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1、线性规划图解法经典运筹学第1页，共54页，编辑于2022年，星期一 1、建模的一般步骤：步骤一：确定决策变量 即用变量取不同的值来表示可供选择的各种不同方案步骤二：建立目标函数 即找到目标值与决策变量的数量关系步骤三：确定约束条件即决策变量所受到的外界条件的制约。约束条件一般为决策变量的等式或不等式要求：目标函数与约束条件均是线性的，且目标函数只能是一个。第2页，共54页，编辑于2022年，星期一2、线性规划模型的一般形式：决策变量约束方程非负约束 目标函数第3页，共54页，编辑于2022年，星期一三、线性规划求解：四、线性规划应用举例计算机应用软件第4页，共54页，编辑于2022年，星期一时
2、间所需售货员 人数星期日28人星期一15人星期二24人星期三25人星期四19人星期五31人星期六28人例3 福安商场是个中型的百货商场，它对售货人员的 需求经过统计分析如下所示：为保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货人员的作息，既满足了工作的需要，又使配备的售货人员的人数最少？解第5页，共54页，编辑于2022年，星期一时间所需售货员人数星期日28人星期一15人星期二24人星期三25人星期四19人星期五31人星期六28人约束条件:星期日 售货员人数要求:星期一 售货员人数要求:星期二 售货员人数要求:星期三 售货员人数要求:星期四
3、售货员人数要求:星期五 售货员人数要求:星期六 售货员人数要求:数学模型:非负约束:第6页，共54页，编辑于2022年，星期一数学模型:解得:第7页，共54页，编辑于2022年，星期一时间所需售货员 人数星期日28人星期一15人星期二24人星期三25人星期四19人星期五31人星期六28人例3 福安商场是个中型的百货商场，它对售货人员的 需求经过统计分析如下所示：为保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货人员的作息，既满足了工作的需要，又使配备的售货人员的人数最少？解第8页，共54页，编辑于2022年，星期一方案1方案2方案3方案4方案5
4、2.9m120102.1m002211.5m31203合计7.4m7.3m7.2m7.1m6.6下角料0m0.1m0.2m0.3m0.8m方案下料数(根)长度例4 某工厂要做100套钢架,每套用长为2.9m,2.1m,和1.5m的圆钢各一根,已知原料每根长7.4m,问应如何下料,可使所用原料最省.分析:每根原料做一套钢架,下角料：0.9m用套裁方式下料方案：第9页，共54页，编辑于2022年，星期一方案1方案2方案3方案4方案52.9m120102.1m002211.5m31203合计7.4m7.3m7.2m7.1m6.6下角料0m0.1m0.2m0.3m0.8m方案下料数(根)长度下料方案：
5、第10页，共54页，编辑于2022年，星期一方案1方案2方案3方案4方案52.9m120102.1m002211.5m31203合计7.4m7.3m7.2m7.1m6.6下角料0m0.1m0.2m0.3m0.8m方案下料数(根)长度例4 某工厂要做100套钢架,每套用长为2.9m,2.1m,和1.5m的圆钢各一根,已知原料每根长7.4m,问应如何下料,可使所用原料最省.下料方案：最优下料方案：按方案1下料30根，方案2下料10根，方案4下料50根，共需原料90根。第11页，共54页，编辑于2022年，星期一例5 (产品配套问题）假定一个工厂的甲、乙、丙三个车间生产同一个产品，每件产品包括4个A
6、零件，和3个B零件。这两种零件由两种不同的原材料制成，而这两种原材料的现有数额分别为100克和200克。每个生产班的原材料需要量和零件产量如下表所示。问这三个车间各应开多少班才能使这种产品的配套数达到最大约束条件为：第12页，共54页，编辑于2022年，星期一三个车间共生产A零件：三个车间共生产B零件非线性要求：目标函数：目标函数 Z=x4线性第13页，共54页，编辑于2022年，星期一数学模型：线性规划问题第14页，共54页，编辑于2022年，星期一例6 （多周期动态生产计划问题）华津机器制造厂专为拖拉机厂配套生产柴油机，今年头四个月收到的定单数量分别为3000台、4500台、3500台、5
7、000台。该厂正常生产每月可生产3000台，利用加班还可生产1500台，正常生产成本为每台5000元，加工生产还要追加1500元，库存成本为每台每月200元。问华津厂如何组织生产才能使生产成本最低？分析：设C=成本=四个月正常生产的成本+四个月加班生产的成本+四个月库存成本约束条件：第15页，共54页，编辑于2022年，星期一需求约束：第4个月第3个月第2个月第1个月生产能力约束：数学模型：四个月定单数量分别为3000台、4500台、3500台、5000台每月可生产3000台，利用加班还可生产1500台库存约束：第16页，共54页，编辑于2022年，星期一例7.连续投资问题建模:某投资公司有1
