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1、严格的稳定性概念由 李雅普诺夫给出:定义1 如果任取 (,无论如何小),对于任意给定的初时刻 ,存在 ,(由 和 确定),任取初扰动 ,只要满足 ,对于一切 有 那么系统(1)的平衡就是稳定的.For all Only if Then 定义2 如果平衡是稳定的,且存在 ,(只与 有关),任取 ,只需 ,就有 (3)那么就称平衡是渐近稳定的.第1页/共30页区域 称为渐近稳定区域.定义3 如果存在 ,任取 (无论如何小),存在 ,满足 ,使得 ,那么称平衡是不稳定的.第2页/共30页着重解释几点：1.对于稳定定义1特别注意任意 是可以任意选取的正数,着眼点放在”无论如何小”显然,不能大于 ,对于
2、给定的 ,越小,就更小.若把定义1中的”任意取 ”,改为”存在 ”,则只能得到”解有界”的结论,而得不到稳定的结论.2.对于渐近稳定的定义2,特别注意 a首先要求平衡是稳定的.为什么?反例:等式(3)成立,但平衡不是稳定的.所有轨线都趋向原点.但从其中一条轨线不可以看出平衡是不是稳定的.第3页/共30页 b 定义2中的 不同于定义1中的 ,因为如果 给定,则是唯一确定的值;而定义1中的 仍是 的函数,越小,也越小.3.对于定义3中,要注意 是一个确定的值,而 是任意选取的.对 着眼于无论如何小”.一旦发现原点任意小 的邻域内,存在初扰动 ,由它发出的解满足,平衡就是不稳定的。原则上只要有一束
3、就可以判定不稳定,而不需要研究原点的某个邻域的所有解的性质.4.平衡位置是否稳定,主要看解在原点附近的性质.例1,设 ,且为一个常数.(5)令 和 ,求得:,第4页/共30页所以,原点以及以 为半径,原点为圆心的圆周上每一点都是平衡点.将两式相除得 ,由此求出的积分是 式中 ,是初扰动,从而方程(5)的解在相平面的轨线如图(手画)所示.直线,再由(5)判别 ,的符号(与 的大小)无论 取得多么小,原点是渐进稳定的.开区域 是它的渐近稳定的区域.第5页/共30页练习:设 为一常数.判别其平衡点的稳定性.解:其解在相平面内的轨线如右图（手画）.无论 r 取的多么小,原点都是不稳定的.第6页/共30
4、页无阻尼的下垂摆自由振动的微分方程 ,用定义1证明其平衡是稳定的.证明:令 ,则 通解为:式中 ,是初扰动,由此得:第7页/共30页 （三角不等式）因此任给 ,任取 ,欲 和 ,对一切 成立,只需 现设 和 所以只需由此解得第8页/共30页从而只要取定义1.3-1的条件全部满足,自由振动的平衡是稳定的.其它下垂摆,证明写出来一大堆,不讲了.（有阻尼的下垂摆，倒立（有阻尼的下垂摆，倒立摆）摆）由该例可以看出,用定义取直接考察系统的稳定性很不容易.注意：这个例子比较特殊：与 无关练习:通常说:如果一个质点偏离平衡位置后,永远在平衡位置附近运动,则称此质点的运动是稳定的.For all Only i
5、f Then Lyapunov Lyapunov 第二方法第二方法第9页/共30页基本概念（基本概念（V V函数函数）：定号定号,常号常号,变号函数变号函数设函数 是 维空间原点邻域内的单值连续函数,而 定义1 如果存在 ,在区域 :()内当 时,则称 是正定的 ,则称 是负定的.定义2,如果在域 内,有 ,则称 是常正的 ,则称 是常负的.定义3,如果原点的任意小的邻域内,既可取正值,又可以取负值,则称 为变号函数例如 ()是正定的(在全空间内正定)()是常正的.因为在 轴上,各点有 ,其它各点 是变量函数.第10页/共30页正定函数的判定方法要判定 是不是正定函数,还没有一个普遍的方法（通
6、用的方法）还没有一个普遍的方法（通用的方法）对于二次型的 函数,有普遍适用的方法定理1 考虑二次型 式中 是定常数,是 阶对称方阵 表示列阵 的转置矩阵,即矢量二次型 为正定的充要条件是:顺序主子式的行列式都大于零.即:第11页/共30页例:设问 满足什么条件时,是正定的?解:令 ,则 求得 ,根据定理1,只要 ,即 时,函数 是正定的.对于扰动运动微分方程 ,(1)以下假设函数 是单值连续的.,对x具有连续偏导数 (i=1,2n)第12页/共30页定义全导数:(2)定理2(李雅普诺夫,1892)如果对于扰动运动微分方程(1)可以找到一个正定函数 ，它通过(1)构成的全导数是常负的,则系统(1
7、)的无扰运动是稳定的.定理3(李雅普诺夫,1892)如果对于扰动运动的微分方程(1),可以找到一个正定函数 ,它通过(1)构成的全导数是负定的,则(1)的无扰动速度是渐进稳定的.例:无阻尼单摆振动在其平衡位置的稳定性方程第13页/共30页令 则方程变为以下形式容易求出方程的初积分(首次积分，总能量函数)两边积分得:(为任意常数)第14页/共30页取 注：选取V函数方法之一，总能量积分的表达式易见 是正定的(在区域 内)且通过(1)式对 求全导数,，有 (常负的)故单摆运动在其平衡位置是稳定的.另外，根据，定理2，不是渐近稳定的定理3(巴尓巴欣-克拉索夫斯基,1952)如果存在正定函数,它由(1
