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1、常微分方程常微分方程 微分方微分方程的向量场程的向量场1第1页，此课件共14页哦将这个方向场称为由微分方程将这个方向场称为由微分方程 所确定的向量场。所确定的向量场。就是该曲线就是该曲线上的点上的点 处的切线斜率，处的切线斜率，曲线上点的切线斜率就是。曲线上点的切线斜率就是。的一条曲线，的一条曲线，几何意义几何意义:解解 就是通过点就是通过点 解曲线在区域中任意点解曲线在区域中任意点 的切的切线线斜率是。斜率是。如果我们在区域内每一点如果我们在区域内每一点 都画上一个以值都画上一个以值为斜率中心在为斜率中心在 点的线段，我们点的线段，我们 就得到一个方向场就得到一个方向场.尽管我们不一定能求出
2、方程的解，尽管我们不一定能求出方程的解，但我们知道但我们知道2第2页，此课件共14页哦向量场中的一条曲线，该曲线所经过的向量场中的一条曲线，该曲线所经过的每一点都与每一点都与从几何上看，方程从几何上看，方程 的一个解的一个解 就是位于就是位于向量场在这一点的方向相切。向量场在这一点的方向相切。方向行方向行进进的曲的曲线线，求方程，求方程满满足初始足初始值值的解，的解，的一条曲的一条曲线线。就是求通就是求通过过点点形象的形象的说说，解，解就是始就是始终终沿着向量沿着向量场场中的中的3第3页，此课件共14页哦因因为为，可根据向量，可根据向量场场的走向来近似求的走向来近似求积积分曲分曲线线，同，同时
3、时也可根据向量也可根据向量场场本身的性本身的性质质来研究解的性来研究解的性质质。在该点的向量相重合。在该点的向量相重合。定理定理1.3L为为的的积积分曲分曲线线的充要条件是：的充要条件是：曲曲线线在在L上任一点，上任一点，L的切的切线线与与所确定的向量场所确定的向量场 向量向量场对场对于求解微分方程的近似解和研究于求解微分方程的近似解和研究微分方程的几何性微分方程的几何性质质极极为为重要，重要，4第4页，此课件共14页哦例例1.3.1 在区域在区域 内画出方程内画出方程 的向量场和几条积分曲线。的向量场和几条积分曲线。解：可以用计算各点斜率的方法在网格点上解：可以用计算各点斜率的方法在网格点上
4、手工手工画出向量场的方向可以得到向量场，画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘图误差较大。我们用但手工绘图误差较大。我们用Maple 软件包来完成。软件包来完成。5第5页，此课件共14页哦Maple指令：指令：DEtoolsphaseportrait#画向量场及积分曲线(diff(y(x),x)=-y(x),y(x),#定义微分方程x=-2.2,#指定x范围y(-2)=2,y(-2)=1,y(-2)=-2,#给出3个初始值dirgrid=17,17,#定义网格密度arrows=LINE,#定义线段类型axes=NORMAL;#定义坐标系类型类型6第6页，此课件共14页哦回车后回车后Maple
5、Maple就在就在 三条积分曲线。三条积分曲线。的图形，并给出了过点的图形，并给出了过点的网格点上画出了向量场的网格点上画出了向量场的的7第7页，此课件共14页哦所谓图解法就是不用求微分方程解的具体表达式，所谓图解法就是不用求微分方程解的具体表达式，根据右端函数和向量场作出积分曲线的大致图形。根据右端函数和向量场作出积分曲线的大致图形。图解法只是定性的反映积分曲线的一部分主要特征。图解法只是定性的反映积分曲线的一部分主要特征。该方法的思想十分重要。因为能够用初等方法该方法的思想十分重要。因为能够用初等方法 求解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的求解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性态对了
6、解该方程所反映的实际现象的变化规律性态对了解该方程所反映的实际现象的变化规律就有很重要的指导意义。就有很重要的指导意义。二、积分曲线的图解法8第8页，此课件共14页哦方程方程所决定的曲线上任意一点处所决定的曲线上任意一点处 方程的方程的向量场的方向都相同。向量场的方向都相同。称为微分方程称为微分方程 我们把我们把 所确定的曲线所确定的曲线的的等倾线等倾线。9第9页，此课件共14页哦例如：微分方程例如：微分方程的等倾线为的等倾线为的等倾线为的等倾线为零等倾线零等倾线称为称为极值曲线极值曲线。10第10页，此课件共14页哦拐点曲线拐点曲线：设设有连续的偏导数，则一个点成为有连续的偏导数，则一个点成为的拐点的必要条件是的拐点的必要条件是，11第11页，此课件共14页哦例例1.3.4 讨论讨论方程方程的拐点曲的拐点曲线线。解：由方程得解：由方程得,令令,得得容易容易验证验证不是方程的积分曲线，不是方程的积分曲线，在区域在区域 上，上，是方程的拐点曲线。是方程的拐点曲线。上，上，在区域在区域 平面分为平面分为 和和 两部分，两部分，它将它将 12第12页，此课件共14页哦13第13页，此课件共14页哦内容小结微分方程的向量场P28 1（1）（2），2（1）（2）作 业积分曲线的图解法14第14页，此课件共14页哦