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1、 直播课程：中考专项复习六：圆主讲老师：夏祖超主讲老师：夏祖超第1页/共45页1.1.正确认识圆及其相关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；2.2.理解圆的对称性、垂径定理、圆周角和圆心角的关系，直径所对圆周角的性质，能运用这些知识解决一些与圆有关的问题；一、内容要求第2页/共45页圆是轴对称图形，圆的任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.一、内容要求第3页/共45页一、内容要求弧、弦、圆心角在同圆或等圆中.圆周角在同圆或等圆中，(1)(1)圆周
2、角相等 等弧，同弧；(2)(2)圆周角等于同弧 (等弧)所对圆心角的一半；(3)(3)半圆 (或直径)所对的圆周角是 90 90，90 90 的圆周角所对的弦是直径.弦相等弦相等 弧相等弧相等圆心角相等第4页/共45页一、内容要求3.3.能正确判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，能运用圆的切线的性质和判定方法分析问题和解决问题；4.4.理解三角形的外接圆、内切圆、及圆的内接三角形、外切三角形和三角形的外心、内心等概念.第5页/共45页一、内容要求5.5.会识别切线及切线长的图形，会画过圆上一点的切线6.6.会找三角形的内心与外心,会利用它们的性质会求三角形的内切圆的半径(主要是指直角三角形
3、)7.7.会计算弧长、扇形面积，会求圆锥的侧面积与全面积第6页/共45页8.8.能利用弧长或扇形面积等关系解决相应的问题9.9.能利用两圆关系解决实际问题.10.10.能综合运用几何知识解决与圆有关的生活实际问题或数学学习中的实际问题一、内容要求第7页/共45页基本图形ACBDOABOCBPAOABPCOMOPNBA第8页/共45页基本方法关注关键元素（线段、角）的出现顺序新的图形出现后所具有的特殊性质图形的分解与组合第9页/共45页二、典型例题 例例 1 如图，在如图，在 O 中，中，AB=AC,CBD=35 ,BCD=20，求，求 ABC 的大小；的大小；解解:BAD=BCD=20，CAD
4、=CBD=35.BAC =BAD+CAD =20+35 =55.DBACO圆的性质圆的性质第10页/共45页ABC 中，中，AB=AC，ABC=ACB.又又 ABC+ACB=180-BAC =180 -55 =125.ABC=125=62.5._ 12BACD二、典型例题圆的性质圆的性质第11页/共45页2 例例 2 图中，图中，AB 是是 O 的直径，的直径，C、D 是圆是圆 上的点上的点(与与 A、B 不重合不重合)，E 是是 AB 上一点，求上一点，求 1+2 的的值，并说明，这个值与值，并说明，这个值与 E 点在点在 AB 上的位置无关上的位置无关.ABCDEO1二、典型例题圆的性质圆
5、的性质第12页/共45页解解:连连 BC.AB 是是 O 的直径，的直径，ACB=90.又又 2=3，1+2=1+3=ACB=90 无论无论 E 在在 AB 上的哪个位置上的哪个位置(除除 A、B 以外以外)ACB 总是总是 90，而，而3 与与2 的相等关系不会因的相等关系不会因 E 的位置不同而改变的位置不同而改变2CABDEO13二、典型例题圆的性质圆的性质第13页/共45页 例例 3 如图，如图，AE 是是 O 的直径，的直径，AO 是是 C 的直的直径，径，B 是是 O 上一点，上一点，AB 与与 C 交于点交于点 D.求证求证:ODEB；D 是是 AB 之中点之中点.ABEDCO二
6、、典型例题圆的性质圆的性质第14页/共45页例4 如图，是一座圆弧形涵洞的入口的示意图，如果涵洞的高CD为6米，涵洞入口处的地面宽度AB为4米，请你求出这座涵洞圆弧所在圆的半径的长二、典型例题分析：此图形为垂径定理的图形，利用垂径定理和勾股定理可以解决第15页/共45页如图，连接AO，由题知CD=6,AD=2在直角AOD中,由勾股定理得：且AO+OD=CD解之得AO二、典型例题第16页/共45页例5我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一条弧所对的圆周角等于她所对的圆心角的度数的一半。类似地我们定义：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫做圆外角，请叙述圆外角与它所夹的两段弧所
7、对的圆心角的度数的关系并证明你的结论。（所对圆心角的度数分别为m，n）二、典型例题第17页/共45页圆外角圆周角连接CD，构造圆周角，关注CD出现后图形的性质二、典型例题A+C=CDE第18页/共45页二、典型例题与圆相关的位置关系与圆相关的位置关系例1 如图，RtABC中，C90，AB=5AC=3,以点C为圆心，分别以下列长度为半径作 C，则 C和AB的位置关系如何？（1）2 （2）2.4 （3）3第19页/共45页（1）当r2时，d2.4r圆C与AB相离.（2）当r2.4时，d2.4r圆C与AB相切.（3）当r3时，d2.4r圆C与AB相交.二、典型例题第20页/共45页 例例 2 如图，
