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1、名称方程适用范围点斜式不含直线斜截式不含垂直于轴的直线两点式不含直线和直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用2.直线方程的五种形式第1页/共150页典例分析典例分析题型一题型一 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率【例1】直线xcos+y+2=0的倾斜角的范围是 ()A.B.C.D.分析分析 先求斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围.解解 由直线xcos+y+2=0,所以直线的斜率为k=设直线的倾斜角为,则tan=第2页/共150页又 即所以 .学后反思学后反思 求倾斜角范围的步骤是：（1）求出斜率的取值范围；（2）利用正切函数的单调性，结合图象，确定倾斜角
2、的取值范围.举一反三举一反三1.直线xcos+y-1=0(R)的倾斜角的范围是 ()A.0,)BC.D第3页/共150页解析解析 设倾斜角为,则k=tan=-cos.R,-1-cos1,-1tan1，.答案答案 D题型二题型二 求直线的方程求直线的方程【例2】求下列直线 的方程.（1）过点A(0,2),它的倾斜角的正弦是 ;(2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线 ：3x+4y+10=0的倾斜角的一半.分析分析 由已知条件求出直线的斜率，然后用适当形式写出直线的方程.第4页/共150页解解 （1）设直线 的倾斜角为,则sin=，所以tan=,故 的方程为y=x+2，即3x-4y+8=0或3x+
3、4y-8=0.(2)设直线 和 的倾斜角分别为、，则 ,又tan=-,故-=tan2=，解得tan=3或tan=-(舍去).由点斜式，得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.学后反思学后反思 求直线方程首先要根据已知条件选择合适的方程形式，同时注意各种形式的适用条件.用斜截式或点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线等.第5页/共150页举一反三举一反三2.直线 过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线 的方程.解析解析 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线 在两轴上的截距都存在且不过原点，故可设
4、为截距式直线方程.设直线 的方程为 ,则a+b=12.又直线 过点(-3,4),则 .a=9,a=-4,由、解得 或 b=3 b=16.故所求的直线方程为 或 ,即x+3y-9=0或4x-y+16=0.第6页/共150页题型三题型三 与直线方程有关的最值问题与直线方程有关的最值问题【例3】直线 过点M(2,1),且分别与x、y轴交于A、B两点，O为原点.求当AOB面积最小时，直线 的方程.分析分析 先根据题意，用点斜式设出直线的方程，然后求方程中的参数，从而求出直线的方程.解解 方法一：如图所示，直线 如果通过一、二、三或一、三、四象限时，AOB的面积不存在最值，因此只考虑直线 与x,y轴正方
5、向相交的情况，这时斜率必为负值.设直线 的方程为y-1=k(x-2)（k0）,第7页/共150页则有A(2-,0)与B(0,1-2k)，所以 当且仅当 ,即k=-时，等号成立.故直线 的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.方法二：设过P（2，1）的直线为 (a0,b0),则 .由基本不等式得 ,即ab8,当且仅当 ,即a=4,b=2时，等号成立.故直线方程为 ,即x+2y-4=0.第8页/共150页学后反思学后反思 (1)对直线 的大致位置分析，界定了斜率的存在性及其范围，指明了解题方向，这种分析是避免解题盲目性的重要技能.（2）本题将面积表示为k的函数，再用基本不等式求最小值，方
6、程选择不同，自然参数不同，但是求最值的方法首先考虑基本不等式，然后是函数单调性、换元等方法.举一反三举一反三3.已知直线 过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线 的方程.解析解析 方法一：设A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直线 的方程为 过点P(3,2),且a3.从而 ,第9页/共150页故有当且仅当 ,即a=6时,等号成立.,此时 .故直线 的方程为 ,即2x+3y-12=0.方法二：依题意知，直线 的斜率存在.设直线 的方程为y-2=k(x-3)(k0,-(a+1)=0,或 a-20 a-20，a-1.综上可知，a
