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1、 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论工程力学第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论13.1 应力状态概念及其表示方法应力状态概念及其表示方法目目 录录13.2 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析解析法解析法13.4 极值应力与主应力极值应力与主应力13.3 平面一般应力状态分析平面一般应力状态分析应力圆法应力圆法13.5 空间应力状态的主应力与最大切应力空间应
2、力状态的主应力与最大切应力13.6 广义胡克定律广义胡克定律13.7 强度理论强度理论 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论lTTAB13.1 应力状态与强度理论应力状态与强度理论一、一点的应力状态一、一点的应力状态一、一点的应力状态一、一点的应力状态拉伸或压缩拉伸或压缩扭扭 转转 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论Al(1)杆件内不同位置的点具有不同的应力杆件内不同位置的点具有不同的应力(2)同一点不同方位面上的应力
3、也是各不相同同一点不同方位面上的应力也是各不相同重要结论重要结论一点的应力状态一点的应力状态 过一点不同方位面上应力的总和过一点不同方位面上应力的总和过一点不同方位面上应力的总和过一点不同方位面上应力的总和弯弯 曲曲 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论取单元体法取单元体法取单元体法取单元体法FFA A二、应力状态的研究方法二、应力状态的研究方法二、应力状态的研究方法二、应力状态的研究方法AAA a a a a 四个面上既有正应力又有切应力四个面上既有正应力又有切应力四个面上既有正应力又有切应力四个面上既有
4、正应力又有切应力所取方位不同，单元体各面上应力不同所取方位不同，单元体各面上应力不同所取方位不同，单元体各面上应力不同所取方位不同，单元体各面上应力不同 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论xxx 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 任意一对平行平面上的应力相等任意一对平行平面上的应力相等单元体三个方向上的尺寸均无穷小单元体三个方向上的尺寸均无穷小 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1每个面上应力均匀分布每个
5、面上应力均匀分布三、单元体特征三、单元体特征三、单元体特征三、单元体特征 单元体的应力状态可代表一点的应力状态单元体的应力状态可代表一点的应力状态 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论主平面：主平面：主平面：主平面：切应力为零的面切应力为零的面切应力为零的面切应力为零的面 1 1 2 2 3 3A主应力：主应力：主应力：主应力：主平面上的正应力主平面上的正应力主平面上的正应力主平面上的正应力通过受理构件的任意点必定存在通过受理构件的任意点必定存在通过受理构件的任意点必定存在通过受理构件的任意点必定存在 三个
6、相互三个相互三个相互三个相互垂直的主平面垂直的主平面垂直的主平面垂直的主平面,因而没一点都有三个主应力因而没一点都有三个主应力因而没一点都有三个主应力因而没一点都有三个主应力分别记为分别记为分别记为分别记为 1 1 1 1,2 2 2 2,3 3 3 3 且规定按代数且规定按代数且规定按代数且规定按代数值大小的顺序来排列值大小的顺序来排列值大小的顺序来排列值大小的顺序来排列,即即即即 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论1）空间（三向）应力状态）空间（三向）应力状态 三个主应力三个主应力 1、2、3 均不等
7、于零均不等于零2）平面（二向）应力状态）平面（二向）应力状态 三个主应力三个主应力 1、2、3 中有两个不等于零中有两个不等于零3）单向应力状态）单向应力状态 三个主应力三个主应力 1、2、3 中只有一个不等于零中只有一个不等于零 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1四、应力状态分类四、应力状态分类四、应力状态分类四、应力状态分类 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论三向应力状态的实例三向应力状态的实例滚珠轴承滚珠轴承 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇
8、岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论单元体的六个侧面上仅在四个侧面上作用有应力，且其作用单元体的六个侧面上仅在四个侧面上作用有应力，且其作用单元体的六个侧面上仅在四个侧面上作用有应力，且其作用单元体的六个侧面上仅在四个侧面上作用有应力，且其作用线均平行于单元体的不受力表面，称为线均平行于单元体的不受力表面，称为线均平行于单元体的不受力表面，称为线均平行于单元体的不受力表面，称为平面应力状态。平面应力状态。平面应力状态。平面应力状态。x x xyz y y xyxy yxyx x x y y xyxy yxyx13.2 平面应力状态分析平
9、面应力状态分析解析法解析法单向受力与纯切应力状态均为单向受力与纯切应力状态均为单向受力与纯切应力状态均为单向受力与纯切应力状态均为平面应力状态的特殊情况。平面应力状态的特殊情况。平面应力状态的特殊情况。平面应力状态的特殊情况。东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论1 1）斜截面上的应力）斜截面上的应力）斜截面上的应力）斜截面上的应力x x xyz y y xyxy yxyx垂直于坐标轴垂直于坐标轴垂直于坐标轴垂直于坐标轴y y的截面上，应力为的截面上，应力为的截面上，应力为的截面上，应力为 、。已知：垂直于坐
10、标轴已知：垂直于坐标轴已知：垂直于坐标轴已知：垂直于坐标轴x x的截面上，应力为的截面上，应力为的截面上，应力为的截面上，应力为 、。xya x x x x yxyx xyxye ef fb bc cd d研究与坐标轴研究与坐标轴研究与坐标轴研究与坐标轴z z平行的任一横截面平行的任一横截面平行的任一横截面平行的任一横截面efef上的应力上的应力上的应力上的应力 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论xya x x x x yxyx xyxye ef f n nyb bc cd def fa x x xyxy
11、 yxyx y y n n tef fa d dA Ad dA Asinsin d dA Acoscos 由力的平衡由力的平衡 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论化简以上两个平衡方程最后得化简以上两个平衡方程最后得化简以上两个平衡方程最后得化简以上两个平衡方程最后得 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论不难看出不难看出不难看出不难看出即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数即两相
12、互垂直面上的正应力之和保持一个常数即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数注意：注意：注意：注意：1 1）应力均为正值，并规定）应力均为正值，并规定）应力均为正值，并规定）应力均为正值，并规定 自自自自x x轴开始逆时针转动为正，轴开始逆时针转动为正，轴开始逆时针转动为正，轴开始逆时针转动为正，反之为负。反之为负。反之为负。反之为负。3 3）单元体无限小，故）单元体无限小，故）单元体无限小，故）单元体无限小，故aefaef部分可视为汇交力系平衡部分可视为汇交力系平衡部分可视为汇交力系平衡部分可视为汇交力系平衡。2 2）式中）式中）式中）式中 xyxy和和和和 yxyx均为垂直于均为垂直于均为垂
13、直于均为垂直于x x轴的截面上的轴的截面上的轴的截面上的轴的截面上的x x面上的切应力，面上的切应力，面上的切应力，面上的切应力，且按切应力互等定理，二者相等且按切应力互等定理，二者相等且按切应力互等定理，二者相等且按切应力互等定理，二者相等。东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论【例例13.1】已知应力状态如图所示。试计算截面已知应力状态如图所示。试计算截面m-m上的正应力上的正应力m与切应力与切应力m。xymmmm 6060o o 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十
14、三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论斜截面应力计算公式为斜截面应力计算公式为斜截面应力计算公式为斜截面应力计算公式为13.3 平面一般应力状态分析平面一般应力状态分析应力圆法应力圆法一、应力圆一、应力圆一、应力圆一、应力圆改写为改写为改写为改写为 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论上式为以上式为以 、为变量的圆方程。为变量的圆方程。圆心的坐标圆心的坐标圆的半径圆的半径此圆称为此圆称为应力圆应力圆或或莫尔圆莫尔圆把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去把
