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1、圆的一般方程数学必修第1页，共25页，编辑于2022年，星期五思考：思考：1 1、方程、方程 表示什么图形？表示什么图形？对方程对方程配方，可得配方，可得此方程表示以此方程表示以为圆心，为圆心，2 2为半径的圆。为半径的圆。2 2、是不是形如、是不是形如 的方程均可表示圆？的方程均可表示圆？第2页，共25页，编辑于2022年，星期五请把方程请把方程进行配方，观察此方程进行配方，观察此方程对方程对方程配方，可得配方，可得所以这个方程不表示任何图形。所以这个方程不表示任何图形。由于不存在点的坐标由于不存在点的坐标 满足此方程满足此方程,表示什么图形？表示什么图形？第3页，共25页，编辑于2022年
2、，星期五探究：探究：方程方程在什么条件下表示圆？在什么条件下表示圆？配方可得：配方可得：把方程把方程（1 1）当）当时时方程方程表示以表示以为圆心，为圆心，为半径的圆。为半径的圆。第4页，共25页，编辑于2022年，星期五（2 2）当）当时，时，只有一解只有一解方程方程它表示一个点它表示一个点（3 3）当）当时，时，没有实数解，它不表示任何图形。没有实数解，它不表示任何图形。方程方程第5页，共25页，编辑于2022年，星期五圆的一般方程圆的一般方程 当当 时，方程时，方程 表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.圆心为圆心为 ，半径为半径为注意：注意：（1 1
3、）x x2 2和和y y2 2系数相同，都不等于系数相同，都不等于0 0；（2 2）没有）没有xyxy这样的二次项这样的二次项.第6页，共25页，编辑于2022年，星期五标准方程：标准方程：图形特征一目了然，图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径；明确地指出了圆心和半径；一般方程：一般方程：突出了代数方程的形式结构突出了代数方程的形式结构，思考：思考：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？第7页，共25页，编辑于2022年，星期五例例1 1：下列方程各表示什么图形：下列方程各表示什么图形?第8页，共25页，编辑于2022年，星期五（1 1）原点）原点
4、(0,0)(0,0)答案：答案：第9页，共25页，编辑于2022年，星期五练习：练习：判断下列方程能否表示圆的方程判断下列方程能否表示圆的方程,若能若能,写出圆心与半径写出圆心与半径第10页，共25页，编辑于2022年，星期五（1 1）是）是圆心（圆心（1 1，-2-2）半径）半径3 3圆心（圆心（3 3，-1-1）半径）半径（2 2）是）是（3 3）不是）不是（4 4）不是）不是（5 5）不是）不是答案答案第11页，共25页，编辑于2022年，星期五例例2 2：求过三点：求过三点并求出圆心坐标和半径并求出圆心坐标和半径的圆的方程，的圆的方程，第12页，共25页，编辑于2022年，星期五解：解
5、：设圆的方程为设圆的方程为把点把点 的坐标代入得方程组的坐标代入得方程组解这个方程组得解这个方程组得故所求圆的方程为故所求圆的方程为因此所求圆的圆心为因此所求圆的圆心为半径长为半径长为第13页，共25页，编辑于2022年，星期五用用“待定系数法待定系数法”求圆的方程的大致步骤：求圆的方程的大致步骤：（2 2）根据条件列出关于）根据条件列出关于a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F的方程组；的方程组；（1 1）根据题意，选）根据题意，选择标准方程或一般方程；择标准方程或一般方程；（3 3）解出）解出a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F，代，代入标准方程或一般方程入标准方程或一般方程
6、第14页，共25页，编辑于2022年，星期五例例3 3、已知线段、已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是的坐标是(4,3),(4,3),端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程.yx.O.（-1，0）B(4,3)M(x,y)A第15页，共25页，编辑于2022年，星期五分析：分析：yx.O.（-1，0）B(4,3)M(x,y)A如图，点如图，点A A的运动引起点的运动引起点M M的运动，而点的运动，而点A A在圆上运动在圆上运动点点A A的坐标满足方程的坐标满足方程建立点建立点M M的坐