7、的取值范围是a-1.方法二：将 的方程化为（x+y+2）+a(x-1)=0(aR).它表示过 :x+y+2=0与 :x-1=0的交点（1，-3）的直线系（不包括x=1).由图象可知 的斜率为-(a+1)0,即当a-1时，直线 不经过第二象限.第19页/共150页第二节第二节 直线的位置关系直线的位置关系基础梳理基础梳理1.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线 ，其斜率分别为 ，则有特别地，当直线 的斜率都不存在时，与 的关系为平行.(2)两条直线垂直如果两条直线 的斜率存在，分别设为 ,则一般地，若直线 (不全为0)，直线 (不全为0)，则 且第20页/共150页 与
8、 重合 且2.三种距离（1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式特别地，原点O（0,0)与任一点P(x,y)的距离OP=(2)点到直线的距离点 到直线:Ax+By+C=0的距离(3)两条平行线的距离两条平行线Ax+By+=0与Ax+By+=0间的距离第21页/共150页典例分析典例分析题型一题型一 两条直线位置关系的判定和应用两条直线位置关系的判定和应用【例1】已知直线 :ax+2y+6=0和直线 :x+(a-1)y+-1=0.(1)试判断 与 是否平行；（2）当 时，求a的值.分析分析 可以把直线化成斜截式，运用斜率或截距的数量关系来判断求解，但由于直线的斜率可能不存在，就必须进行分类讨论
9、；也可以运用一般式方程中的系数关系来判断或求解，这样可以避免讨论.第22页/共150页解解 （1）方法一：当a=1时，:x+2y+6=0,:x=0,不平行于 ;当a=0时，:y=-3,:x-y-1=0,不平行于 ;当a1且a0时，两直线可化为 解得a=-1,综上可知,当a=-1时,否则 与 不平行.方法二：由 ,得a(a-1)-12=0,由 0,得a(-1)-160,a(a-1)-12=0，-a-2=0，a=-1 a(-1)-160 a(-1)6第23页/共150页故当a=-1时，否则 与 不平行.（2）方法一：当a=1时,:x+2y+6=0,:x=0,与 不垂直，故a=1不成立.当a1时，由
10、方法二：由 ,得a+2(a-1)=0学后反思学后反思 (1)直线 :,直线 ,“”的前提条件是 ,的斜率都存在，若不能确定斜率的存在性，应对其进行分类讨论：第24页/共150页当 ,中有一条存在斜率，而另一条不存在斜率时，与 不平行；当 ,的斜率都不存在（与 不重合）时,;当 ,均有斜率且 时，.为避免分类讨论，可采用直线方程的一般式，利用一般式方程中的“系数关系”的形式来判断两直线是否平行，如本例方法二.（2）当 时，可分斜率不存在与斜率存在，斜率存在时,有 ，如果利用 可避免分类讨论.举一反三举一反三第25页/共150页1.已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行，求a的值
11、.解析解析 由a(2a-1)-a=0,得a=1或a=0.当a=1时，两方程为x-y+2=0与x+y+1=0，互相垂直；当a=0时，两方程为y=0与x=0，互相垂直.所以a=1或a=0即为所求.解析解析 当a-2=0或a=0时两直线显然不平行；当a-20且a0时，由 ,得a=-1或a=3.若a=-1,则 成立,故a=-1（舍去）,则a=3.2.已知直线ax-y+2a=0与（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，求a的值.第26页/共150页题型二题型二 距离问题距离问题【例2】求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 的直线方程.分析分析 设出所求直线的点斜式方程，运用待定系数法求直线的方程，但必
12、须要注意斜率是否存在这个问题.解解 过点A(-1,2)且垂直于x轴的直线不满足题意，设过点A(-1,2)的直线点斜式方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.原点到直线的距离等于 ,d=解得k=-1或k=-7,即所求直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.学后反思学后反思 （1）直线的点斜式方程不能代表垂直于x轴的直线，故要进行讨论.（2）使用点到直线的距离公式时，必须把直线方程化为一般式.第27页/共150页举一反三举一反三3.与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于 的直线方程是.答案答案 2x+3y+18=0或2x+3y-8=0 解析解析 所求直线 与直线 :2x+3y+5
13、=0平行，可设：2x+3y+C=0,由 与 距离为 ，得 ,解得C=18或C=-8,所求直线 的方程为2x+3y+18=0或2x+3y-8=0.题型三题型三 交点及直线系问题交点及直线系问题第28页/共150页【例3】求经过直线 :3x+2y-1=0和 :5x+2y+1=0的交点且垂直于直线 :3x-5y+6=0的直线 的方程.分析分析 本题可以先求交点坐标，然后由直线间位置关系求解，也可以先设出直线系方程，后代入点具体求解.3x+2y-1=0,解解 方法一：由 得 ,的交点P(-1,2).5x+2y+1=0,又 的斜率 的斜率k=-,:y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0.方法二：由
