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1、第2讲第二章随机过程的概念本讲稿第一页，共四十一页例例2 考察考察 0,t)小时内某服务台接受服务的人数小时内某服务台接受服务的人数X(t)。例例1 观察某只股票一天的价格走势观察某只股票一天的价格走势.X(t)为为t t时价时价格。格。本讲稿第二页，共四十一页以股票价格为例，可能被观察到的走势图：以股票价格为例，可能被观察到的走势图：X(t1,)X(t2,)X(t,1)X(t,2)X(t,3)t1t2tnX(t3,)特点特点2 2：每一固定时刻：每一固定时刻t t，都对应一随机变量。，都对应一随机变量。特点特点1 1：每一个观察到的样本，都是随时间：每一个观察到的样本，都是随时间t t在变化
2、的曲在变化的曲 线，称为样本函数，或轨道线，称为样本函数，或轨道.样本函数的全体称为样本函数族样本函数的全体称为样本函数族.随机变量的全体称为随机变量族。随机变量的全体称为随机变量族。123所以随机过程可以用所以随机过程可以用 表示表示本讲稿第三页，共四十一页为为(F,P)(F,P)上的一个随机过程上的一个随机过程.是一随机变量是一随机变量,T T称为参数集，或时间参数集。称为参数集，或时间参数集。定义定义 T T是参数集是参数集,为样本空间，为样本空间，(,F,P)(,F,P)是概率空间是概率空间,简记为简记为或或的值称为随机过程在的值称为随机过程在t t时所处的状态。时所处的状态。所有可能
3、的值的集合，称状态空间，所有可能的值的集合，称状态空间，记为记为I.I.若对每个若对每个本讲稿第四页，共四十一页1)T,I 均为离散均为离散;2)T 离散离散,I 连续连续;3)T 连续连续,I离散离散;4)T,I 为连续为连续.根据时间集和状态空间的不同，随机过程分为四类：根据时间集和状态空间的不同，随机过程分为四类：当当T为离散集为离散集,称随机过程为称随机过程为随机序列随机序列,时间序列时间序列.在在t t时时状态空间离散，则状态空间离散，则为离散型随机变量为离散型随机变量本讲稿第五页，共四十一页 例例1 1为时间状态皆连续的随机过程为时间状态皆连续的随机过程 例例2 2为时间连续状态离
4、散的随机过程为时间连续状态离散的随机过程时间离散状态随机过程，又称随机序列。时间离散状态随机过程，又称随机序列。若若例例1 1、例、例2 2中中只考虑整点时刻时刻的情形，则分别只考虑整点时刻时刻的情形，则分别是时间离散状态连续和时间离散状态也离散的随机过是时间离散状态连续和时间离散状态也离散的随机过程。程。本讲稿第六页，共四十一页的联合分布函数：的联合分布函数：称为过程的称为过程的n 维分布函数族维分布函数族.2.2 随机过程的分布和数字特征随机过程的分布和数字特征定义定义 是一随机过程，对于任意是一随机过程，对于任意本讲稿第七页，共四十一页有限维分布函数性质有限维分布函数性质 1)对称性对称
5、性 对对1,2,n的任一排列的任一排列j1,j2,jn,均有均有对任意固定的自然数对任意固定的自然数mn,均有均有 2)相容性相容性本讲稿第八页，共四十一页 例例3 设设Y,Z是两个独立的标准正态随机变量是两个独立的标准正态随机变量,求随机过程的一、二维概率密度族求随机过程的一、二维概率密度族解解是两个独立正态随机变量组合，是两个独立正态随机变量组合，故为正态分布。故为正态分布。所以所以本讲稿第九页，共四十一页所以所以:是独立的正态随机变量是独立的正态随机变量Y,Z的满秩线性的满秩线性 变换，故为二维正态分布。变换，故为二维正态分布。对于对于 本讲稿第十页，共四十一页例例4 若从若从t=0开始
6、每隔开始每隔1/2秒抛掷一枚均匀的硬币做试验，秒抛掷一枚均匀的硬币做试验，定义一个随机过程：定义一个随机过程：1)一维分布函数一维分布函数F(1/2；x)和和F(1,x);2)二维分布函数二维分布函数F(1/2,1;x,y).求求解（解（1）这是独立随机过程（即在不同时刻的随机变量相互独立）这是独立随机过程（即在不同时刻的随机变量相互独立），所以过程的有限维统计特性由一维确定。，所以过程的有限维统计特性由一维确定。X(t)cost 2tp 1/2 1/2本讲稿第十一页，共四十一页X(1/2)0 1p 1/2 1/2X(1)-1 2p 1/2 1/2（3）本讲稿第十二页，共四十一页 在实际应用中