15、上面两式等号两边平方，然后相加便可消去把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去 ，得得得得以以 为横坐标轴，为横坐标轴，为纵坐标系轴为纵坐标系轴 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 建建 -坐标系坐标系,根据已知应力选取适当比例尺根据已知应力选取适当比例尺o 二、应力圆的作图方法二、应力圆的作图方法二、应力圆的作图方法二、应力圆的作图方法应力圆法应力圆法应力圆法应力圆法应力分析的图解法应力分析的图解法应力分析的图解法应力分析的图解法xy x x xyxy y y 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力
16、学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论D xo o 量取量取量取量取OAOA=x xADAD=xyxy得得得得 D D 点点点点 xAOBOB=y y量取量取量取量取BDBD=yxyx得得得得 D D 点点点点 yB B yD连接连接连接连接 DDDD 两点的直线与两点的直线与两点的直线与两点的直线与 轴相交于轴相交于轴相交于轴相交于 C C 点点点点 以以以以C C为圆心为圆心为圆心为圆心,CDCD 为半径作圆为半径作圆为半径作圆为半径作圆,即得即得即得即得相应于该单元体的应力圆相应于该单元体的应力圆相应于该单元体的应力圆相应于该单元体的应力圆C
17、Cxy x x xyxy y y 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 半径半径半径半径CDCD逆时针转过圆心角逆时针转过圆心角逆时针转过圆心角逆时针转过圆心角=2=2 得得得得E E点，则点，则点，则点，则E E点横坐标点横坐标点横坐标点横坐标OFOF即即即即为为为为 ，纵坐标纵坐标纵坐标纵坐标FEFE即为即为即为即为 。D xo o xA yB B yDC Cxy x x xyxy y y EF2 2 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度
18、理论应力状态与强度理论证明证明证明证明A1B1D xo o xA yB B yDC CEF2 2 2 2 o o 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论1）应力圆圆周上任意点）应力圆圆周上任意点坐标坐标对应着单元体某个斜面上的对应着单元体某个斜面上的应力应力。D xyo xA yB B yxDC C2 2 0 0FE E2 2 xya x x x x yxyx xyxye ef f n n在在在在应力圆上以应力圆上以 CD 为起点，逆时针方向转动为起点，逆时针方向转动 2 得到半径得到半径CE，圆周上圆周上E
19、点的坐标就是单元体点的坐标就是单元体 斜截面上的应力斜截面上的应力 和和 。应力圆的应用应力圆的应用 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论角度的起点角度的起点点和面的对应关系点和面的对应关系二倍角关系二倍角关系转向一致转向一致 O OC CDxn 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论2)2)该圆的圆心该圆的圆心该圆的圆心该圆的圆心 C C 点到点到点到点到 坐标坐标坐标坐标原点的原点的原点的原点的 距离为距离为距离为距离
20、为 3)3)该圆半径为该圆半径为该圆半径为该圆半径为D xo o xA yB B yDC CEF2 2 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论该圆的圆心该圆的圆心该圆的圆心该圆的圆心 C C 点到点到点到点到 坐标原点坐标原点坐标原点坐标原点的的的的 距离为距离为距离为距离为 A1B1D xo o xA yB B yDC CEF2 2 4 4 4 4）求求求求主应力数值主应力数值 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论5)5
21、)求主平面位置求主平面位置求主平面位置求主平面位置 应力圆上由应力圆上由应力圆上由应力圆上由D D点顺时针转过点顺时针转过点顺时针转过点顺时针转过2 2 o o 到到到到A A1 1点。点。点。点。A1B1D xo o xA yB B yDC CEF2 2 2 2 o o对应微元体从对应微元体从对应微元体从对应微元体从x x面顺时针转过面顺时针转过面顺时针转过面顺时针转过 o o 角（角（角（角（n n o o o o 面面）。）。）。）。应力圆上继续从应力圆上继续从应力圆上继续从应力圆上继续从A A1 1点转过点转过点转过点转过180180o o到到到到B B1 1，对应微元体从，对应微元体
