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1、圆的标准方程及切线问题第1页，共16页，编辑于2022年，星期五求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程xCMrOy说明：说明：1、特点：明确给出了圆心坐标和半径。2、确定圆的方程必须具备三个独立条件。设M(x,y)是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心C的 距离等于r，所以圆C就是集合 P=M|MC|=r 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：(x-a)2+(y-b)2 =r 把上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2 =r2第2页，共16页，编辑于2022年，星期五(x-3)2+(y-4)2=5练习：1、写出下列各圆的方程：(1)圆心在点C(3,4)，半径是(2)经过点P(5,1)
2、,圆心在点C(8,-3)5(x-8)2+(y+3)2=25补充练习：写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1)(x-1)2+y2=6(2)(x+1)2+(y-2)2=9(3)(x+a)2+y2=a2(1,0)6(-1,2)3(-a,0)|a|第3页，共16页，编辑于2022年，星期五例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。CyxOM解：设所求圆的方程为：(x-1)2+(y-3)2=r2 因为圆C和直线3x-4y-7=0相切 所以圆心C到这条直线的距离等于半径r 根据点到直线的距离公式，得|31 43 7|32+(-4)2=516r=因此，所求圆的方程是(x-1)2
3、+(y-3)2=25256第4页，共16页，编辑于2022年，星期五练习2:已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。x 2+y2=196第5页，共16页，编辑于2022年，星期五 例例2 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点，求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。yxO.,),(.,.12002202000000000ryyxxryxMxxyxyyMyxkxykkkkOMOM=+=+-=-=-=所求的切线方程是所求的切线方程是在圆上在圆上,所以所以因为点因为点的切线方程是的切线方程是经过点经过点，解解:设切线的斜率为设切线的斜率为 则则当点当点M在
4、坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.过过圆圆上上一一点点作作切切线线第6页，共16页，编辑于2022年，星期五 例例2 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点，求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。P(x,y)由勾股定理：由勾股定理：OM2+MP2=OP2解法二（利用平面几何知识）：解法二（利用平面几何知识）：在直角三角形在直角三角形OMP中中yxOx0 x+y0 y=r2第7页，共16页，编辑于2022年，星期五P(x,y)yxO 例例2 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点，求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。解法
5、三（利用平面向量知识）：解法三（利用平面向量知识）：OM MP=0OM MPx0 x+y0 y=r2x2+y2=r2过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2第8页，共16页，编辑于2022年，星期五例3、若圆方程为在圆外，求过点P与圆相切的直线方程。yx解：1)验证即斜率k不存在时直线是否与圆相切。2）设切线的斜率为k,则直线方程为所以，圆心到切线的距离为解出k，进而求出切线方程。过圆外一点作切线第9页，共16页，编辑于2022年，星期五例4、已知圆切线的斜率为k，求证：圆的切线方程为xy证明：设切线方程为 y
6、=kx+b，则圆心到切线的距离为已知切线斜率求切线第10页，共16页，编辑于2022年，星期五对于平面几何中的切割线定理与圆内相交弦定理，如图，两个定理有统一的形式：PA*PB=PC*PD=K（常量）且有以下结论；当P点在圆外时，常量K就是通过P点的切线长PT的二次幂，即 ；当P点在圆内时，常量是与过点P的直径垂直的弦长 一半的平方，即用解析几何阐述一下上述定理：设圆的方程为：若P点在圆外，则过P点的圆的切线长：若P点在圆内，则过P点且与过P点的直径垂直的弦长的一半证明只需要用到勾股定理即可。证明只需要用到勾股定理即可。显然，若P点在圆上，则切线长第11页，共16页，编辑于2022年，星期五例
7、5、如图，过圆外一点P（a,b)作圆 的两条切线，切点 为A、B，求直线AB的方程。xy解：设切点A、B的坐标分别为则切线AP、BP的方程分别为由以上二式可以看出：都适合方程它是一条直线方程，而过A、B的直线只有一条。切点弦第12页，共16页，编辑于2022年，星期五练习3：写出过圆x2+y2=10 上一点 M（2，)的切线方程。6练习4：已知圆的方程是x2+y2=1，求：（1）斜率等于1的切线的方程；2x+y=106 62（2）在y轴上截距是 的切线方程。y=x+2所以切线方程为：y=x2提示：设切线方程为 y=x+b,由圆心到切线的距离等于半径1，得：|b|12+(-1)2=1 解得b=2
8、第13页，共16页，编辑于2022年，星期五例6：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)yx解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2。把P（0，4）B（10，0）代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：b=-10.5 r2=14.52所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x=-2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y0,所以y=14
9、.52-(-2)2 -10.514.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的长度约为3.86m。第14页，共16页，编辑于2022年，星期五1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1,1)、B(1,-1)的圆的方程。2、从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线方 程。课后思考题：x+3y=10 或 3x-y=10(x+)2+(y+)2=3 43 4950第15页，共16页，编辑于2022年，星期五小结小结 (1)圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2 =r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：x2+y2 =r2 (2)由于圆的标准方程中含有 a,b,r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。(3)注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。第16页，共16页，编辑于2022年，星期五