14、,可设:5x+3y+C=0.,的交点可以求得为P(-1,2).5(-1)+32+C=0,C=-1,:5x+3y-1=0.第29页/共150页方法三：过 ,的交点，故设:3x+2y-1+(5x+2y+1)=0，即（3+5）x+(2+2)y+(-1+)=0，,解得=,代入上式整理得:5x+3y-1=0.学后反思学后反思 三种解法都能比较迅捷地解决问题，但方法一、方法二都是在两直线的斜率存在的前提下进行的，如果其中含有字母参数之类的，则要进行分类讨论；运用直线系方程时，则必须对直线系中不包含的直线进行检验.因此，本题的三种解法应该是各有优缺点.举一反三举一反三第30页/共150页4.已知两直线 :x
15、+2=0,:4x+3y+5=0,定点A(-1,-2),求过 ,的交点且与点A的距离等于1的直线.解析解析 方法一：,的交点为（-2，1）.若直线 斜率存在，设所求的直线方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.所求直线 与点A(-1,-2)的距离为1,得k=-,代入,得所求直线 的方程为4x+3y+5=0.若直线 斜率不存在，即判断过点（-2，1）且与y轴平行的直线x=-2是否符合所求直线 的条件.点A（-1，-2）到直线x=-2的距离为1，直线x=-2，即x+2=0也符合直线 的要求，故所求直线 的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.第31页/共150页方法二：,的交点为（-2
16、，1），过 ,交点的直线系方程是（x+2）+(4x+3y+5)=0,是参数，化简得(1+4)x+3y+(2+5)=0，由 ,得=0.代入方程，得x+2=0.又直线系方程中不包含 ,应检验 是否也符合所求 的条件.点（-1，-2）到 的距离为 也符合要求，故所求直线 的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.第32页/共150页题型四题型四 对称问题对称问题【例4】(12分)光线沿直线 :x-2y+5=0射入，遇直线:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.分析分析 本题用光学原理得入射光线与反射光线所在的直线关于直线 对称，用对称点方法求出入射光线上一点P关于 的对称点，再由两点式写
17、出方程.3x-2y+7=0,x=-1,解解 方法一：由 得 x-2y+5=0,y=2,即反射点M的坐标为(-1,2).2又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设点P关于直线 的对称点为由PP,可知 .4而PP的中点Q的坐标为第33页/共150页又Q点在 上，联立 解得即P点坐标为 .10反射光线过M(-1,2)和P根据直线的两点式方程,可得反射光线所在的方程为29x-2y+33=0.12 方法二：设直线x-2y+5=0上任意一点 关于直线 的对称点P(x,y),则 3又PP的中点 在 上，第34页/共150页 ,6由 .9代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0,即所求
18、反射光线所在直线方程为29x-2y+33=0.12学后反思学后反思 比较两种解法可知，对于直线的对称问题，都是转化为点关于直线的对称或点关于点的对称问题来解决的.其中，方法一通过求点关于直线的对称点坐标，用两点式方程求解；方法二则利用了轨迹思想求对称直线的方程，是求解曲线关于直线对称问题的通法.第35页/共150页举一反三举一反三5.已知A(7,-4)关于直线 的对称点为B（-5，6），则直线 的方程是()A.5x+6y-11=0 B.6x-5y-1=0C.6x+5y-11=0 D.5x-6y+1=0解析解析 AB的中点（1，1）在直线 上,又 ,即所求直线的斜率k=,所求直线 的方程为y-1
19、=(x-1),即6x-5y-1=0.答案答案 B易错警示易错警示第36页/共150页【例】已知一直线 经过点P(1,2)且与点A(2,3)和B（0，-5）距离相等，求此直线的方程.错解错解 方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0，,即k-1=k-7，解得k=4，所求直线方程为4x-y-2=0.方法二：由已知 AB,又:y-2=4(x-1)，即4x-y-2=0.错解分析错解分析 方法一中忽视了斜率可能不存在的情况，方法二中忽视了 可以过AB中点的情况.第37页/共150页正解正解 方法一：当 斜率不存在时，直线方程为x=1,满足条件.当斜率存在时，解法同错解中“方法