8、00万元资金用于投资，投资的方案可以有以下六种，现要做一个5年期的投资计划，具体可选择的投资方案如下：方案A：5年内的每年年初均可投资，且金额不限，投资期限1 年，年投资回报率7%。方案B：5年内的每年年初均可投资，且金额不限，投资期限2 年，年投资回报率10%（不计复利）。方案C：5年内的每年年初均可投资，且金额不限，投资期限3 年，年投资回报率12%（不计复利）方案D：只在第一年年初有一次投资机会，最大投资金额为50 万元，投资期限4年，年投资回报率20%方案E：在第二年和第四年年初有一次投资机会，最大投资金额 均为30万元，投资期限1年，年投资回报率30%方案F：在第四年年初有一次投资机
9、会，金额不限，投资期限2 年，年投资回报率25%假设当年的投资金额及其收益均可用于下一年的投资，问公司应如何投资才能使第五年末收回的资金最多？第17页，共54页，编辑于2022年，星期一假设当年的投资金额及其收益均可用于下一年的投资，问公司应如何投资才能使第五年末收回的资金最多？第18页，共54页，编辑于2022年，星期一连续投资问题模型:第19页，共54页，编辑于2022年，星期一1.1.2、线性规划的标准形式和矩阵表达式线性规划问题的一般形式：第20页，共54页，编辑于2022年，星期一1、线性规划的标准形式第21页，共54页，编辑于2022年，星期一标准型式的特征:1、求目标函数的最大值
10、2、约束方程为等式方程3、约束方程的右边非负4、决策变量均非负非标准型式有以下几种可能：1、求目标函数的最小值4、决策变量0,都存在可行解使得该线性规划的目标 函数值，则称该线性规划问题无界第31页，共54页，编辑于2022年，星期一二、两个变量的线性规划的图解法解：（1）在直角坐标系上画出可行域（2）做目标函数的等值线0可行域凸多边形顶点.第32页，共54页，编辑于2022年，星期一解：（1）在直角坐标系上画出可行域（2）做目标函数的等值线0无穷多.第33页，共54页，编辑于2022年，星期一解：（1）在直角坐标系上画出可行域（2）做目标函数的等值线0目标函数无上界，该问题无界无最优解第34
11、页，共54页，编辑于2022年，星期一解：（1）在直角坐标系上画出可行域0可行域为空集无可行解该问题无最优解第35页，共54页，编辑于2022年，星期一图解法的基本步骤：（一般是一个凸多边形）注意：若是求目标函数的最小值，目标函数直线向下移动第36页，共54页，编辑于2022年，星期一关于线性规划解的结论：1、若（LP）问题有可行解，则可行域是一个凸多边形（或凸多面体）。它可能是有界的；也可能是无界的。2、若（LP）问题有最优解，则最优解可能是唯一的；也可能 是无穷多个。如果是唯一的，这个解一定在该凸多边形的某 个顶点上；如果是无穷多个，则这些最优解一定充满凸多边 形的一条边界（包括此边界的两
12、个顶点）总之，若（LP）问题有最优解，则最优解一定可以在凸多边形的某个顶点达到3、若（LP）问题有可行解，但没有有限最优解，此时凸多边形 是无界的（反之不成立）4、若（LP）问题没有可行解，则该问题没有最优解第37页，共54页，编辑于2022年，星期一三、基与基本可行解不妨设AX=b有解，且mn利用线性代数的方法求出无穷多解？只讨论rn,此时第38页，共54页，编辑于2022年，星期一且r(A)=r=m(若rm,必有多余方程，可去掉）由线性代数结论知:若r(A)=m，则A 中至少存在一个m阶子式|B|0即A中存在满秩的m阶矩阵B,称B为（LP）问题的一个基不妨设mn第39页，共54页，编辑于2
13、022年，星期一定义1.3 在（LP）问题中，A的任意一个mm阶 的非奇异子方阵B（即|B|0）称为 （LP）问题的一个基一个线性规划问题最多有 基设r(Amxn)=r=m第40页，共54页，编辑于2022年，星期一基基不是基第41页，共54页，编辑于2022年，星期一设r(A)=m0基本可行解退化基本可行解：基本可行解中，存在取0值的基变量非退化基本可行解：基本可行解中，基变量的取值均0对应的基称为退化基对应的基称为非退化基线性规划问题：存在退化基：所有基均非退化m第50页，共54页，编辑于2022年，星期一1.运输问题建模:运输问题要解决的问题是：如何利用现有的交通条件，以最低的运费安排调度B1B2B3产量A148856A216241682A38162477需求量7210241215供销平衡作业：第51页，共54页，编辑于2022年，星期一B1B2B3产量A148856A216241682A38162477需求量7210241215则该问题的数学模型为：第52页，共54页，编辑于2022年，星期一原线性规划问题的标准型为:第53页，共54页，编辑于2022年，星期一第54页，共54页，编辑于2022年，星期一