22、从，对应微元体从，对应微元体从n n o o 面继续面继续转过转过转过转过9090o o到到到到n n o o+90面，此时面，此时 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论6 6）求最大切应力求最大切应力求最大切应力求最大切应力G G1 1 和和和和 G G 两点的纵坐标分别代表两点的纵坐标分别代表两点的纵坐标分别代表两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力最大和最小切应力最大和最小切应力最大和最小切应力2 2 0 0D xo o xA yB B yDC C 1 1 2A1B1G1G2因为因为因为因为最大最小切应
23、力最大最小切应力最大最小切应力最大最小切应力等于应力圆的半径等于应力圆的半径等于应力圆的半径等于应力圆的半径 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论【例例13.2】已知应力状态如图所示。试用图解法求解截面已知应力状态如图所示。试用图解法求解截面m-m上上的正应力的正应力m与切应力与切应力m。xymmmm 6060o o 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论一、一、一、一、正应力极值正应力极值正应力极值正应力极值主应力主应力
24、主应力主应力求极值条件：令求极值条件：令求极值条件：令求极值条件：令 0 0 和和和和 0 0+90+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。13.4 极值应力和主应力极值应力和主应力 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理
25、论将将将将 0 0和和和和 0 0+90+90代入公式代入公式代入公式代入公式得到得到得到得到 max max 和和和和 min min(主应力）主应力）主应力）主应力）(2)(2)当当当当 x x y y 时时时时 ，0 0 是是是是 x x与与与与 minmin之间的夹角之间的夹角之间的夹角之间的夹角(1)(1)当当当当 x x y y 时时时时 ，0 0 是是是是 x x与与与与 maxmax之间的夹角之间的夹角之间的夹角之间的夹角 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论二、二、二、二、最大切应力最大切
26、应力最大切应力最大切应力求极值条件：令求极值条件：令求极值条件：令求极值条件：令 1 1 和和和和 1 1+90+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论将将将将 1 1和和和和 1 1+9
27、0+90代入公式代入公式代入公式代入公式得到得到得到得到 maxmax和和和和 minmin 比较比较比较比较和和和和可见可见可见可见 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论主平面：主平面：主平面：主平面：切应力为零的面切应力为零的面切应力为零的面切应力为零的面 1 1 2 2 3 3A主应力：主应力：主应力：主应力：主平面上的正应力主平面上的正应力主平面上的正应力主平面上的正应力三个主应力分别记为三个主应力分别记为三个主应力分别记为三个主应力分别记为 1 1 1 1,2 2 2 2,3 3 3 3,且且且且
28、三、三、三、三、主应力主应力主应力主应力主平面单元体：主平面单元体：主平面单元体：主平面单元体：三对互垂主平面构成的单元体三对互垂主平面构成的单元体三对互垂主平面构成的单元体三对互垂主平面构成的单元体 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论处于平面应力状态的单元体内，一定存在主单元体处于平面应力状态的单元体内，一定存在主单元体处于平面应力状态的单元体内，一定存在主单元体处于平面应力状态的单元体内，一定存在主单元体用主应力用主应力用主应力用主应力 1 1 1 1,2 2 2 2,3 3 3 3描写一点处的应力状
29、态具有普遍意义描写一点处的应力状态具有普遍意义描写一点处的应力状态具有普遍意义描写一点处的应力状态具有普遍意义表明表明表明表明在处于任意应力状态的单元体内，同样存在主单元体在处于任意应力状态的单元体内，同样存在主单元体在处于任意应力状态的单元体内，同样存在主单元体在处于任意应力状态的单元体内，同样存在主单元体 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论二向与三向应力状态二向与三向应力状态 2）单向应力或单向受力状态）单向应力或单向受力状态 三个主应力三个主应力 中仅有一个主应力不等于零的应力状态中仅有一个主应力不
30、等于零的应力状态 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1根据主应力数值将应力状态分类根据主应力数值将应力状态分类根据主应力数值将应力状态分类根据主应力数值将应力状态分类1）复杂应力状态）复杂应力状态 三个主应力三个主应力 中，两个或三个主应力不等于零的应力状态中，两个或三个主应力不等于零的应力状态 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论【例例13.3】从构件中切取一微元体，各截面的应力如图所示。试从构件中切取一微元体，各截面的应力如图所示。试确定主应力的