8、)构成的全导数是常负的,并且在全导数为零的集合,除原点外,不包含(1)的整条轨线在内,则(1)的无扰动运动是渐近稳定的.例如,证明对于有阻尼的下垂摆,平衡是渐近稳定的.证明:扰动运动的微分方程是:第15页/共30页获得总能量函数:在区域 内是正定的.取则 (常负的)得假如点集 (即 轴)存在整条轨线,则 ,从而代入原方程有:第16页/共30页所以在 内,只有 ,没有其它解.这表明在 轴上,除原点外,不存在整条轨线.所以,尽管 ,但平衡是渐近稳定的.定理4(切达耶夫不稳定定理,1934)如果对于扰动运动微分方程(1)可以找到单值连续函数,满足1,2,在原点的任意小邻域内存在 的区域.3,通过(1
9、)的全导数 ,在 的某个区域上的一切点取正值,即 ,则无扰动运动是不稳的.例:解:解微分方程得到:,都是斜率为-1的直线.不同的 ,对应不同的直线（手画图）.第17页/共30页取 (正定的,在原点任意小的邻域,)第18页/共30页 定理5 设 ,其中,即当 如果 是正定的,则 也是正定的.如果 是负定的,则 也是负定的.例:不计阻尼的倒立摆 证明平衡位置是不稳定的.证:取变号函数,全导数 （幂级数展开）式中 最低为四次,因此 是正定的.而 本身有正有负,即在原点任意小的邻域内存在 ,而且 所以平衡是不稳的.按一次近似判断稳定性的法则：假设驻定系统 (1)具有连续的一阶偏导数 ,则根据泰勒公式可
10、以 写成:第19页/共30页 其中 即当 时,的最低次数不小于2次.其一次近似方程:(2)定理1 如果一次近似方程(2)的一切特征根的实部为负,则无扰运动是渐近稳定 的。定理2 如果一次近似方程(2)的特征根中至少有一根的实部为正,则(1)的无扰 运动是不稳定的。第20页/共30页 例1:有阻尼下垂摆系统 （）的平衡稳定性.解:它的一次近似方程为:求出特征根:，都是有负实部,所以有阻尼的下垂摆的 平衡是渐近稳定的.例2:无阻尼倒立摆系统 解:它的一次渐近方程为 求出它的两个特征根为:所以倒立摆的平衡是不稳定的.第21页/共30页 Remark 临界情况-分岔理论 如果一次近似的特征根中,某一根
11、的实部为零,其它根的实部都为负,则可能 是稳定的,也可能不稳定,此时不能根据一次近似条件来判断稳定性.一切特征根 有负实部判别的 将矩阵的特征方程 展开得:其中if ,则 霍尓维茨(Hurwitz)行列式.第22页/共30页 非驻定系统稳定性基本原理 考虑非驻定系统的扰动运动的微分方程:(1)在闭区域,，内连续,并在这一区域内满足解的唯一性条件.注:前面关于驻定系统的某些结论可以直接推广到非驻定系统,一些结论则不可以直接作简单的推广,甚至不能推广.这是因为非驻定系统在相空间的方向场是随时间而改变的,不具有驻定系统的不变方向的特征.第23页/共30页 研究非驻定系统无扰运动（以原点为代表）的稳定
12、性，这里仍要学习李雅普诺夫直接法，即构造李雅普诺夫函数。与驻定系统不同，这一函数一般含有 ，即为 （在特殊情况下也可以为 ）.需要建立的概念需要建立的概念:函数 定义定义1 1 单变量实值函数 称为 类函数 如果 是连续单调递增，（即当 时，有 ,且 ）下列利用 类函数定义定号函数 定义定义2 2 设函数 在区域 内单调连续，而且 对于任 何 成立。如果存在 类函数 ，在区域 上满足 ，则 为正定。如果 ，则 为负定的。Remark 1：如果 不显含，即 ，则定义2与前面驻定系统的 函数定 义是等价的。第24页/共30页 例例 证明：为正定。证：因为，若取 ,则 定义定义3 3 对 的全导数为
13、 （3）定定理理1 1（李雅普诺夫，1892），如果在区域 内存在函数 和 类函数 ，使得，(1)（正定的）(2)(常负的)则系统（）的无扰运动是稳定的。第25页/共30页 例例 求单自由度系统，无扰运动 的稳定条件 解：化成标准形式 取正定函数 注：，求得：根据定理（1），如果对一切 ，有 ，则无扰运动是稳定的。定义定义4 4 如果存在 类函数 ，使得函数 在区域 内，满足：，则函数 具有无穷小上界。第26页/共30页 练习：练习：例例1 1 证明,if 不显含，即 ，则 具有无穷小上界。证明：因为 在区域 内单调连续 例例2 2 有界，但没有无穷小上界。例例3 3 有无穷小上界。例例4 4
14、 是正定的，而且有无穷小上界。证：取 ，则对于一切 有 这里，设 是具有无穷小上界的正定函数，即 则 的变化范围如图（手绘图）。第27页/共30页 定理定理2 2 如果在区域 内存在函数 ，以及 类函数 ，使 得：（1），；（2）则系统（1）的无扰运动是渐近稳定的。Remark 2Remark 2 驻定系统有一个重要的特性，它在相空间的方向场不变。非驻定系 统失去了这个特征。如果是驻定系统，对稳定性判定，只要根据系统的系数矩阵的特征根的性质就可以判定了。但对于非驻定系统，这一方法一般会失效。第28页/共30页 例如例如：考虑二阶线性微分方程 其线性矩阵 的特征根为：，两个特征根全是负的，却不是渐 近稳定的。事实上，通解为：从而？不稳的。还可以举出相反的例子，特征值具有正实部，但系统是渐近稳定的。（稳定性讨论完毕）第29页/共30页感谢您的观看！第30页/共30页