20、一”.方法二：当 过AB中点时，直线方程为x=1.当 AB时，解法同错解中“方法二”.综上,直线 的方程为x=1或4x-y-2=0.考点演练考点演练10.(2009青岛模拟）平行四边形两邻边方程是x+y+1=0和3x-y+4=0,对角线交点为（3，3），则另两边的方程为和.解析解析 方法一：所求直线与已知直线关于（3，3）中心对称，故方程为（6-x）+(6-y)+1=0和3(6-x)-(6-y)+4=0,即x+y-13=0和3x-y-16=0.第38页/共150页方法二：所求直线与已知直线分别平行，且过已知两直线的交点关于（3，3）的对称点.设:x+y+=0,:3x-y+=0.两已知直线的交点
21、坐 x+y+1=0,x=标满足 解得 3x-y+4=0,y=即 ,它关于（3，3）的对称点为将 代入 ,，解得 =-13,=-16.所以所求直线 :x+y-13=0,:3x-y-16=0.答案答案 x+y-13=03x-y-16=011.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0与x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形的其他三边所在的直线方程.第39页/共150页解析解析 设与直线:x+3y-5=0平行的边所在的直线方程为 :x+3y+c=0.2x-y+2=0，由 得正方形的中心坐标P(-1,0),x+y+1=0由点P到两直线,的距离相等，得 ,解得c=-5或c
22、=7(-5不合题意，舍去)，:x+3y+7=0.又正方形另两边所在直线与 垂直，设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.正方形中心到四条边的距离相等，解得a=9或a=-3,正方形的其他两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0.正方形的其他三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.第40页/共150页12.光线从A(-3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（-1，6），求BC所在直线的方程.解析解析 方法一：如图所示，依题意，B点在原点O左侧，设其坐标为（a,0）,由反射角等于入射角
23、，得1=2,3=4,又 ,即BC所在直线方程为y=(x-a),所以C点坐标为又 ,解得a=-,代入BC的方程,得5x-2y+7=0.第41页/共150页方法二：A关于x轴的对称点A(-3,-4),D关于y轴的对称点D(1,6),由光学知识知,A、B、C、D四点共线，且则BC所在的直线方程为5x-2y+7=0.第42页/共150页第三节第三节 圆的方程圆的方程基础梳理基础梳理1.圆的标准方程（1）方程 表示圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程;（2）特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为 .2.圆的一般方程方程 +Dx+Ey+F=0可变形为（1）当 时，方程表示以 为圆心
24、，以 为半径的圆;第43页/共150页（2）当 =0时，方程表示一个点 ;(3)当 r，所以点P在圆外.学后反思学后反思 （1）本题方法一与方法二都使用了待定系数法，其中方法一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是结合条件来求所设方程中的待定系数；方法三则应用了平面几何知识：圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而言，在解析几何问题中，用上平面几何知识，会使解题变得相对简单.(2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系.第47页/共150页举一反三举一反三1.求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x
25、-y-3=0上的圆的方程.解析解析 圆经过点A(5,2),B(3,2),圆心在x=4上，又圆心在2x-y-3=0上，圆心为（4，5），可设圆的方程为 ,又圆过B(3,2)，即 ,，圆的方程为题型二题型二 与圆有关的参数问题与圆有关的参数问题【例2】(2009威海模拟）已知圆的方程为 ,要使过定点A（1，2）的圆的切线有两条.求a的取值范围.分析分析 (1)若方程表示圆，则 0,即(2)由定点A的切线有两条，则点A一定在圆外.第48页/共150页解解 若 表示圆，则应满足 ,即4-3 0,又点A应在圆外，则即 +a+90,由得故a的取值范围是学后反思学后反思 (1)一般地，方程表示圆隐含着条件
26、0.此点易被忽视.(2)若点 在圆 +Dx+Ey+F=0外，则第49页/共150页举一反三举一反三2.已知圆的方程 ,要使圆的半径不大于 且过定点A（1，2）的圆的切线有两条，求a的取值范围.解析解析 圆的方程可化为 .由已知 即解得 a-1或1a0)的位置关系的判断方法：（1）几何法.圆心（a,b）到直线Ax+By+C=0的距离为d,dr直线与圆相离.第66页/共150页（2）代数法.Ax+By+C=0,由 消元，得到的一元二次方程的判别式为,则0直线与圆相交；=0直线与圆相切；0直线与圆相离.3.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含.4.弦长问题圆的
