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1、自动控制原理第二章控制系统的数学模型1第1页，共46页，编辑于2022年，星期二上图中，上图中，两者都具有关系两者都具有关系:。支路对节点。支路对节点 来说来说是输出支路，对输出节点是输出支路，对输出节点y来说是输入支路。来说是输入支路。节点：节点表示变量。以小圆圈表示。节点：节点表示变量。以小圆圈表示。支路：连接节点之间的有向线段。支路上箭头方向表示信号传支路：连接节点之间的有向线段。支路上箭头方向表示信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。信号流图的概念信号流图的概念2第2页，共46页，编辑于2022年，星期二信号流图的术语
2、信号流图的术语几个术语：输出节点输出节点(阱点阱点)：只有输入支路的节点。：只有输入支路的节点。如：如：C 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如：混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如：E，P，Q。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点。它上面的信号是所混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。有输入支路引进信号的叠加。通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和终点都在节点通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点和终点不是同一节点称为上。若通路与任一节点相交
3、不多于一次，且起点和终点不是同一节点称为开开通路通路。起点在源点，终点在阱点的开通路叫。起点在源点，终点在阱点的开通路叫前向通路前向通路。输入节点输入节点(源点源点)：只有输出支路的节点。：只有输出支路的节点。如：如：R，N。3第3页，共46页，编辑于2022年，星期二 回路回路(闭通路闭通路)：通路与任一节点：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终点为相交不多于一次，但起点和终点为同一节点的通路称为回路。同一节点的通路称为回路。互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路。回路。信号流图的术语信号流图的术语 通路传
4、输通路传输(增益增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益。：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。回路传输回路传输(增益增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。4第4页，共46页，编辑于2022年，星期二信号流图的性质节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而个节点标志的变量是所有流向该节点的
5、信号之代数和，而从同一节点流向个支路的信号均用该节点的变量表示。从同一节点流向个支路的信号均用该节点的变量表示。支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。变换为另一信号。信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。系。对于给定的系统对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的图不是唯一的信号流图的性质7第7页，共46页，编辑于2022年，星期二信号流图的绘制信号流图的绘制信号流图的绘制：根据结构图根据结
6、构图例例1 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图如下图所示。号流图如下图所示。8第8页，共46页，编辑于2022年，星期二信号流图的绘制信号流图的绘制 按按微微分分方方程程拉拉氏氏变变换换后后的的代代数数方方程程所所表表示示的的变变量量间间数数学学关关系系绘制。如前例所对应的代数方程为绘制。如前例所对应的代数方程为按方程可绘制信号流图按方程可绘制信号流图9第9页，共46页，编辑于2022年，星期二系统方块图系统方块图 解：解：用小圆圈表示各变量对应用小圆圈表示各变量对应的节点的节点在比较点之后的引出点在比
7、较点之后的引出点 只需在比较点后设置只需在比较点后设置一个节点一个节点便便可。也即可以与它前面的比较可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。点共用一个节点。在比较点之前的引出点在比较点之前的引出点B B，需设，需设置置两个节点两个节点，分别表示引出点和，分别表示引出点和比较点，注意图中的比较点，注意图中的 画出如所示系统方块图的信号流程图。画出如所示系统方块图的信号流程图。例例1 110第10页，共46页，编辑于2022年，星期二梅逊公式梅逊公式 用用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）输出节点
8、之间的总传输。（即总传递函数）其表达式为：其表达式为：式中：式中：总传输（即总传递函数）；总传输（即总传递函数）；从输入节点到输出节点的前向通道总数；从输入节点到输出节点的前向通道总数；第第k个前向通道的总传输；个前向通道的总传输；流图特征式；其计算公式为：流图特征式；其计算公式为：二、二、梅逊公式梅逊公式11第11页，共46页，编辑于2022年，星期二（正负号间隔）（正负号间隔）式中：式中：流图中所有不同回路的回路传输之和；流图中所有不同回路的回路传输之和；所有互不接触回路中，每次取其中两个回所有互不接触回路中，每次取其中两个回 路传输乘积之和；路传输乘积之和；所有互不接触回路中，每次取其中
9、三个所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和回路传输乘积之和；第第k个前向通道的个前向通道的特征式的余子式；其值为特征式的余子式；其值为 中除去与中除去与第第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；个前向通道接触的回路后的剩余部分；梅逊公式梅逊公式12第12页，共46页，编辑于2022年，星期二梅逊公式梅逊公式|例例3解解：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：例例3：绘出两级串联：绘出两级串联RC电路的信号流图并用电路的信号流图并用Mason公式计算总传公式计算总传递函数。递函数。-14第14页，共46页，编辑于20