31、大小和方位。确定主应力的大小和方位。1mm 0 0=62.5=62.5o o3 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论例例：讨论圆轴受扭转时的讨论圆轴受扭转时的应力状态并分析铸铁件受扭应力状态并分析铸铁件受扭时的破坏现象。时的破坏现象。解：破坏时沿解：破坏时沿45线断开线断开最大切应力最大切应力取单元体如图取单元体如图MeMeDCBA 画应力圆如图画应力圆如图ACB 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 x45o-45o
32、3 3 1 1 1 1 3 3ABDCACB圆截面铸铁试件扭转破坏时，其断裂面为与轴线成角的螺旋面，在垂直圆截面铸铁试件扭转破坏时，其断裂面为与轴线成角的螺旋面，在垂直于断裂面的方向，有最大拉应力，因此，圆截面铸铁试件的扭转破坏是于断裂面的方向，有最大拉应力，因此，圆截面铸铁试件的扭转破坏是拉断的。同时也说明铸铁材料的抗拉强度小于抗剪和抗压强度。拉断的。同时也说明铸铁材料的抗拉强度小于抗剪和抗压强度。东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 例：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横例：两端简支的焊接工
33、字钢梁及其荷载如图所示，梁的横例：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横例：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试绘出截面截面尺寸示于图中。试绘出截面截面尺寸示于图中。试绘出截面截面尺寸示于图中。试绘出截面 c c 上上上上 a,ba,b 两两两两点处的应力圆，并点处的应力圆，并点处的应力圆，并点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。用应力圆求出这两点处的主应力。用应力圆求出这两点处的主应力。用应力圆求出这两点处的主应力。12015152709za ab b250KN1.6m2mABC 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力
34、学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论+200kN50kN+80kN.m解解解解:(1)(1)首先计算支反力首先计算支反力首先计算支反力首先计算支反力,并作出并作出并作出并作出 梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图MMmaxmax =MMC C=80=80 kNmkNmF FSmaxSmax =F FC C左左左左 =200=200 kNkN250KN1.6m2mABC 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论12015152709za ab b(2)(2
35、)横截面横截面横截面横截面 C C上上上上a a 点的应力为点的应力为点的应力为点的应力为a a点的单元体如图所示点的单元体如图所示点的单元体如图所示点的单元体如图所示a x x x x x x y y 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论由由由由 x x，xyxy 定出定出定出定出 D D 点点点点由由由由 y y，yxyx 定出定出定出定出 DD 点点点点以以以以 DDDD为直径作应力圆为直径作应力圆为直径作应力圆为直径作应力圆O O C(3)3)做应力圆做应力圆做应力圆做应力圆 x x=122.5MP
36、a122.5MPa，x x =64.6MPa64.6MPa y y=0 0，x x =-=-64.6MPa64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)DDA1 1 1 3 3A2A A1 1，A A2 2 两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代表表表表 a a 点的两个主应力点的两个主应力点的两个主应力点的两个主应力 1 1 和和和和 3 3 A A1 1 点对应于单元体上点对应于单元体上点对应于单元体上点对应于单元体上 1 1 所在的主平面所在的主平面所在的主平面所在的主平面 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料
