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1、定义定义:称为空间的曲面。()其中：曲面 S 叫做方程 两个基本问题 :(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,()求其曲面方程；(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状。(必要时需作图)机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然，空间曲面与其方程有下述关系：集合叫做曲面 S 的方程；的图形。即等价于：第1页/共37页故所求曲面的方程为：1.1.球球 面面方程 特别,当 M0 在原点时，球面方程为：为一定点，即依题意表示上(下)球面。机动 目录 上页 下页 返回 结束 一动点到一定点的距离等于定长的几何图形称为球面。设 为球面上任一动点，第2页/共37页例例2.研究方研究方程程解:配方得此方程表示:
2、说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形。其图形可能是：所表示的曲面。半径为的球面.球心为 一个球面,或点,或虚轨迹.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共37页2.柱柱 面面引例.分析方程表示怎样的曲面？的坐标也满足方程：解:在 xoy 面上，表示圆C,沿曲线 C 平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面，故在三维空间里，方程过此点作对任意 z，点平行 z 轴的直线 l,所表示的曲面为圆柱面。在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程，机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共37页定义定义：直线 l 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴，准线为xoy
3、 面上的抛物线；z 轴，准线位于xoy坐标面的椭圆柱面；z 轴，准线位于 xoy 坐标面的平面。表示母线平行于(且 z 轴在平面上)表示母线平行于其中，C 叫做该柱面的准线，机动 目录 上页 下页 返回 结束 沿定曲线 C 平行 移动所形成的轨迹叫做柱面。l 叫做该柱面的母线。第5页/共37页一般地，一般地，也表示一个柱面,也表示一个柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴。母线平行于 z 轴;准线为 zox 面上的曲线母线：表示一柱面,准线为 xoy 面上的曲线 方程：准线为 yoz 面上的曲线母线：机动 目录 上页 下页 返回 结束 在三维空间中，两个变量的方程所表示的空间图形为柱面，其中：母
4、线平行准线位于此两变量所决定的坐标面内，于另一个（缺省）变量的坐标轴。例 如：方程：方程：第6页/共37页定义 2.平面内的一曲线3.3.旋转曲旋转曲面面 （一周）所形成的空间几何图形（曲面）叫做旋转曲面.其中，该定直线l 称为旋转轴；曲线 C 称为母线。例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 C旋转绕该平面内的一定直线 l第7页/共37页建立建立 yoz 面上面上曲线曲线故所求旋转曲面方程为：当曲线 C则设 yoz 面上曲线因此，有设该点 M 必位于曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕轴旋转一周所形成的曲面的方程。的方程为：绕轴旋转一周所在的圆周上，绕 z 轴旋转时,C 上的一点第8
5、页/共37页思考：思考：机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕轴旋转时，其图形的方程又如何？当 yoz 平面的曲线第9页/共37页例例 3.的曲面（圆锥面）方程。解:绕 z 轴旋转时，圆锥面的方程为：两边平方机动 目录 上页 下页 返回 结束 试建立顶点在原点，旋转轴为轴，半顶角为在yoz 面上直线 L 的方程为：令第10页/共37页例例 4.分别绕 x 轴和 z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程。解:绕这两种曲面都叫做旋转双曲面。绕 x 轴旋转所成曲面方程为：旋转所形成曲面方程为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 求坐标面 xoz 上的双曲线第11页/共37页6.4.2 空间曲空间曲线线空间曲
6、线可视为两曲面的交线,其一般式方程为方程组：例如,方程组表示圆柱面与平面的交线机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.空间曲线的一般式第12页/共37页又如又如,表示半径为机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程组与的交线半径为的上半球面圆柱面第13页/共37页2.2.空间曲线的参数方程与矢量式空间曲线的参数方程与矢量式方程方程将曲线上的动点坐标 x,y,z 表示成参数 t 的函数:称它为空间曲线的参数方程；例如,圆柱螺旋线的参数方程为：上升高度 称为螺距。机动 目录 上页 下页 返回 结束 称它为空间曲线的矢量式方程。第14页/共37页例例1.将下列曲线化为参数方程表将下列曲线化为参数方程表
7、示示:解:(1)根据第一方程引入参数 t,(2)将第二方程变形为故所求为:得所求为:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共37页例例 2.求空间曲线求空间曲线 :绕 z 轴旋转一周时所得旋转曲面方程。解:点 M0 绕 z 轴旋转,转过角度 后到点为 由于点机动 目录 上页 下页 返回 结束 这就是旋转曲面满足的参数方程。故有所在的圆的半径第16页/共37页例如例如,直线直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为:消去 t 和 ,得旋转曲面（直角坐标下）方程为:机动 目录 上页 下页 返回 结束 即第17页/共37页绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为:又如又如,zox 面上的半面上的
8、半圆周圆周说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共37页3.3.投影曲线投影曲线设空间曲线 的一般方程为：消去 z 得投影柱面则 在xoy 面上的投影曲线 C为：消去 x 得 在yoz 面上的投影曲线方程：消去y 得 在zox 面上的投影曲线方程：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共37页例如例如,求曲线求曲线在xoy 面上的投影曲线方程？机动 目录 上页 下页 返回 结束 先求其投影柱面方程解：其投影曲线方程为：（消去变量 z 得）第20页/共37页又如又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xoy 面上的投
9、影曲线:二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共37页6.4.3 二次曲二次曲面面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见 标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕（面）法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为 0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共37页1 1.椭球面椭球面(1)范围：(2)分别与坐标面xoy,yoz,zox 的交线：椭圆机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中：a,b,c 均大于0称为椭球的半轴。-aac-
10、cb-b第23页/共37页与的交线为椭圆：(4)当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)截痕：截痕：第24页/共37页2.双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为：(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线:(a,b,c 均大于0)第25页/共37页虚轴平行于x 轴）时,截痕为：时,截痕为：(实轴平行于z 轴;机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线:双曲线:第26页/共37页(2)双叶双曲面双叶双曲面：双曲线：椭圆注意：单叶双曲面与双叶双曲面的区
11、别:：双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束(其中 a,b,c 均大于0)第27页/共37页3.抛物抛物面面(1)椭圆抛物面(2)双曲抛物面（鞍形面或马鞍面）特别,当 a=b 时为绕 z 轴的旋转抛物面.机动 目录 上页 下页 返回 结束（a,b均为正数）（a,b均为正数）第28页/共37页4.椭圆锥面椭圆锥面为椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.一般地，给定平面上的曲线 C 及 外一点V，所有过点V机动 目录 上页 下页 返回 结束 与C 相交的直线构成的曲面称为以V为顶点，以C为准线的锥面；称每条过点V 与C 相交的直线为该锥面的母线。第29页/共
12、37页内容小结内容小结1.空间曲面三元方程 球面:旋转曲面:如,曲线绕 z 轴的旋转曲面:柱面:如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.机动 目录 上页 下页 返回 结束.一般式：.参数式：第30页/共37页2.二次曲面二次曲面三元二次方程 椭球面:抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共37页3.3.空间曲线空间曲线.空间曲线的一般式：.空间曲线的参数式：.空间曲线的矢（向）量式：4.投影曲线 C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共37页感谢您的欣赏！第37页/共37页