8、如图，AB 是是 O 的直径，点的直径，点 D 在在 AB 的延的延长线上，且长线上，且 BD=OB，点，点 C 在圆上在圆上，CAB=30，证明证明:DC 是是 O 的切线的切线.OABCD二、典型例题第21页/共45页例3 如图，等腰ABC中，AC=BC，O是AB的中点，以O为圆心的圆与AC相切于点D（1）求证：BC与圆O相切；（2）若AC=4,A30求圆O的半径分析：此时不知道BC是否与圆有公共点，因此要用切线的定义判断二、典型例题第22页/共45页解（1）连接OD，作OEBC于EAC是圆的切线ODAC CA=CB,O是AB中点 O在C的平分线上 OD=OE CB是圆的切线二、典型例题第
9、23页/共45页证切线的方法：1.当没有明确直线与圆有公共点时利用定义；2.当明确直线与圆有一个公共点时利用定理.二、典型例题第24页/共45页例4 如图已知直线MN经过 O上的点A，点B在MN上，连接OB交 O于C，且C是OB的中点，AC0.5OB，若点P是 O上一个动点，当AB 时，求APC的面积的最大值二、典型例题关注图形产生的顺序和新的图形性质第25页/共45页解答：首先可以证明MN与圆O相切其次可以根据AB的长度，求出AC的长度，过O作OEAC反向延长OE交圆O于F，则ACF是面积最大的三角形最大面积为二、典型例题第26页/共45页例5 如图，已知这是从正方形材料上剪切下一个最大的圆
10、形后剩下的边角废料中的一块，其中AOOB，并且AO=BO,当OA1时，求在此图形中可裁剪出的最大圆的半径.二、典型例题分析：充分理解题意，注意图形产生的原因和顺序是解决本题的关键.第27页/共45页二、典型例题第28页/共45页 例例 6 O 是是 ABC 的外接圆，的外接圆，BD 是直径，已知是直径，已知A=120 ，CD=4，求扇形，求扇形 BOC 的面积的面积.ABCDO二、典型例题第29页/共45页解解:在在 O 中，中，A=120，BDC 所对圆心角所对圆心角=240.BOC=360-240=120.BOC+COD=180，COD=180-BOC=180 -120 =60 ，又又 O
11、C=OD，COD 是等边三角形，是等边三角形，OC=CD=4.故故 扇形扇形 BOC 的面积的面积 S=._120 42 360_163ABCDO二、典型例题第30页/共45页例7已知如图所示的漏斗所在的圆锥底面半径为6，母线长为10，现有一圆形滤纸按图一折叠，圆心角ABC60，试通过计算说明该漏斗形滤纸能否紧贴漏斗内壁？二、典型例题第31页/共45页本题的难点在于何时滤纸可以紧贴漏斗内壁可以考虑滤纸展开后的圆心角与漏斗侧面展开后圆心角的大小关系圆心角为240圆心角为216610二、典型例题第32页/共45页课间休息五分钟课间休息五分钟第33页/共45页三、中考相关例1如图，A是O上一点，半径
12、OC的延长线与过点A的直线交于B点，OCBC，AC0.5OB.（2007 北京）（1）求证：AB是O的切线；（2）若ACD45，OC2求CD的长 分析：根据条件可以根据定理来解决（1）；利用圆周角定理以及特殊角来求边长.第34页/共45页（1）证明：连接OA，有条件知OC=BC=AC=OAOAC为等边三角形，B BAC，O=OAC=60 B=30 OAB=90，AB与圆相切.COBDA三、中考相关第35页/共45页ECOBDA（2）解：作AECD于E，因为O60，所以D30，又ACD45，AC=OC=2所以在RtACE中，CE=AE=在RtADE中，因为D30，所以AD由勾股定理可求DE所以C
13、DDE+CE=三、中考相关第36页/共45页例2为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同且含有30角的直角三角形按示意图的方式测量（D、A、G在一条直线上），（1）若 O与AE、AF交于点B、C，且AB=AC，且 O与AF相切，求证：O与AE相切（2）在（1）成立的条件下若AB为AE的三分之一，AF3求弧BC的长度三、中考相关第37页/共45页如图，连接OB、OA、OC利用SSS可以证明OBA OCA近而可以证明AE与圆O相切在（1）成立的条件下AB为AE的三分之一，AF3可以计算出圆的半径以及BOC的度数，于是可以求出弧BC的长度三、中考相关第38页/共45页例3 如图
14、，在 O中，AB为直径，E是圆上一点，直线CD过E，过A、B作CD的垂线，垂足分别是C、D，连接AE、BEAEC ABE（1）求证CD与圆相切（2）若AB=10,AE:EB=3:4求四边形ACDB的面积三、中考相关第39页/共45页AB为直径：可以得到直角三角形AEC ABE：可以得到AEC ABE AEB近而可以证明AEB OEC于是三、中考相关第40页/共45页若AB=10,AE:EB=3:4，可以求出AE=6,BE=8根据（1）容易证明ACEAEB于是可以求出AC=3.6,CE=4.8根据条件可以证明ACEEDB于是可以求出ED=4.8,BD=6.4所以梯形的面积为48三、中考相关第41页/共45页第42页/共45页第43页/共45页本节课到此结束本节课到此结束请同学们下节课准时学习！请同学们下节课准时学习！第44页/共45页谢谢您的观看！第45页/共45页