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1、3.1.2 3.1.2 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算回回 顾顾aOb结论：结论：空间任意两个向量空间任意两个向量都可都可平移平移到同一个平面到同一个平面内，成为内，成为同一平面内的向量同一平面内的向量.因此凡是因此凡是涉及涉及空间任意两个向量的问题，平面向空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论量中有关结论仍适用仍适用于它们于它们.ba一、空间向量的数乘：一、空间向量的数乘：2、空间向量的数乘的性质、空间向量的数乘的性质（1）当）当时，时，与与同向同向（2）当）当时，时，与与反向反向1 1、定义：、定义：实数实数 与空间向量与空间向量 的乘积的乘积 仍然是一个向量，仍然是一个向量，称
2、为空间向量的数乘称为空间向量的数乘（3）当）当时，时，3、空间向量的数乘的运算律、空间向量的数乘的运算律（3）数乘结合律：）数乘结合律：（1）数乘分配律）数乘分配律1：（2）数乘分配律）数乘分配律2：1 1、定义：、定义：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，行或重合，则这些向量叫做则这些向量叫做共线向量共线向量二、空间中的共线向量二、空间中的共线向量 （或平行向量）（或平行向量）（3 3）非零共线向量的传递性：）非零共线向量的传递性：（1 1）零向量与任一向量共线，）零向量与任一向量共线，（4 4）空间共线向量定理：）空间共线向量定理：对空
3、间任意两个向量对空间任意两个向量有且只有一个实数有且只有一个实数 ，使使思考思考1 1：为什么要强调：为什么要强调思考思考2 2：这个定理有什么作用？：这个定理有什么作用？1 1、判定两个向量是否共线、判定两个向量是否共线2 2、判定三点是否共线、判定三点是否共线OAPa若若P P为为A,BA,B中点中点,则则推论推论:如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行已知非零向且平行已知非零向量量 的直线的直线,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在直线在直线 上的充上的充要条件是存在实数要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式 l其中向量其中向量 叫做直线叫做直线 的的方向向量方向向量.
4、必要性：若必要性：若 则则A、B、P三点共线。三点共线。B充分性：若充分性：若 在在 上上 A A、B B、P P三点共线三点共线结论结论1:1:三、共面向量三、共面向量:1.1.平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做叫做共面向量共面向量.注意：注意：空间任意两个向量是共面的空间任意两个向量是共面的，但空间，但空间任意三个向量任意三个向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac由由平面向量基本定理平面向量基本定理知，如果知，如果 ，是平面内的两个不共线的向量，是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数，有且只
5、有一对实数 、使使 如果空间向量如果空间向量 与两不共线向量与两不共线向量 ，共面，那么可共面，那么可将三个向量平移到同一平面将三个向量平移到同一平面 ，则有，则有 那么什么情况下三个向量共面呢？那么什么情况下三个向量共面呢？反过来，对空间任意两个不共线的向量反过来，对空间任意两个不共线的向量 ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 与向量与向量 ,有什么有什么位置关系？位置关系？C2.2.共面向量定理：共面向量定理：如果两个向量如果两个向量 ，不共线不共线，则向量则向量 与向量与向量 ，共面的充要共面的充要条件是条件是存在实数对存在实数对x,y使使推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面
6、ABCABC内的充要条件是存在内的充要条件是存在有序实数对有序实数对x,yx,y使使C对空间任一点对空间任一点O,O,有有填空：填空：1-x-yxyC C 式称为空间平面式称为空间平面ABCABC的向量表示式，空间中任意的向量表示式，空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定.由此可判断空间任意点共面由此可判断空间任意点共面共面向量定理的剖析共面向量定理的剖析 如果两个向量如果两个向量 a a，b b 不共线不共线,向量向量c c与向量与向量a a，b b共面共面存在唯一的一对实数存在唯一的一对实数x x，y y，使，使 c cx xa ay y
7、b b c cx xa ay yb b向量向量c c与向量与向量a a，b b共面共面(性质性质)(判定判定)P P、A A、B B、C C 四点共面四点共面结论结论2:2:解析：由共面向量定理知，要证明解析：由共面向量定理知，要证明P P、A A、B B、C C四点共面，只要四点共面，只要证明存在有序实数对（证明存在有序实数对（x,yx,y）使得）使得练习练习1 1、已知、已知A A、B B、C C三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面ABCABC外的外的任一点任一点O O，确定在下列各条件下，点，确定在下列各条件下，点P P是否与是否与A A、B B、C C一定共面？一定共面？例例2、如
8、图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD,从平从平面面AC外一点外一点O引向量引向量 ,.求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.例例2、已知、已知 ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG.证明：证明：四边形四边形ABCD为为（）（）代）代入入所以所以 E、F、G、H共面。共面。例例2(课本例课本例)已知已知 ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG。证明：证明：由面面平行判定定理的推论得：由面面平行判定定理的推论得：由由知知AMCGDB例例3 3、如图、如图,已知空间四边形已知空间四边形ABCDABCD中，中，向量向量若若M M为为BCBC的中点，的中点，G G为为BCDBCD的重心，试用的重心，试用 表示下列向表示下列向量：量：共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量与所在直线互相向量与所在直线互相平行或重合平行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.定理定理推论推论运用运用判断三点共线，或两判断三点共线，或两向量平行向量平行判断四点共面，或三向判断四点共面，或三向量共面量共面小结小结共面共面