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1、生活中有很多美好的东西，上面的这两个图片美在什么地方呢生活中有很多美好的东西，上面的这两个图片美在什么地方呢？而具有奇偶性的函数图象都很美，它们又有哪些性质呢？而具有奇偶性的函数图象都很美，它们又有哪些性质呢？第第2 2课时课时 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 探究点探究点1 1 根据函数奇偶性画函数图象根据函数奇偶性画函数图象 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴对称，如果能够画出偶函数在轴对称，如果能够画出偶函数在y y轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在y y轴另轴另一侧的图象一侧的图象.奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函奇
2、函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在原点另一侧的图象数在原点另一侧的图象.例例1 1：已知：已知f(x)f(x)是偶函数，是偶函数，g(x)g(x)是奇函数，试将是奇函数，试将下图补充完整。下图补充完整。例例1 1：已知：已知f(x)f(x)是偶函数，是偶函数，g(x)g(x)是奇函数，试将是奇函数，试将下图补充完整。下图补充完整。例例2.2.画出下列函数的图象画出下列函数的图象（1 1）（2 2）设奇函数设奇函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-5,5-5,5，当，当xx0,50,5
3、 时，时，函数函数y=f(x)y=f(x)的图象如图所示，的图象如图所示，（1 1）作出函数在）作出函数在-5,0-5,0 上的图象上的图象.（2 2）求使函数）求使函数y y0 0的的x x的取值范围的取值范围.【变式练习】【变式练习】探究点探究点2 2 根据函数的奇偶性求函数解析式根据函数的奇偶性求函数解析式例例3.3.已知函数已知函数f(x)f(x)在（在（0,+0,+）上的解析式是）上的解析式是f(x)=2x+1f(x)=2x+1，根据下列条件求函数在（，根据下列条件求函数在（-，0 0）上）上的解析式的解析式.（1 1）f(x)f(x)是偶函数；是偶函数；（2 2）f(x)f(x)是
4、奇函数是奇函数.已知已知y yf(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，当上的奇函数，当x0 x0时，时，f(x)f(x)x x2 22x2x，则，则f(x)f(x)在在R R上的表达式为上的表达式为_【变式练习】【变式练习】探究点探究点3 3 利用函数的奇偶性研究函数的单调性利用函数的奇偶性研究函数的单调性回顾例回顾例1 1中两个函数的图象中两个函数的图象从第（从第（1 1）个函数图象上）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上的可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律.从第（从
5、第（2 2）个函数图象上）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上具可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律.例例4.4.已知函数已知函数f(x)f(x)是奇函数，且在（是奇函数，且在（0 0，+）上是减函数上是减函数。证明：函数在（证明：函数在（-，0 0）上也是减函数。）上也是减函数。(1)(1)若若f(x)f(x)是奇函数是奇函数,则则f(x)f(x)在定义域关于原点对称在定义域关于原点对称的区间上单调性一致的区间上单调性一致;若若f(x)f(x)是偶函数是偶函数,则则f(x)f(x
6、)在定在定义域关于原点对称的区间上单调性相反义域关于原点对称的区间上单调性相反.【总结总结提升】提升】(2)(2)奇函数奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相在定义域关于原点对称的区间上的最值相反反,且互为相反数且互为相反数;偶函数偶函数在定义域关于原点对称的在定义域关于原点对称的区间上的最值相等区间上的最值相等.函数的单调性与奇偶性的关系函数的单调性与奇偶性的关系例例5 5：若：若f(x)f(x)是偶函数，其定义域为是偶函数，其定义域为(-,+)(-,+)，且，且在在0,+)0,+)上是减函数，则上是减函数，则 与与 的的大小关系是大小关系是_._.【分析】【分析】要比较各函数值的大小，
7、需将要比较的自变量要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小.【变式练习】【变式练习】与与 的大小关系呢的大小关系呢函数函数f(x)f(x)是偶函数，且在是偶函数，且在(，00上为增函数，试上为增函数，试比较比较f(f(2)2)与与f(1)f(1)的大小的大小【变式练习】【变式练习】解析：解析：因为因为f(x)f(x)是偶函数，是偶函数，所以所以f(1)f(1)f(f(1),1),又因为又因为f(x)f(x)在在(，00上为增函数，上为增函数，2 21 1，所以所以f(f(2)2)f(f(1)1)f(
8、1)f(1)，即即f(f(2)2)f(1).f(1).B BD4.4.已知函数已知函数f f（x x）是定义在）是定义在-4-4，44上奇函数，且上奇函数，且在在-4-4，44上单调递增若上单调递增若f f（a+1a+1）+f+f（a-3a-3）0 0，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围3.3.定义域为定义域为R R的函数的函数f f（x x）在（）在（6 6，+）上为减函数）上为减函数且函数且函数y=fy=f（x+6x+6）为偶函数，则（）为偶函数，则（）A Af f（4 4）f f（5 5）B Bf f（4 4）f f（7 7）C Cf f（5 5）f f（8 8）D Df f（5
9、5）f f（7 7）三个性质：三个性质：一种题型：一种题型：1.1.奇函数奇函数的图象关于原点对称，的图象关于原点对称，偶函数偶函数的图象关于轴对称的图象关于轴对称2.2.奇函数奇函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数偶函数则在定义域关于原点对称的区间上具有相反的单调性；则在定义域关于原点对称的区间上具有相反的单调性；3.3.奇函数奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反在定义域关于原点对称的区间上的最值相反,且互为且互为相反数相反数;偶函数偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等在定义域关于原点对称的区间上的最值相等.具备具备奇偶性奇偶性的函数，已知某一区间上的解析式可求函的函数，已知某一区间上的解析式可求函数在其关于原点对称的区间上的解析式数在其关于原点对称的区间上的解析式