37、力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论a x x x x x x y y 0 0 1 1 3 312015152709za ab b(4)(4)横截面横截面横截面横截面 C C上上上上b b点的应力点的应力点的应力点的应力b b点的单元体如图所示点的单元体如图所示点的单元体如图所示点的单元体如图所示b x x x x 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 b b 点的三个主应力为点的三个主应力为点的三个主应力为点的三个主应力为 1所在的主平面就是所在的主平面就是所在的主平面就是所在的主
38、平面就是 x x 平面平面平面平面 ,即梁的横截面即梁的横截面即梁的横截面即梁的横截面 C Cb x x x x(136.5,0)D(0,0)DD 1 1 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论单元体上，三个互相垂直的截面单元体上，三个互相垂直的截面上的应力可能是任意方向的上的应力可能是任意方向的可找到三对互相垂直的截面，其上可找到三对互相垂直的截面，其上只有正应力，没有切应力。只有正应力，没有切应力。一、一、一、一、三向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1
39、 113.5 空间应力状态的主应力与最大切应力空间应力状态的主应力与最大切应力空间应力状态的主单元体空间应力状态的主单元体 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论三向应力状态下三向应力状态下三个主应力三个主应力 1 1、2 2、3 3的的的的关系为：关系为：关系为：关系为：3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1二、二、二、二、空间应力状态主应力空间应力状态主应力空间应力状态主应力空间应力状态主应力 三对微面三对微面主平面主平面 三个正应力三个正应力主应力主应力 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程
40、力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 3 3不参与微元体的力平衡不参与微元体的力平衡不参与微元体的力平衡不参与微元体的力平衡采用应力圆确定采用应力圆确定采用应力圆确定采用应力圆确定由于由于 3 3 作用平面上的力自相平衡，因作用平面上的力自相平衡，因此，凡是与主应力此，凡是与主应力 3 3 平行的斜截面上平行的斜截面上的应力与的应力与 3 3 无关。无关。三、三、三、三、空间应力状态的最大切应力空间应力状态的最大切应力空间应力状态的最大切应力空间应力状态的最大切应力 （1 1）平行）平行）平行）平行 3 3方向的任意斜截面方向的任意斜截面方向的任
41、意斜截面方向的任意斜截面 上应力上应力上应力上应力adb123cxyzadbc123 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论A 1 2BC 3同理，可画出另外两个同理，可画出另外两个应力圆。将三个应力圆应力圆。将三个应力圆画在同一平面上，称为画在同一平面上，称为三向应力圆。三向应力圆。O斜截面上的应力必在由斜截面上的应力必在由斜截面上的应力必在由斜截面上的应力必在由 1 1 和和和和 2 2所确定的应力圆上。所确定的应力圆上。所确定的应力圆上。所确定的应力圆上。东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程
42、力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论A 1 2BC 3 O平行平行平行平行 3 3方向斜截面上的极值切应力方向斜截面上的极值切应力方向斜截面上的极值切应力方向斜截面上的极值切应力平行平行平行平行 2 2方向斜截面上的极值切应力方向斜截面上的极值切应力方向斜截面上的极值切应力方向斜截面上的极值切应力平行平行平行平行 1 1方向斜截面上的极值切应力方向斜截面上的极值切应力方向斜截面上的极值切应力方向斜截面上的极值切应力 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 A 1 O 2
43、BC 3 结论结论结论结论 最大切应力所在的截面与最大切应力所在的截面与最大切应力所在的截面与最大切应力所在的截面与 2 2 所在的主平面垂直，并与所在的主平面垂直，并与所在的主平面垂直，并与所在的主平面垂直，并与 1 1和和和和 3 3所在的主平面成所在的主平面成所在的主平面成所在的主平面成 45450 0角。角。角。角。按约定排列的三个非零的主应力按约定排列的三个非零的主应力按约定排列的三个非零的主应力按约定排列的三个非零的主应力 1 1 、2 2、3 3作出的两两相切的三作出的两两相切的三作出的两两相切的三作出的两两相切的三个应力圆中，可找到三个相应的个应力圆中，可找到三个相应的个应力圆