10、22年，星期二图中，有一个前向通道；图中，有一个前向通道；有三个回路；有三个回路；有两个互不接触回路；有两个互不接触回路；（因为三个回路都与前向通道接触。）（因为三个回路都与前向通道接触。）总传输为：梅逊公式梅逊公式|例例315第15页，共46页，编辑于2022年，星期二梅逊公式梅逊公式|例例3讨论：讨论：信号流图中，信号流图中，a点和点和b点之间的传输为点之间的传输为1，是否可以将该两点，是否可以将该两点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，总传合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，总传输将不一样。输将不一样。不能合并不能合并。因为。因为a、b两点的信号值不一
11、样。两点的信号值不一样。上图中，上图中，u i和和ue，I1和和I，a和和b可以合并。为什么？可以合并。为什么？16第16页，共46页，编辑于2022年，星期二求如图所示信号流图的总增益例417第17页，共46页，编辑于2022年，星期二(d)2x3x32231aaL=(e)2x4x4234232aaaL=4x443aL=(f)2x5x524534234aaaaL=5x(g)2x3x5235235aaaL=互互不不接接触触44322312aaaL=互互不不接接触触4452352325aaaaL=18第18页，共46页，编辑于2022年，星期二梅逊公式梅逊公式|例例5例例5：使用：使用Mason
12、公式计算下述结构图的传递函数公式计算下述结构图的传递函数解解：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：+-19第19页，共46页，编辑于2022年，星期二回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：梅逊公式梅逊公式|例例5求 ：前向通道有二，分别为:20第20页，共46页，编辑于2022年，星期二梅逊公式梅逊公式|例例5求 ：（蓝线表示）（蓝线表示）不变。不变。（红线表示）（红线表示）注意：注意：上面讲上面讲 不变，为什么？不变，为什么？是流图特征式，也就是传递函是流图特征式，也就是传递函数的特征表达式。对于一个给定的系统，特征表达式总
13、是不变数的特征表达式。对于一个给定的系统，特征表达式总是不变的，可以试着求一下。的，可以试着求一下。21第21页，共46页，编辑于2022年，星期二例例6 求如图所示系统的传递函数求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)1R111-12G1G3G1-1CK-1-1不接触回路不接触回路：L1L2，L2L3，L1L3，L4L3，L1L2L322第22页，共46页，编辑于2022年，星期二1R111-12G1G3G1-1CK-1-123第23页，共46页，编辑于2022年，星期二24第24页，共46页，编辑于2022年，星期二例例7:求如图所示系统的传递函数求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s
14、)解：有解：有2 2个前向通路个前向通路有有5 5个单独回路个单独回路25第25页，共46页，编辑于2022年，星期二26第26页，共46页，编辑于2022年，星期二利用利用Mason Mason 求如图所示系统的闭环传递函数。求如图所示系统的闭环传递函数。解：某系统的信号流图 例例8 8542154612=GGGGP6前向通路有前向通路有3个个 27第27页，共46页，编辑于2022年，星期二4 4个单独回路个单独回路互不接触互不接触28第28页，共46页，编辑于2022年，星期二从原理图画系统方块图的方法从原理图画系统方块图的方法方块图的简化方块图的简化基本连接方式串联、并联和反馈的简化基
15、本连接方式串联、并联和反馈的简化比较点、分支点的移动比较点、分支点的移动信号流图及信号流图及Mason总结总结29第29页，共46页，编辑于2022年，星期二2.3.5 闭环控制系统的传递函数闭环控制系统的传递函数30第30页，共46页，编辑于2022年，星期二31第31页，共46页，编辑于2022年，星期二补充 脉冲响应函数32第32页，共46页，编辑于2022年，星期二 理想单位脉冲函数：定义：，且 ，其积分面积为1。出现在 时刻，积分面积为A的理想脉冲函数定义如下：且 脉冲响应函数表示零初始条件时，线性系统对理想单位脉冲输入信号的响应。它也是线性系统的数学模型。实际单位脉冲函数：和当 时
16、，脉冲函数33第33页，共46页，编辑于2022年，星期二 以下讨论线性控制系统在单位脉冲 作用下的输出响应g(t)，称为脉冲响应函数。从上式可以看出，g(t)是系统的脉冲响应函数，它等于系统传递函数的拉氏反变换。g(t)与G(s)有一一对应的关系。g(t)也是线性控制系统的数学模型。故：例2-16：设系统的脉冲响应函数是 ，求G(s)。解：脉冲响应函数34第34页，共46页，编辑于2022年，星期二 我们还可以不证明地表示出：利用脉冲响应函数，可以求出在任何输入x(t)下的输出y(t)。或式中，g(t)是脉冲响应函数，上述两式称为卷积。表示为：用脉冲响应函数表示输出 回忆拉氏变换的卷积定理，
17、有Ly(t)=Lx(t)*g(t)，所以：Y(s)=X(s)G(s)35第35页，共46页，编辑于2022年，星期二则输出：单位阶跃响应函数：单位阶跃响应函数：单位阶跃响应函数也是线性控制系统的一种数学模型。它是在单位阶跃函数1(t)的作用下的输出响应h(t).单位阶跃响应函数36第36页，共46页，编辑于2022年，星期二 脉冲响应函数和单位阶跃响应函数之间的关系：根据积分定理：当零初值时，有37第37页，共46页，编辑于2022年，星期二小结 脉冲响应函数；脉冲响应函数与传递函数之间的关系；单位阶跃函数；脉冲响应函数和单位阶跃函数之间的关系。38第38页，共46页，编辑于2022年，星期二
18、练习练习1：求：求G1G2REXY用Mason公式39第39页，共46页，编辑于2022年，星期二把混合节点前的输入信号断开，使混合节点成为输入把混合节点前的输入信号断开，使混合节点成为输入节点，才可以使用节点，才可以使用Mason公式。公式。M3的传递函数也可按改造后的信号流图(如下)，用Mason公式。但计算但计算M3时，不能直接利用时，不能直接利用Mason公式。公式。40第40页，共46页，编辑于2022年，星期二已知系统的结构如图已知系统的结构如图,求传递函数求传递函数 解：练习练习241第41页，共46页，编辑于2022年，星期二练习练习3：求传递函数求传递函数42第42页，共46页，编辑于2022年，星期二练习443第43页，共46页，编辑于2022年，星期二练习544第44页，共46页，编辑于2022年，星期二45第45页，共46页，编辑于2022年，星期二前向通路：回路：不接触回路：(46第46页，共46页，编辑于2022年，星期二