27、弦长的计算：常用弦心距d,弦长一半 a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：典例分析典例分析第67页/共150页题型一题型一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系【例1】已知圆 -6mx-2(m-1)y+10 -2m-24=0(mR).(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线 上；（2）与 平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离.分析分析 （1）用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求圆心坐标，消去m.(2)比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解解 （1）证明：配方得 x=3m,设圆心为（x,y），则 消去m，得：x-3y-3=0,y=m-1,则不论m为何值，圆心恒在直线:x-3y-3=0上.
28、(2)设与 平行的直线是 :x-3y+b=0,则圆心到直线 的距离为第68页/共150页圆的半径为r=5,当dr,即-5 -3br,即b5 -3时，直线与圆相离.学后反思学后反思 判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：（1）代数法：将直线方程与圆的方程联立，由所得一元二次方程根的判别式来判断.（2）几何法：确定圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断.实际应用中“几何法”要优于“代数法”.举一反三举一反三第69页/共150页1.(2009启东调研）已知圆C：,直线:mx-y+1-m=0.（1）求证：无论m取什么实数，直线 与圆C恒交于两点；（2）求直线 被圆C截得的弦长最小
29、时 的方程.解析解析 （1）证明：:mx-y+1-m=0的方程可化为y-1=m(x-1),其恒过定点P(1,1).PC=点P恒在圆C内，直线 与圆C恒交于两点.（2）由（1）及平面几何知识知，当 垂直于PC时，直线 被圆C截得的弦长最小，又 ，所求直线 的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.第70页/共150页题型二题型二 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系【例2】已知圆 ：-2mx+4y+-5=0,圆 :+2x-2my+-3=0,试就m的取值讨论两圆的位置关系.分析分析 先把两圆的方程化为标准方程，再求两圆的圆心距d，进而判断d与R+r,R-r的关系.解解 圆 ,圆 .两圆的圆心距
30、 .(1)当 ,即 时,解得m=-5或m=2,故当m=-5或m=2时，两圆外切；第71页/共150页（2）当 ,即 时,解得m=-2或m=-1,故当m=-2或m=-1时，两圆内切；（3）当 ,即-5m-2或-1m2时，两圆相交；（4）当 ，即m2时，两圆外离；（5）当 ,即-2m .(2)上述椭圆的焦点是 ，椭圆的焦距是2.椭圆的标准方程和几何性质第87页/共150页标准方程图形性质范围对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点轴 长轴 的长为2a 短轴 的长为2b焦距离心率a,b,c的关系第88页/共150页典例分析典例分析题型一题型一 椭圆的定义及其标准方程椭圆的定义及其标准方程【例1】已知
31、P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.分析分析 方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求解.方法二：先由椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求c,然后求b.解解 方法一：设椭圆的标准方程是 (ab0)或 (ab0),两个焦点分别为 ，则由题意知2a=,a=.第89页/共150页在方程 中,令x=c,得y=.在方程 中,令y=c,得x=.依题意知 .即椭圆的方程为 或 .方法二：设椭圆的两个焦点分别为 ,则由椭圆的定义，知2a=,即a=.由 知，垂直于长轴.故在Rt 中，,，于是
32、 .又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为 或 .第90页/共150页学后反思学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成 (m0,n0).（2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为举一反三举一反三1.若椭圆的两个焦点为 (-4,0)、(4,0),椭圆的弦AB过 ,的周长为20，则该椭圆的方程为.解析解析 的周长为 =2a+2a=4a=20,a=5,又c=4,b=3.椭圆的方程为第91页/共150页答案答案题型二题型二 椭圆的几何性质椭圆的几何性质【例2】
