状态,又因周期都是1,故都为遍历状态.故状态3是非常返状态.故状态4是吸收状态.第71页/共87页练习设马氏链的状态空间为1,2,一步转移矩阵为解：第72页/共87页练习 设马氏链的状态空间为1,2,一步转移矩阵为解:第73页/共87页第六章复习内容了解上鞅,下鞅,鞅的定义第74页/共87页 、上鞅 上鞅 、下鞅 下鞅 上鞅 下鞅 上鞅 下鞅 上鞅 下鞅 下鞅 上鞅第75页/共87页若为下鞅，为上鞅，则有()为下鞅 A为上鞅 B为下鞅 C为上鞅 D练习:第76页/共87页第七章复习内容Brown运动的定义第77页/共87页(1)(2)(3)(4)第78页/共87页(5)(6)第79页/共87页(7)(8)(9)第80页/共87页解:练习第81页/共87页重要结论Brown运动具有Markov性Brown桥的定义,原定反射的Brown运动的定义,几何Brown运动的定义,有漂移的Brown运动的定义第82页/共87页练习:计算Brown桥的均值,方差,协方差函数.解:第83页/共87页利用标准布朗运动的矩母函数计算几何布朗运动的均值函数与方差函数.练习:解:第84页/共87页练习:计算有漂移的Brown运动的均值,方差,协方差函数.解:第85页/共87页有漂移的Brown运动第86页/共87页感谢您的观看！第87页/共87页