7、标与点的坐标与点A A的的坐标之间的关系，就可坐标之间的关系，就可以建立点以建立点M M的坐标满足的坐标满足的条件，求出点的条件，求出点M M的的轨迹方程轨迹方程第16页，共25页，编辑于2022年，星期五解：解：设点设点M M的坐标是的坐标是设点设点A A的坐标是的坐标是由于点由于点B B的坐标是的坐标是(4,3),(4,3),且点且点M M是线段是线段ABAB的中点，所以的中点，所以于是有于是有因为点因为点A A在圆在圆 上上，所以所以第17页，共25页，编辑于2022年，星期五把（把（1 1）代入（）代入（2 2）得）得整理得整理得所以点所以点M M的轨迹是以的轨迹是以 为圆心，半径长为
8、为圆心，半径长为1 1的圆。的圆。所以点所以点M M的轨迹方程是的轨迹方程是第18页，共25页，编辑于2022年，星期五练习：练习：如图，已知点如图，已知点P P是圆是圆x x2 2+y+y2 2=16=16上的一个动点，点上的一个动点，点A A是是x x轴上轴上的定点，坐标为（的定点，坐标为（1212，0 0），当点），当点P P在圆上运动时，线段在圆上运动时，线段PAPA的中点的中点M M的轨迹是什么？的轨迹是什么？P M A xoy答案答案:以点（以点（6,06,0）为圆心，）为圆心，半径长为半径长为2 2的圆。的圆。线段线段PAPA的中点的中点M M的轨迹的轨迹第19页，共25页，编辑
9、于2022年，星期五1 1圆圆x x2 2+y+y2 2+4x+26y+b+4x+26y+b2 2=0=0与坐标轴相切，那么与坐标轴相切，那么b b可以取的可以取的值是（值是（）（A A）22或或13 13 （B B）1 1或或2 2（C C）1 1或或2 2 （D D）1 1或或1 1A A第20页，共25页，编辑于2022年，星期五2 2方程方程x x2 2+2xy+y+2xy+y2 2+x+y+x+y2=02=0表示的曲线是（表示的曲线是（）（A A）两条相交直线）两条相交直线 （B B）两条平行直线）两条平行直线（C C）不是圆也不是直线）不是圆也不是直线 （D D）圆）圆B B第21
10、页，共25页，编辑于2022年，星期五3 3若方程若方程x x2 2+y+y2 2+ax+2ay+2a+ax+2ay+2a2 2+a+a1=01=0表示圆，则表示圆，则a a的取值范围是的取值范围是 。4 4三角形三角形ABCABC的三个顶点的三个顶点A A(1(1，4)4)，B B(2 2，3)3)，C C(4(4，5)5)，则则ABCABC的外接圆方程是的外接圆方程是_.x2+y22x+2y23=0第22页，共25页，编辑于2022年，星期五5 5已知已知ABCABC的边的边ABAB长为长为2a2a，若，若BCBC的中线为定长的中线为定长m m，求顶点，求顶点C C的的轨迹方程轨迹方程.解
11、：解：由题意，以由题意，以ABAB中点为原点，边中点为原点，边ABAB所在的直线为所在的直线为x x轴建立直角轴建立直角坐标系坐标系,如图，则如图，则A(A(a a，0)0)，B(aB(a，0),0),设设C(xC(x，y)y)，则则BCBC中点为中点为E E第23页，共25页，编辑于2022年，星期五因为因为|AE|=m|AE|=m，所以，所以 化简得化简得(x+3a)(x+3a)2 2+y+y2 2=4m=4m2 2.由于点由于点C C在直线在直线ABAB上时，不能构成三角形，故去掉曲线与上时，不能构成三角形，故去掉曲线与x x轴的两个交点，轴的两个交点，从而所求的轨迹方程是从而所求的轨迹方程是(x+3a)(x+3a)2 2+y+y2 2=4m=4m2 2.(y0)(y0)第24页，共25页，编辑于2022年，星期五 (1)(1)任何一个圆的方程都可以写任何一个圆的方程都可以写x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的形式，的形式，但是方程但是方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆的曲线不一定是圆,只有在只有在D D2 2+E+E2 2-4F04F0时，表示圆心为时，表示圆心为 ,半径为半径为 的圆。的圆。第25页，共25页，编辑于2022年，星期五