7、在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维很难确定出随机过程的有限维分布函数族分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性过程的数字特征能反映其局部统计性质质.下面，讨论随机过程的数字特征下面，讨论随机过程的数字特征.本讲稿第十三页，共四十一页 定义定义 给定随机过程给定随机过程 ,有如下定义的数有如下定义的数字特征：字特征：均值函数均值函数方差函数方差函数均方差函数均方差函数自相关函数自相关函数自协方差函数自协方差函数由于各数字特征都可以由均值函数和自相关函数计算而得，所由于各数字特征都可以由均值函数和自相关函数计算而得，所以，我们重点讨论的是以，我们重点讨论的是均值函数和自相关函数均值函数和
8、自相关函数本讲稿第十四页，共四十一页 例例5 随机变量随机变量A 与与相互独立相互独立,AN(0,1),U(0,2).求过程的均值函数和相关函数求过程的均值函数和相关函数.解解，其中，其中是正常数是正常数,本讲稿第十五页，共四十一页解解例例6 6是相互独立的随机序列，且是相互独立的随机序列，且求随机过程求随机过程 的均值函数和自相关函数的均值函数和自相关函数本讲稿第十六页，共四十一页定义定义 设设 和和 是两个随机过程是两个随机过程,它们的互相关函数定义为它们的互相关函数定义为互协方差函数为互协方差函数为本讲稿第十七页，共四十一页例例7 已知已知实随机过程实随机过程X(t)具有自相关函数具有自
9、相关函数R(s,t),令令 Y(t)=X(t+a)X(t)求求RXY(s,t),解解RYY(s,t).本讲稿第十八页，共四十一页 2.3、复随机过程、复随机过程定义定义 设设 和和 是两个实随机过程，是两个实随机过程，为复随机过程为复随机过程.均值函数均值函数：自相关函数自相关函数：自协方差函数自协方差函数：称称本讲稿第十九页，共四十一页定义定义 设设 和和 是两个复随机过程是两个复随机过程,有如下定义：有如下定义：互协方差函数互协方差函数互相关函数互相关函数本讲稿第二十页，共四十一页2.4 几种重要的随机过程几种重要的随机过程平稳增量过程平稳增量过程X(t+h)X(s+h)与与X(t)X(s
10、)具有相同的分布，具有相同的分布，称随机过程称随机过程X(t)为平稳增量过程为平稳增量过程.若对任意若对任意s,t,h T,的分布仅与的分布仅与有关有关,与起始点与起始点t无关无关,也即也即X(t),t0 的增量具有平稳性。的增量具有平稳性。注：注：平稳增量过程是指增量平稳增量过程是指增量 定义定义 若若s,s,tT,称称为随机过程为随机过程X(t)的增量。的增量。X(t)X(s)sts+ht+h本讲稿第二十一页，共四十一页独立增量过程独立增量过程X(t2)X(t1)与与X(t4)X(t3)相互独立相互独立,t1t2t3t4t2若对任意若对任意t1t3 T,t4称随机过程称随机过程X(t)为独
11、立增量过程为独立增量过程注：注：独立增量即不重叠的区间上的增量相互独立。独立增量即不重叠的区间上的增量相互独立。本讲稿第二十二页，共四十一页正交增量过程正交增量过程t1t2t3t4E X(t2)X(t1)X(t4)X(t3)=0若若 为零均值二阶矩过程，且对任意的为零均值二阶矩过程，且对任意的 t1t2t3t4T,有有则称则称 为为正交增量过程正交增量过程,注注1 1：正交增量即不重叠的区间上的增量不相关。正交增量即不重叠的区间上的增量不相关。注注2：独立增量过程若是零均值、二阶矩过程，则也是正交独立增量过程若是零均值、二阶矩过程，则也是正交增量过程。增量过程。本讲稿第二十三页，共四十一页 例
12、例8 设设随机过程随机过程 为独立增量过程，为独立增量过程，解：解：设设astb（独立（独立 增量）增量）为已知，求自相关函数为已知，求自相关函数 注意：注意：独立增量过程计算协方差比计算相关函数简单！独立增量过程计算协方差比计算相关函数简单！注意到注意到 该该过程的二维数字特征由一维数字特征可确定过程的二维数字特征由一维数字特征可确定本讲稿第二十四页，共四十一页马尔可夫性或无后效性马尔可夫性或无后效性.即即:过程过程“将来将来”的情况与的情况与“过去过去”的情况是无关的的情况是无关的.具有马尔可夫性的随机过程称为具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程马尔可夫过程.定义定义1 1（描述性定义
