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1、线性二次型指标的最优控制第1页，共45页，编辑于2022年，星期一 8.3 线性定常系统的状态调节器问题线性定常系统的状态调节器问题问题引入问题引入1举例说明举例说明3定理内容及说明定理内容及说明2第2页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University 对于上一节所讨论的状态调节器，即使系统的状态方程和性能指对于上一节所讨论的状态调节器，即使系统的状态方程和性能指标是定常的，即矩阵标是定常的，即矩阵A,B,Q,R均为常数矩阵时，其系统总是时变和均为常数矩阵时，其系统总是时变和系统最优反馈增益是时变的，这是由于黎卡提方程的解系统最优反馈增益是时变的，这是由于黎卡提方程的解
2、K(t)是时是时变的缘故。变的缘故。第3页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University 由例由例8-1的的结结果，从果，从结结果果图图中受到启中受到启发发，当，当终终端端时间时间tf趋趋于无于无穷时穷时，K(t)将将趋趋于某常数，即于某常数，即K(t)可可视为视为恒恒值值。tf=10时时黎卡提矩黎卡提矩阵阵微分方程的解微分方程的解K(t)第4页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University K(t)将将趋趋于某常数，即于某常数，即K(t)可可视为视为恒恒值值，从而得到所，从而得到所谓谓无限无限时时间间(tf=)状状态调节态调节器器或或稳态稳
3、态状状态调节态调节器器。tf=1000时时黎卡提矩黎卡提矩阵阵微分方程的解微分方程的解K(t)第5页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University 对对于无限于无限时间时间状状态调节态调节器，通常在性能指器，通常在性能指标标中不考中不考虑终虑终端指端指标标，取取权阵权阵P=0，其原因有：一是希望，其原因有：一是希望tf，x(tf)=0,即要求即要求稳态误稳态误差差为为零，因而在性能指零，因而在性能指标标中不必加入体中不必加入体现终现终端指端指标标的的终值项终值项；二是工程上二是工程上仅仅参考系参考系统统在有限在有限时间时间内的响内的响应应，因而，因而tf时时的的终终端
4、指端指标标将失去工程意将失去工程意义义。第6页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University性能指标为：性能指标为：式中，式中，Q，R均均为为常数常数对对称正定称正定阵阵，u无无约约束。由于束。由于P=0，所以，所以K(tf)=K()=P=0。从。从t=开始逆开始逆时间积时间积分黎卡提矩分黎卡提矩阵阵微分方程，微分方程，当当K(t)的解存在且唯一的解存在且唯一时时，经过经过一段一段时间时间，K(t)将达到将达到稳态值稳态值，因此可因此可认为认为在在t=0开始很开始很长长一段一段时间时间内，内，K(t)是黎卡提微分方是黎卡提微分方程的程的稳态稳态解，即有解，即有 在在稳
5、态时稳态时，从而可将，从而可将黎卡提矩黎卡提矩阵阵微分方程化微分方程化为为黎卡提代数方程，解出的黎卡提代数方程，解出的K阵为阵为常常值值矩矩阵阵。第7页，共45页，编辑于2022年，星期一和二次型性能指标为和二次型性能指标为Beihang University可控的或至少是可稳的线性定常系统的状态方程为可控的或至少是可稳的线性定常系统的状态方程为式中，式中，u不受限制，不受限制，Q和和R为为常数常数对对称正定称正定阵阵，则则使使J为为极小的极小的最最优优控制存在，且唯一，并可表示控制存在，且唯一，并可表示为为式中，式中，K为为正定常数矩正定常数矩阵阵，满满足下列的黎卡提矩足下列的黎卡提矩阵阵代
6、数方程代数方程在最优控制下，最优轨线是下面线性定常齐次微分方程的解，即在最优控制下，最优轨线是下面线性定常齐次微分方程的解，即所对应的性能指标的最小值为所对应的性能指标的最小值为第8页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University对于以上结论，作如下几点说明：对于以上结论，作如下几点说明：1.适用于适用于线线性定常系性定常系统统，且要求系，且要求系统统可控或至少可可控或至少可稳稳；而在；而在有限有限时间时间状状态调节态调节器中器中则则不不强强调这调这一点。因一点。因为为在无限在无限时间调时间调节节器中，控制区器中，控制区间扩间扩大大为为无无穷穷，为为了保了保证积证积分