33、P为椭圆 上任一点，为左、右焦点，如图所示.（1）若 的中点为M，求证：|MO|=5-(2)若 =60,求 的值.分析分析 第（1）问中，由OM为 的中位线，再结合椭圆几何性质即可得证；第（2）问中，已知 =60，则可在 中利用余弦定理求解.第92页/共150页解解 (1)证明：由椭圆方程 知a=5,b=4,则c=3,又M、O为 的中点，(2)，两边平方得 由余弦定理知即 -得 .第93页/共150页学后反思学后反思 椭圆的几何性质是解决椭圆问题的基础，必须牢记，并体会由方程如何推得相关性质，体会解析几何的思想.第（1）小题即：以 为直径的圆与以长轴为直径的圆始终内切.第（2）小题：令 =,则
34、可推出 ，进而推出举一反三举一反三2.已知 是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，=60.求椭圆离心率的取值范围.第94页/共150页解析解析 设椭圆方程为 (ab0)，=m,=n.在 中，由余弦定理可知，又 (当且仅当m=n时取等号），即e ，e的取值范围是 ,1).题型三题型三 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【例3】(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线 过定点，并求出该定点的
35、坐标.第95页/共150页分析分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系.解解 （1）根据题意设椭圆的标准方程为 (ab0),由已知得a+c=3,a-c=1,.1a=2,c=1,=3.椭圆的标准方程为 .3(2)设 ,y=kx+m，联立 得 ，5则由题意,得第96页/共150页 ,即 ，即 7以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),即 ，解得m=-2k或m=-,且均满足 10当m=-2k时,的方程为y=k(x-2),直线过
36、定点（2，0）,与已知矛盾；第97页/共150页当m=-时,的方程为y=k(x-),直线过定点(,0).所以直线 过定点，定点坐标为(,0).12学后反思学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况.（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.举一反三举一反三3.若直线 过圆 +4x-2y=0的圆心M,交椭圆C：于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线 的方程.解析解析 设A,B的坐标分别为已知圆的方程为 ,所以圆心M的坐标为（-2，1），从
37、第98页/共150页而可设直线 的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程,得 .因为A,B关于点M对称，所以 ,解得k=,所以直线 的方程为y=(x+2)+1,即8x-9y+25=0(经检验，所求直线方程符合题意).题型四题型四 椭圆的实际应用椭圆的实际应用第99页/共150页【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域.分析分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.解解 依题意，
38、以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如图），则半椭圆方程为 (y0),解得 (0 xr).其定义域为x0 xAB=2.由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为 (y0),易知点D也在此椭圆上，要使 ACBD面积最大，则C、D为此椭圆短轴的两端点，此时，面积易错警示易错警示【例】若椭圆 的离心率e=,则k的值为.错解错解 由已知 =k+8,=9,又e=，解得k=4.第102页/共150页错解分析错解分析 忽视了椭圆的焦点位置不确定，焦点也有可能在y轴上的情况.正解正解 （
39、1）若焦点在x轴上，即k+89时，=k+8,=9,解得k=4.(2)若焦点在y轴上，即0k+89时，=9,=k+8,解得k=-.综上，k=4或k=-.考点演练考点演练10.经过椭圆 的一个焦点作倾斜角为45的直线，交椭圆于A、B两点，设O为坐标原点，则 等于.第103页/共150页解析解析 设直线 经过椭圆 的右焦点（1，0），y=x-1,则直线 的方程为y=x-1,由 ,得3 -4x=0,解得x=0或x=,A(0,-1),=(0,-1)=-.答案答案 -11.（2009广东改编）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，两个焦点分别为 和 ，椭圆G上一点到 和 的距离之和为12.
