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1、第1页/共95页第三章 矩阵力学基础力学量和算符本章目的：建立另外一套量子化的方案，即通过算符的对易关系进行正则量子化的方案研究量子力学中的算符的性质，特别是线性厄米算符讨论力学量的测量，特别是不确定性原理；以及力学量随时间的变化守恒律第2页/共95页3.1 力学量的平均值问题：何谓波函数完全地描述了一个量子态？力学量用算符表示的实质是什么？为什么力学量可用算符表示？第3页/共95页3.1 力学量的平均值坐标函数的平均值：第4页/共95页3.1 力学量的平均值第5页/共95页3.1 力学量的平均值第6页/共95页3.1 力学量的平均值第7页/共95页3.1 力学量的平均值第8页/共95页3.1
2、 力学量的平均值第9页/共95页3.1 力学量的平均值结论：平均值公式第10页/共95页3.2 算符的运算规则定义第11页/共95页3.2 算符的运算规则算符运算规则第12页/共95页3.2 算符的运算规则第13页/共95页3.2 算符的运算规则第14页/共95页3.2 算符的运算规则第15页/共95页3.2 算符的运算规则第16页/共95页3.2 算符的运算规则第17页/共95页3.2 算符的运算规则第18页/共95页3.2 算符的运算规则第19页/共95页3.2 算符的运算规则第20页/共95页3.2 算符的运算规则第21页/共95页3.2 算符的运算规则第22页/共95页3.2 算符的运
3、算规则第23页/共95页3.2 算符的运算规则第24页/共95页3.2 算符的运算规则算符的矩阵形式第25页/共95页二维矢量空间第26页/共95页3.2 算符的运算规则第27页/共95页3.2 算符的运算规则第28页/共95页3.2 算符的运算规则第29页/共95页3.2 算符的运算规则第30页/共95页3.2 算符的运算规则第31页/共95页3.2 算符的运算规则结论：体系的一个量子态希尔伯特空间中一个向量给定一组基矢，即给定一个表象，量子态波函数一个算符一个矩阵第32页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的引入第33页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数第34页/
4、共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数第35页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数第36页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数第37页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的性质厄米算符的平均值是实数(充分性)第38页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的平均值是实数(必要性)第39页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的平均值是实数(必要性)第40页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的本征值为实数第41页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数厄米算符属于不同本征值的本征函数正交第42页/共95页3.3
5、厄米算符的本征值和本征函数第43页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的简并本征函数经重新组合后可以正交归一第44页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数第45页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的本征函数有完备性第46页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的本征函数有封闭性第47页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数第48页/共95页3.3 厄米算符的本征值和本征函数结论厄米算符的本征函数系：正交、归一、完备、封闭厄米算符的本征值、平均值均为实数量子力学中的力学量对应线性厄米算符第49页/共95页3.4 连续谱本征函数线性厄米算
6、符的本征函数示例第50页/共95页3.4 连续谱本征函数第51页/共95页3.4 连续谱本征函数第52页/共95页3.4 连续谱本征函数连续谱本征函数归一化无穷空间：归delta函数，连续谱箱归一化：引入周期性边界条件，分立谱第53页/共95页3.4 连续谱本征函数周期性边界条件第54页/共95页3.4 连续谱本征函数第55页/共95页3.4 连续谱本征函数第56页/共95页3.4 连续谱本征函数第57页/共95页3.4 连续谱本征函数第58页/共95页3.4 连续谱本征函数第59页/共95页3.5 量子力学中力学量的测量值在F的本征态中测量F有准确值第60页/共95页3.5 量子力学中力学量
7、的测量值第61页/共95页3.5 量子力学中力学量的测量值在非F的本征态中测量F，有可能值及平均值第62页/共95页3.5 量子力学中力学量的测量值不同力学量同时有确定值的条件若F,G=0 必有共同本征函数系充要条件有简并时可重新组合第63页/共95页3.5 量子力学中力学量的测量值注意：如果F和G不对易，必无共同本征函数系，但不排除在某些特殊态中测量时有确定值，例如Lx和Ly不对易，但在 中测量Lx,Ly均得到零第64页/共95页3.5 量子力学中力学量的测量值完全集如px,py,pz,H,L2,Lz等等简并来自不完全测量第65页/共95页3.6 不确定性原理问题：若算符A,B不对易，在A本
8、征态中测A有确定值，测B如何?在非A，非B的本征态中测A及B，结果如何?第66页/共95页3.6 不确定性原理第67页/共95页3.6 不确定性原理第68页/共95页3.6 不确定性原理第69页/共95页3.6 不确定性原理第70页/共95页3.6 不确定性原理讨论：不确定性原理是波粒二象性的反映，与是否测量无关单缝衍射实验零点能第71页/共95页3.6 不确定性原理第72页/共95页3.6 不确定性原理第73页/共95页3.6 不确定性原理第74页/共95页3.6 不确定性原理角动量算符第75页/共95页3.6 不确定性原理互补原理及其哲学探讨第76页/共95页3.7 力学量随时间的变化、守
9、恒量和运动积分算符的运动方程式第77页/共95页3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分第78页/共95页3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分第79页/共95页3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分第80页/共95页3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分若F不显含t，且F,H0，则F守恒守恒量在任何态下的平均值与t无关在任何态下，测F可能值，出现各种可能值的几率分布与t无关若t0时，F有确定值tt时也有确定值 若t0时，F无确定值tt时也无确定值守恒量对应好量子数若F与G不对易，且F、G均为守恒量能级简并第81页/共95页3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分宇称
10、算符P直角坐标 x-x,y-y,z-z球坐标 r不变,-,-宇称算符既是厄米的，又是么正的第82页/共95页3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分宇称算符P本征值为+1或-1若体系的哈密顿量H在空间反演下不变，则宇称算符P与H对易：P，H0宇称守恒：若初态有确定宇称，则以后任何时刻，体系的状态均有相同宇称第83页/共95页3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分宇称算符P 第84页/共95页3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分宇称算符P偶宇称算符奇宇称算符第85页/共95页3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分宇称算符P 选择定则：偶宇称算符的矩阵元只在初、末态具有相同宇称时才不为零 奇宇称算符的矩阵元只在初、末态具有相反宇称时才不为零第86页/共95页本章小节第87页/共95页本章小节第88页/共95页本章小节第89页/共95页本章小节第90页/共95页本章小节第91页/共95页本章小节第92页/共95页本章小节第93页/共95页第94页/共95页感谢您的观看！第95页/共95页