7、分值值有限，有限，x(t)和和u(t)要收要收敛敛到零，也就是受控系到零，也就是受控系统统的状的状态变态变量必量必须须是是渐进稳渐进稳定的。定的。如果系如果系统统可控，可控，则则通通过过状状态态反反馈馈可任意配置可任意配置闭环闭环系系统统极极点，使系点，使系统渐进稳统渐进稳定。定。可控的条件可减弱可控的条件可减弱为为可可稳稳，即只要不，即只要不稳稳定的极点所定的极点所对对应应的模的模态态可控，通可控，通过过反反馈馈将它将它变为稳变为稳定即可。定即可。对对有限有限时间调节时间调节器来器来讲讲，因，因为积为积分上限分上限tf为为有限有限值值，即使系，即使系统统不可控，状不可控，状态变态变量不量不稳
8、稳定，定，积积分指分指标标仍可仍可为为有限有限值值，故仍旧，故仍旧有最有最优优解。解。第9页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University对于以上结论，作如下几点说明：对于以上结论，作如下几点说明：2.闭环闭环系系统统是是渐进稳渐进稳定的，即系定的，即系统统矩矩阵阵 的特征的特征值值均具有均具有负实负实部，而不部，而不论论原系原系统统A的特征的特征值值如何。如何。证证明：明：设设李雅普李雅普诺诺夫函数夫函数为为 因因K正定，故正定，故V(x)是正定的。是正定的。与黎卡提代数方程与黎卡提代数方程 比比较较得得由于由于Q，R均均为为正定矩正定矩阵阵，故，故 负负定，定，结
9、论结论得得证证。第10页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University对于以上结论，作如下几点说明：对于以上结论，作如下几点说明：1.适用于线性定常系统，且要求系统可控或至少可稳；而在有限时间第11页，共45页，编辑于2022年，星期一故当故当tf时时，性能指，性能指标标的最的最优值优值 将将趋趋于于无无穷穷大，即大，即 这这与性能指与性能指标标的最的最优值优值 为为有限有限值值相矛盾，所以上述系相矛盾，所以上述系统统是是渐进稳渐进稳定的。定的。闭环最优调节系统闭环最优调节系统是渐进稳定的。是渐进稳定的。证明：利用反证法来证明。证明：利用反证法来证明。假设系统上述不是
10、渐进稳定的，则假设系统上述不是渐进稳定的，则 必具必具有非负实部的特征根。于是，当有非负实部的特征根。于是，当tf时，状态变量时，状态变量X(t)不会不会趋于零，即趋于零，即 。Beihang University第12页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University对于以上结论，作如下几点说明：对于以上结论，作如下几点说明：3.Q为为正定正定这这个条件是保个条件是保证证最最优优反反馈馈系系统稳统稳定而提出的。性能定而提出的。性能指指标标J取有限取有限值值，还还不能保不能保证证系系统稳统稳定。例如，只要不定。例如，只要不稳稳定的定的状状态变态变量在性能指量在性能指标标
11、中不出中不出现现，那么，那么Q为为半正定半正定时时就可能出就可能出现这现这种情况，所以种情况，所以Q必必须须正定。正定。Q为为nn半正定常数矩半正定常数矩阵阵，且，且 为为能能观测观测矩矩阵阵。第13页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University综综上，状上，状态调节态调节器的器的设计设计步步骤骤如下：如下：1.根据系根据系统统要求和工程要求和工程实际经验实际经验，选选定加定加权权矩矩阵阵Q和和R；2.由由A,B,Q,R按按 求解黎卡提矩求解黎卡提矩阵阵代代数方程，求得矩数方程，求得矩阵阵K；3.由式由式 求最求最优优控制控制u(t);4.解式解式 求相求相应应的最
12、的最优轨优轨迹迹x(t);5.按式按式 计计算性能指算性能指标标最最优值优值。第14页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University例例1 设设系系统统的状的状态态方程方程为为性能指标为性能指标为试确定最优控制，使试确定最优控制，使J最小。设最小。设a b2 0，保，保证证Q为为正正定。定。第15页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University例例1解解 各矩阵分别为各矩阵分别为验证系统稳定性：验证系统稳定性：系统状态完全能控，且系统状态完全能控，且Q及及R为正定对称矩阵，故为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一。最优控制存在且唯一。第16页，
13、共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University例例1设设 。由式由式 得最优控制为得最优控制为矩阵矩阵K K满足黎卡提代数方程满足黎卡提代数方程第17页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University例例1即即展开整理，可得展开整理，可得3个代数方程个代数方程为为第18页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University例例1解之解之在保在保证证Q和和K为为正定矩正定矩阵阵条件下，条件下，则则有有最优控制为最优控制为第19页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University例例1最优状态调节器闭环系统结