40、圆 (kR)的圆心为点（1）求椭圆G的方程；（2）求 的面积.第104页/共150页解析解析 （1）依题意可设椭圆G的方程为 （ab0），半焦距为c.椭圆G的离心率为 ，.椭圆G上一点到 和 的距离之和为12，2a=12a=6.,即椭圆G的方程为(2)圆 的方程可化为 ,所以圆 的圆心坐标为 （-k,2），半径为 .在 中，底边 的长|=2c=6 ,边上的高为2，故 的面积第105页/共150页12.(2009山东枣庄)设直线：y=k(x+1)与椭圆 (a0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.（1）证明：(2)若 ，求OAB的面积取得最大值时椭圆的方程.解析解析 （1
41、）证明：依题意，直线 显然不平行于坐标轴，故y=k(x+1)可化为x=y-1.将x=y-1代入 ，消去x,得 .由直线 与椭圆相交于两个不同的点，得=，化简整理得 .（*）第106页/共150页(2)设 由题意知C（-1,0）.由得 .因为 由 ,得 .由、联立，解得 .则OAB的面积上式取等号的条件是3 =1,即k=.当k=时，由解得当k=-时，由解得第107页/共150页将k=,及k=-,分别代入，均可解出 =5.经验证，=5,k=满足（*）式.所以，OAB的面积取得最大值时椭圆的方程是第108页/共150页第六节第六节 双曲线双曲线基础梳理基础梳理1.双曲线的定义（1）平面内动点的轨迹是
42、双曲线必须满足两个条件：到两个定点 的距离的差的绝对值等于常数2a;2a小于（2）上述双曲线的焦点是 ，焦距是 .2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形第109页/共150页 性 质范围对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点 顶点坐标 顶点坐标渐近线离心率 其中实虚轴线段 叫做双曲线的实轴,它的长|=2a;线段 叫做双曲线的虚轴,它的长|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 第110页/共150页3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为 (0)，离心率e=，渐近线方程为y=x.典例分析典例分析题型一题
43、型一 双曲线的定义及标准方程双曲线的定义及标准方程【例1】已知动圆M与圆 外切，与圆 内切，求动圆圆心M的轨迹方程.分析分析 设动圆M的半径为r，则 ,则 =定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程.第111页/共150页解解 如图，设动圆M的半径为r，则由已知得 ，.又 (-4,0),(4,0),.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以 (-4,0),(4,0)为焦点的双曲线的右支.a=,c=4,点M的轨迹方程是学后反思学后反思 （1）求动点的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，再用定义法或者参数法来求轨迹方程.（2）在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹
44、是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支.第112页/共150页举一反三举一反三1.如图，已知圆A的方程为 ,定点C(3,0),求过定点C且和圆A外切的动圆的圆心P的轨迹方程.解析解析 依题意得|PA|-|PC|=2.又|PA|PC|,且|AC|=62.由双曲线的定义，知点P的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的右支，故点P的轨迹方程为 (x1).题型二题型二 双曲线的几何性质双曲线的几何性质【例2】已知双曲线的方程是 .(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设 和 是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且 ，求 的大小.第113页/共150页分析分析 将双曲线方程先化为标