13、）（描述性定义）：马尔科夫过程马尔科夫过程本讲稿第二十五页，共四十一页（用概率分布定义）：（用概率分布定义）：有有并称此过程并称此过程为为马尔可夫过程马尔可夫过程.定义定义2 2本讲稿第二十六页，共四十一页例例9证明：证明：为马尔科夫过程为马尔科夫过程 证明：证明：随机过程随机过程 为独立增量过程，且为独立增量过程，且（独立增量）（独立增量）（独立增量）（独立增量）（*）本讲稿第二十七页，共四十一页若随机过程若随机过程 为独立增量过程，且为独立增量过程，且所以所以 为马尔科夫过程为马尔科夫过程 注：注：由（由（*）试）试知知：则则该式给出了该式给出了 下的条件分布与增量下的条件分布与增量分布的
14、关系。分布的关系。本讲稿第二十八页，共四十一页 正态过程和维纳过程正态过程和维纳过程 定义定义 随机过程随机过程X(t),tT,如果它的如果它的任意有限维分任意有限维分布都是正态分布，称该过程为布都是正态分布，称该过程为正态过程，正态过程，或称或称高斯过高斯过程程.注注 正态过程的正态过程的n 维分布由其数字特征均值函数和维分布由其数字特征均值函数和协方差函数完全确定协方差函数完全确定.本讲稿第二十九页，共四十一页定义定义：若随机过程：若随机过程B(t),t0满足下列条件：满足下列条件：（1）B(0)=0;（2）具有平稳、独立增量具有平稳、独立增量;称称B(t),t0是参数为是参数为2的的维纳
15、过程维纳过程（或布朗运动）（或布朗运动）.维纳过程应用广泛：通信、生物、经济管理等维纳过程应用广泛：通信、生物、经济管理等.(3)增量增量B(t)B(s)N(0,2ts)2 2=1=1时，称为标准时，称为标准维纳过程维纳过程（或标准布朗运动）（或标准布朗运动）.本讲稿第三十页，共四十一页例例1010证明维纳过程证明维纳过程 是正态过程。是正态过程。解：解：而而 ：由维纳过程定义知：由维纳过程定义知：由正态分布的性质知：由正态分布的性质知：为为n n维正态分布维正态分布,所以维纳过程所以维纳过程 是高斯过程，是高斯过程，本讲稿第三十一页，共四十一页例例11 设设B(t),t0是参数为是参数为2的
16、维纳过程的维纳过程求均值函数和自相关函数。求均值函数和自相关函数。解：解：由维纳过程的定义知由维纳过程的定义知N(0,2t)B(t)若若（独立增量）（独立增量）本讲稿第三十二页，共四十一页例例1212是维纳过程是维纳过程,写出有限维写出有限维解：解：维纳过程是独立增量过程，且维纳过程是独立增量过程，且概率密度族。概率密度族。所以维纳过程也是马尔科夫过程。所以维纳过程也是马尔科夫过程。由于：由于：本讲稿第三十三页，共四十一页代入得：代入得：本讲稿第三十四页，共四十一页2.宽平稳过程宽平稳过程定义定义1 实际上，要确定一个随机过程的有限维分布并进而判定实际上，要确定一个随机过程的有限维分布并进而判
17、定其平稳性，一般很难做到其平稳性，一般很难做到.所以，我们有如下关于宽平稳性过程所以，我们有如下关于宽平稳性过程的定义。的定义。本讲稿第三十六页，共四十一页注注 若随机过程若随机过程 为严为严平稳随机过程平稳随机过程,且存在二阶矩，则：该过程必为宽平稳过程。且存在二阶矩，则：该过程必为宽平稳过程。注注：宽平稳过程的协方差函数：宽平稳过程的协方差函数我们以后只讨论宽平稳，若没有特别说明，平稳即指宽平稳。我们以后只讨论宽平稳，若没有特别说明，平稳即指宽平稳。前面例前面例3、例、例4、例、例5、例、例7、例、例9都不是平稳过程；都不是平稳过程；例例6是平稳过程。是平稳过程。本讲稿第三十七页，共四十一
18、页例例13所以所以 是宽平稳的随机序列是宽平稳的随机序列.分布，讨论序列的平稳性分布，讨论序列的平稳性.解：解：一般，称零均值同分布且不相关的随机序列一般，称零均值同分布且不相关的随机序列 为为离散白噪声序列离散白噪声序列.若若 服从正态分布，则称服从正态分布，则称 为为高斯白噪声系高斯白噪声系列列本讲稿第三十八页，共四十一页例例1414是参数为是参数为 的维纳过程的维纳过程,证明：证明：证明：证明：为平稳正态过程，且为平稳正态过程，且由正态分布的性质知：由正态分布的性质知：为为n n维正态分布维正态分布,所以所以 为正态过程。为正态过程。本讲稿第三十九页，共四十一页是宽平稳过程。是宽平稳过程。又因为正态分布的概率密度完全由均值和协方差决定，又因为正态分布的概率密度完全由均值和协方差决定，（独立增量）（独立增量）所以所以 是严平稳的正态过程是严平稳的正态过程本讲稿第四十页，共四十一页 例例15 设设W(t),t0是参数为是参数为2的维纳过程的维纳过程,求下列过程的均值函数和相关函数求下列过程的均值函数和相关函数.1)X(t)=W 2(t),t0；思考，自解思考，自解本讲稿第四十一页，共四十一页