14、构图如图所示最优状态调节器闭环系统结构图如图所示第20页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University例例1闭环系统的传递函数为闭环系统的传递函数为闭环极点为闭环极点为故闭环系统是稳定的。故闭环系统是稳定的。a2时时系系统统响响应为应为衰减振衰减振荡荡；a2时时系系统统不不发发生振生振荡荡，呈呈过过程阻尼响程阻尼响应应。第21页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University例例2 调节调节火箭的火箭的滚动滚动姿姿态时态时，用液，用液态态副翼使副翼使滚动滚动姿姿态态角角尽可能尽可能小，同小，同时时使副翼偏使副翼偏转转角角及偏及偏转转率率 保持在
15、物理限度内。系保持在物理限度内。系统统状状态态方程方程为为其中，其中，是是滚动时间滚动时间常数；常数；是是滚动滚动角速度；角速度；是副翼是副翼执执行行机构的指令信号；机构的指令信号；C是副翼效率。使性能指是副翼效率。使性能指标标 取极小，其中取极小，其中 均均为为它它们们的最大要求的最大要求值值。求最。求最优优反反馈馈控制控制u(t)。第22页，共45页，编辑于2022年，星期一满满足黎卡提方程，且足黎卡提方程，且K0。由于。由于对对称性，独立的称性，独立的6个代数方程个代数方程组经过组经过消元并消元并选选取取 ，有解，有解Beihang University例例2解解 由题知由题知其中其中第
16、23页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University例例2其中，其中，满足四次方程满足四次方程第24页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University例例2若设若设则四次方程为则四次方程为其两正实根是其两正实根是 及及 ，且后者破坏，且后者破坏K0，故取，故取 。从而反馈控制。从而反馈控制第25页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University例例2第26页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University例例2第27页，共45页，编辑于2022年，星期一28 8.3 线性定常系统的状态调节器问题线
17、性定常系统的状态调节器问题参考书目：参考书目：巨永巨永锋锋，李登峰，李登峰，最最优优控制控制，重，重庆庆大学出版社，大学出版社，2005.李国勇等，李国勇等，最最优优控制理控制理论论与与应应用用，国防工，国防工业业出版社，出版社，2008.李国勇等，李国勇等，最最优优控制理控制理论论及参数及参数优优化化，国防工，国防工业业出出 版社，版社，2006.王朝珠，秦化淑，王朝珠，秦化淑，最最优优控制理控制理论论，科学出版社，科学出版社，2003.程兆林，程兆林，马树马树萍，萍，线线性系性系统统理理论论，科学出版社，科学出版社，2006.史忠科，史忠科，线线性系性系统统理理论论，科学出版社，科学出版社
18、，2008.第28页，共45页，编辑于2022年，星期一29 8.3 线性定常系统的状态调节器问题线性定常系统的状态调节器问题谢谢！谢谢！第29页，共45页，编辑于2022年，星期一30 8.3 线性定常系统的状态调节器问题线性定常系统的状态调节器问题王朝珠，秦化淑，王朝珠，秦化淑，最最优优控控制理制理论论，科学出版社，科学出版社，2003.第30页，共45页，编辑于2022年，星期一31 8.4 输出调节器问题输出调节器问题线性时变系统输出调节器问题线性时变系统输出调节器问题1举例举例3线性时不变系统输出调节器问题线性时不变系统输出调节器问题2第31页，共45页，编辑于2022年，星期一Be
19、ihang University 设完全可观测的线性时变系统的状态方程和输出方程如下设完全可观测的线性时变系统的状态方程和输出方程如下 以及性能指标以及性能指标 要求确其中，要求确其中，P P 和和Q(t)是半正定矩阵，是半正定矩阵，R(t)R(t)是正定矩阵，是正定矩阵，tf是有是有限的终端时刻，控制函数限的终端时刻，控制函数u(t)不受约束。确定最优调节作用不受约束。确定最优调节作用u*(t),使性能指标达到最小值。这类最优控制问题，称为输出调节使性能指标达到最小值。这类最优控制问题，称为输出调节器问题。其实质是用不大的控制能量，使输出变量器问题。其实质是用不大的控制能量，使输出变量y(t
