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1、1第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 关键词：契比雪夫不等式大数定律中心极限定理第1页/共78页21 1 大数定律大数定律背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式第2页/共78页3第3页/共78页4 例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式,(1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间的概率至少有多大；（2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。第4页/共78页5 随机变量序列依概率收敛的定义 第5页/共7
2、8页6第6页/共78页7契比雪夫大数定律表明，当n很大时，的算术平均 接近于数学期望 。这种接近是在概率意义下的接近。此外，定理中要求随机变量的方差存在，但当随机变量服从相同分布时，就不需要这一要求。第7页/共78页8 例2：第8页/共78页9大数定律的重要意义：贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率nA/n与概率p有较大偏差的可能性很小，我们便可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估计法，参数估计的重要理论基础之
3、一就是大数定理。第9页/共78页102 2 中心极限定理中心极限定理背景：有许多随机变量，它们是由大量的相互独立 的随机变量的综合影响所形成的，而其中每 个个别的因素作用都很小，这种随机变量往 往服从或近似服从正态分布，或者说它的极 限分布是正态分布，中心极限定理正是从数 学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的 时期内曾是概率论研究的中心课题。第10页/共78页11第11页/共78页12第12页/共78页13 例3：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指 数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互 独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率。第13页/共78页14 例4
4、：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元,若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。第14页/共78页15 例5：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概 率都是0.02，各台机器工作是相互独立的，试求机 器出故障的台数不小于2的概率。第15页/共78页16 例6：第16页/共78页17 例7：（例1续）在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用中心极限定理,(1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间的概率近似值；（2）估计n,使A出现的频率在0.74至0
5、.76之间的概率不小于0.90。第17页/共78页18 随 机 过 程第18页/共78页19关键词：随机过程 状态和状态空间 样本函数 有限维分布函数 均值函数 方差函数 自相关函数自协方差函数 互相关函数互协方差函数 正态过程 独立增量过程 泊松过程 维纳过程第十章第十章 随机过程及其统计描述随机过程及其统计描述第19页/共78页201 1 随机过程的概念随机过程的概念 随机过程随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。给定一随机试验E，其样本空间S=e，将样本空间中的每一元作如下对应，便得到一系列结果：
6、第20页/共78页21 一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。第21页/共78页22 例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S=H,T，现定义：1234第22页/共78页23 第23页/共78页24 第24页/共78页25 第25页/共78页 例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：第26页/共78页27随机过程的分类：随机过程的分类：随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类，参数集T可分为离散集和连续集两种情况，任一时刻的状态分别为离散型随机变量和连续型随机
7、变量两种：1.连续参数连续型的随机过程，如例2，例32.连续参数离散型的随机过程，如例1，例43.离散参数离散型的随机过程，如例54.离散参数连续型的随机过程，如下例第27页/共78页282 2 随机过程的统计描述随机过程的统计描述第28页/共78页29 例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：第29页/共78页301234第30页/共78页31 第31页/共78页32 第32页/共78页33第33页/共78页34 第34页/共78页35第35页/共78页36第36页/共78页37第37页/共78页38 第38页/共78页39样本函数x(t)第39页/共78页40第40页/共78页41第41
8、页/共78页42(二二)随机过程的数字特征随机过程的数字特征第42页/共78页43第43页/共78页44 第44页/共78页45 第45页/共78页46 第46页/共78页47 续续第47页/共78页48第48页/共78页49 第49页/共78页50(三三)二维随机过程的分布函数和数字特征二维随机过程的分布函数和数字特征第50页/共78页51第51页/共78页52 第52页/共78页533 3 泊松过程及维纳过程泊松过程及维纳过程第53页/共78页54 独立增量过程的性质：独立增量过程的性质：第54页/共78页55第55页/共78页56(一一)泊松过程泊松过程等间隔的不等间隔的第56页/共78
9、页57第57页/共78页58续续第58页/共78页59续续第59页/共78页60续续第60页/共78页61证毕证毕第61页/共78页62第62页/共78页63第63页/共78页64第64页/共78页65第65页/共78页66第66页/共78页67第67页/共78页68 定理一：强度为的泊松流(泊松过程)的点间间距是相 互独立的随机变量，且服从同一指数分布 定理二：如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相 互独立,且服从同一个指数分布：这两个定理刻画出了泊松过程的特征，定理二告诉我们，要确定一个计数过程是不是泊松过程，只要用统计方法检验点间间距是否独立，且服从同一个指数分布。则质点流构成强度为的
10、泊松过程第68页/共78页69第69页/共78页70(二二)维纳过程维纳过程维纳过程维纳过程是布朗运动的数学模型 以W(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t0的位移的横坐标，且设W(0)=0。由于微粒的运动是受到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果，于是:(1)粒子在时段(s,t上的位移可看作是许多微小位移的 和，根据中心极限定理，假设位移W(t)-W(s)服从正 态分布是合理的。(2)由于粒子的运动完全由液体分子不规则碰撞而引起的，这样，在不相重叠的时间间隔内，碰撞的次数、大小和方向可假设相互独立，即W(t)具有独立增量，同时W(t)的增量具有平稳性。第70页/共78页71第71页/共78页72第72页/共78页73第73页/共78页74第74页/共78页75第75页/共78页76第76页/共78页2023/3/31课件待续!第77页/共78页78感谢您的观看！第78页/共78页