45、准方程，求出a、b、c，则（1）题即可解决；（2）题可利用双曲线定义及三角形余弦定理求解.解解 （1）由 ，得 ,a=3,b=4,c=5，焦点坐标 (-5,0),(5,0),离心率e=，渐近线方程为y=x.(2)第114页/共150页学后反思学后反思 （1）双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”、“方程观点”、“直接法和待定系数法求曲线方程”、“数形结合”等.（2）双曲线的几何性质同样要与椭圆进行类比和区分，除常见性质外，也要注意以下结论：过双曲线 的焦点F作垂直于实轴的弦PQ，|PQ|=2 ，这样的弦称为双曲线的通径.可证：在双曲线的焦点弦中，若弦的两端在双曲
46、线同一支上，以通径的长 为最短；若弦的两端在两支上，以实轴的长2a为最短.双曲线上任一点P，焦点为 ，若 =，则举一反三举一反三第115页/共150页2.设双曲线 (0ab)的半焦距为c，直线 过(a,0),(0,b)两点，且原点到直线 的距离为 c，求双曲线的离心率.解析解析 由 过两点（a,0)、(0,b),得 的方程为bx+ay-ab=0.由原点到 的距离为 c,得 .将 代入，平方后整理,得 令 =x,则16 -16x+3=0，解得x=或x=.由e=，得e=，故e=或e=2.0a0，忘记讨论k的符号.正解正解 当k0时，方程化为 ,得k=6.当k0,b0),因渐近线的方程为y=x，并且
47、焦点都在圆 上，a=6，解得 b=8，双曲线的方程为 .第128页/共150页当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为 （a0,b0），因渐近线的方程为y=x，并且焦点都在圆 上，a=8,解得 b=6,双曲线的方程为综上,双曲线的方程为 和 .方法二：设双曲线的方程为 (0),从而有 ，解得=576,所以双曲线的方程为 和第129页/共150页第七节第七节 抛物线抛物线基础梳理基础梳理标准方程 图形1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质（如下表所示）第130页/共150页
48、性 质范围准线方程焦点对称轴 关于x轴对称顶点 O(0,0)离心率 e=1 标准方程 图形第131页/共150页性质范围准线方程焦点对称轴 关于y轴对称顶点 O（0，0）离心率 e=1典例分析典例分析题型一题型一 抛物线的定义及应用抛物线的定义及应用第132页/共150页【例1】已知抛物线 =2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标.分析分析 抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线 的距离d，求|PA|+|PF|的问题可转化为|PA|+d的问题,运用三点共线可使问题得到解决.解解 将x=3代入抛物线方程 =2x,得y=
49、.2,点A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线:x=-的距离为d，由定义,知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA 时，|PA|+d最小，最小值为 ，即|PA|+|PF|的最小值为 ，此时P点纵坐标为2，代入 =2x，得x=2，即点P的坐标为（2，2）.第133页/共150页学后反思学后反思 灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是抛物线定义的重要应用.举一反三举一反三1.若例题中点A的坐标变为（2，3），求|PA|+|PF|的最小值.解析解析 将x=2代入抛物线方程,得y=2，32,点A在抛物线的外部.|PA|+|PF|AF|=，A、P、F三点共线时有最小值，最小值为 .
50、题型二题型二 抛物线的几何性质和标准方程抛物线的几何性质和标准方程第134页/共150页【例2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A（m,-3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程.分析分析 因点A（m,-3）在直线y=-3上，所以抛物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情况，必须分类讨论.解解 (1)若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为 =-2py(p0),这时准线方程为y=,由抛物线定义知 -(-3)=5，解得p=4,此时，抛物线方程为 =-8y.将点A（m,-3)代入方程，得m=2 .第135页/共150页(2)若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物