20、)保持在保持在零值附近。零值附近。第32页，共45页，编辑于2022年，星期一y(t)=C(t)x(t)Beihang University将输出方程将输出方程代入代入性能指标性能指标得到得到状态调节器的状态调节器的性能指标函数性能指标函数第33页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University 在状态调节器的性能指标中，要求在状态调节器的性能指标中，要求P和和Q(t)为半正定矩阵。为半正定矩阵。由于系统可观测，可证明出输出调节器的性能指标中由于系统可观测，可证明出输出调节器的性能指标中 和和 也是半正定的。输出调节器的问题就可也是半正定的。输出调节器的问题就可以用状态
21、调节器问题来阐述。即：对于系统以用状态调节器问题来阐述。即：对于系统和性能指标和性能指标 第34页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University最优控制存在且唯一最优控制存在且唯一 K(t)为下列为下列Riccati矩阵微分方程的解矩阵微分方程的解满足边界条件满足边界条件最优轨线是下列线性微分方程的解最优轨线是下列线性微分方程的解第35页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University结论：结论：最优输出调节器的最优控制函数，并不是输出量最优输出调节器的最优控制函数，并不是输出量y(t)的线性函数，的线性函数，而仍然是状态向量而仍然是状态向量x
22、(t)的线性函数，表明构成最优控制系统，需要全的线性函数，表明构成最优控制系统，需要全部状态信息反馈，因此要求系统可观测，即部状态信息反馈，因此要求系统可观测，即有限时间输出调节器的最优解与有限时间状态调节器的最优解，有限时间输出调节器的最优解与有限时间状态调节器的最优解，具有相同的最优控制与最优性能指标表达式，仅在具有相同的最优控制与最优性能指标表达式，仅在Riccati方程及方程及其边界条件的形式上有微小的差别。其边界条件的形式上有微小的差别。第36页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University前面所讨论的是终端时刻前面所讨论的是终端时刻tf为有限值的情况。如果
23、系统是线性时不为有限值的情况。如果系统是线性时不变系统，即变系统，即当当tf =时时其其输输出出调节调节器器问题问题可以参照可以参照tf =的状的状态调节态调节器器问题问题，得到相得到相应应的控制的控制规规律。但是，律。但是，同时要求系统同时要求系统同时要求系统同时要求系统(A,B,CA,B,CA,B,CA,B,C)是完全可是完全可是完全可是完全可控和完全可观测的。控和完全可观测的。控和完全可观测的。控和完全可观测的。即即即即完全完全可观可观完全可控完全可控第37页，共45页，编辑于2022年，星期一 其性能指标为其性能指标为 u(t)不受约束，不受约束，Q和和R是正定常数矩阵，则最优控制存在
24、且唯一，并是正定常数矩阵，则最优控制存在且唯一，并且由下式确定且由下式确定 K满足满足Ricatti矩阵代数方程矩阵代数方程Beihang UniversityK()=P=0最优状态满足最优状态满足特征值具有负特征值具有负的实部的实部第38页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University例例设系统状态空间表达式为设系统状态空间表达式为：性能指标为性能指标为试构造输出调节器，使性能指标最小试构造输出调节器，使性能指标最小。第39页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University解解：因为因为系统完全能控和能观。故最优控制系统完全能控和能观。故最优
25、控制 存在。存在。第40页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University 令令 ，由由Riccati方程方程得得P是正定的。是正定的。第41页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University 最优控制为最优控制为闭环系统的状态方程为闭环系统的状态方程为 得到闭环系统的特征值得到闭环系统的特征值闭环系统线性稳定。闭环系统线性稳定。第42页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University 原系统的脉冲响应曲线原系统的脉冲响应曲线第43页，共45页，编辑于2022年，星期一Beihang University 输出反馈后系统的脉冲响应曲线输出反馈后系统的脉冲响应曲线第44页，共45页，编辑于2022年，星期一第45页，共45页，编辑于2022年，星期一