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1、2.单侧连续定定理理第1页/共21页二.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.第2页/共21页定理定理3-13-1例如,三.连续函数的运算（1）连续函数的和差积商的连续性第3页/共21页(2)复合函数:设y=f(u),u U，u=u(x),x X,其值域为u(X)=uu=u(x),x X U，则称函数y=fu(x)为x的复合函数。u为内函数，f为外函数定理1-6 若内函数u(x)在x0连续,外函数f(u)在u0=u(x0)连续，则复合函数y=fu(x)在x0连续
2、第4页/共21页定理定理 严格单调的连续函数必有严格单调的连续严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数反函数.例如,（3）.反函数的连续性第5页/共21页定理定理 基本初等函数在定义基本初等函数在定义域域内是连续的内是连续的.定理定理 一切初等函数在其一切初等函数在其定义定义区间区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.例如,四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性第6页/共21页 六.闭区间上连续函数的性质例如,第7页/共21页定理定理1-7 最大值和最小值定理最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值在闭区间上连续的函
3、数一定有最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.第8页/共21页定定理理(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.证证第9页/共21页定义定义:证明在第二篇第10页/共21页几何解释:第11页/共21页几何解释:MBCAmab证证由零点定理,推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 M M与最小值与最小值m m之间的任何值之间的任何值.第12页/共21页例例1.证明方证明方程程一个根.证证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明说明
4、:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有则则第13页/共21页上连续,且恒为正,例例2.设设在对任意的必存在一点证证:使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明:第14页/共21页由零点定理，至少存在一点第15页/共21页例4 4（均值定理）证：因此有再由介值定理的推论可知，至少有一点第16页/共21页例例5 5（不动点定理）（不动点定理）证证由零点定理,第17页/共21页例例5 5例例6 6解解解解 初等函数求极限的方法（代入法）.第18页/共21页例例7原式原式=由此可见，极限符号和绝对值符号是可以交换的。证明常用等价无穷小例8第19页/共21页第20页/共21页感谢您的观看！第21页/共21页