44、中，可找到三个相应的个应力圆中，可找到三个相应的极值切应力极值切应力极值切应力极值切应力 1212、1313、2323，其中最，其中最，其中最，其中最大切应力值为：大切应力值为：大切应力值为：大切应力值为：最大正应力值为：最大正应力值为：最大正应力值为：最大正应力值为：东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 A 1 O 2BC 3与三个主应力均不平行的任与三个主应力均不平行的任与三个主应力均不平行的任与三个主应力均不平行的任意斜截面上的应力所对应的意斜截面上的应力所对应的意斜截面上的应力所对应的意斜截面上的应
45、力所对应的点，位于三个应力圆围成的点，位于三个应力圆围成的点，位于三个应力圆围成的点，位于三个应力圆围成的阴影线区域内。阴影线区域内。阴影线区域内。阴影线区域内。东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论例：单元体的应力如图所示例：单元体的应力如图所示例：单元体的应力如图所示例：单元体的应力如图所示 ,作应力圆作应力圆作应力圆作应力圆,并求出主应力和最大并求出主应力和最大并求出主应力和最大并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位切应力值及其作用面方位切应力值及其作用面方位切应力值及其作用面方位.解解解解:该单元体
46、有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力另外两个另外两个另外两个另外两个主应力与主应力与主应力与主应力与主应力主应力主应力主应力 z z 无关无关无关无关,可按平面应力状态求主应力。可按平面应力状态求主应力。可按平面应力状态求主应力。可按平面应力状态求主应力。50MPaxyz40MPa60MPa30MPa 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论按代数值大小排序，三个主应力为按代数值大小排序，三个主应力为 最大切应力为最大切应力为 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛
47、分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1单独存在时单独存在时单独存在时单独存在时单独存在时单独存在时单独存在时单独存在时 单独存在时单独存在时单独存在时单独存在时同时存在时同时存在时同时存在时同时存在时一、广义胡克定律一、广义胡克定律13.6 广义胡克定律广义胡克定律 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论同理可得同理可得同理可得同理可得2 2、3 3方向的应变，一并写为：方向的应变，一并写为：方向的应变，一并
48、写为：方向的应变，一并写为：东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论xyxyxzxzyxyzzxzy 主应变方向与主应力方向相同；主应变方向与主应力方向相同；线应变与切应力无关，线应变与切应力无关，切应变与正应力无关。切应变与正应力无关。对非主单元体，可以证明两个结论：对非主单元体，可以证明两个结论：对非主单元体，可以证明两个结论：对非主单元体，可以证明两个结论：东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论主应力形式：主应力形式：主
49、应力形式：主应力形式：东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论对平面一般应力状态对平面一般应力状态对平面一般应力状态对平面一般应力状态其余其余其余其余 东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校工程力学工程力学材料力学材料力学 第十三章第十三章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论例：边长例：边长例：边长例：边长 a a=0.1m=0.1m 的铜立方块，无间隙地放入体积较大，的铜立方块，无间隙地放入体积较大，的铜立方块，无间隙地放入体积较大，的铜立方块，无间隙地放入体积较大，变形变形变形变形可略去不计的钢凹槽中可略去
50、不计的钢凹槽中可略去不计的钢凹槽中可略去不计的钢凹槽中,如图所示如图所示如图所示如图所示.已知铜的弹性模量已知铜的弹性模量已知铜的弹性模量已知铜的弹性模量 E E=100GPa=100GPa，泊松比，泊松比，泊松比，泊松比 =0.34=0.34，当受到，当受到，当受到，当受到F F=300kN=300kN 的均布压力作用的均布压力作用的均布压力作用的均布压力作用时，求该铜块的主应力和最大切应力时，求该铜块的主应力和最大切应力时，求该铜块的主应力和最大切应力时，求该铜块的主应力和最大切应力.解：铜块横截面上的压应力解：铜块横截面上的压应力解：铜块横截面上的压应力解：铜块横截面上的压应力aaaFz