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1、8 数学数学(北师大北师大.七年七年级级 下册下册)四合中学四合中学赵振海赵振海公式的结构特征公式的结构特征公式的结构特征公式的结构特征:左边是左边是左边是左边是a2 b2;两个二项式的乘积两个二项式的乘积两个二项式的乘积两个二项式的乘积,平方差公式平方差公式应用平方差公式的注意事项应用平方差公式的注意事项:对于对于对于对于一般一般一般一般两个二项式的积两个二项式的积两个二项式的积两个二项式的积,看准有无相等的看准有无相等的看准有无相等的看准有无相等的“项项项项”和互为和互为和互为和互为相反数的相反数的相反数的相反数的“项项项项”;仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才仅当把两个二项式的积
2、变成公式标准形式后，才仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式。能使用平方差公式。能使用平方差公式。能使用平方差公式。回顾回顾&思考思考(a+b)(ab)=即即即即两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积.右边是右边是右边是右边是 两数的平方差两数的平方差两数的平方差两数的平方差.弄清在什么情况下才能使用平方差公式弄清在什么情况下才能使用平方差公式弄清在什么情况下才能使用平方差公式弄清在什么情况下才能使用平方差公式:在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定在解题过程中要
3、准确确定a a和和和和b b、对照公式原形的两边对照公式原形的两边对照公式原形的两边对照公式原形的两边,做做做做到不弄错符号、到不弄错符号、到不弄错符号、到不弄错符号、当第一当第一当第一当第一(二二二二)数是乘积且被平方时数是乘积且被平方时数是乘积且被平方时数是乘积且被平方时 要注意添括要注意添括要注意添括要注意添括号号号号,是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。做一做做一做图图图图1616a一块边长为一块边长为一块边长为一块边长为a a米的正方形实验田，米的正方形实验田，米的正方
4、形实验田，米的正方形实验田，因需要因需要因需要因需要将其边长增加将其边长增加将其边长增加将其边长增加 b b 米。米。米。米。形成四块形成四块形成四块形成四块实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种(如图如图如图如图16).16).用不同的形式表示实验田用不同的形式表示实验田用不同的形式表示实验田用不同的形式表示实验田的总面积的总面积的总面积的总面积,并进行比较并进行比较并进行比较并进行比较.abb法法法法一一一一 直直直直接接接接求求求求总面积总面积总面积总面积=(a+b)；2 2法二法二法二法二间间间间接接接接求求求求总面积总
5、面积总面积总面积=a2+ab+ab+b2.(a+b)2=a2+ab+b2.你发现了什么你发现了什么你发现了什么你发现了什么?探索探索:2公式公式:标题6标题标题 数学数学(北师大北师大.七年级七年级 下册下册 )四合中学四合中学赵振海赵振海学学 习习 目目 标标 理解公式的推导过程，了理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算公式进行简单的计算。完全平方公式完全平方公式动脑筋动脑筋(1)(1)你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?想一想想一想
6、想一想想一想(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)2=推证推证推证推证(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(2)(2)a22ab+b2.小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式:(ab)2=a+(b)2(ab)2=她是她是她是她是怎么想的怎么想的怎么想的怎么想的?利用两数和的利用两数和的利用两数和的利用两数和的完全平方公式完全平方公式完全平方公式完全平方公式推证公式推证公式推证公式推证公式(a a b b)2 2=a a+(b b)2 2=2 2+2 2 +2 2 a aa a(b b)(b b)=a a2 22 2a
7、bab b b2 2.+你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗?的证明的证明初初识识完全平方完全平方公式公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(ab)2=a22ab+b2.a aa ab bb ba2ababb2结构特征结构特征结构特征结构特征:左边是左边是左边是左边是的平方的平方的平方的平方;二项式二项式二项式二项式右边是右边是右边是右边是a2+b2a2+b2(两数和两数和两数和两数和)(差差差差)(a a+b b)2 2=a a2 2 abab b b(a a b b)=a a2 222abab+b b22.=(a a b b)2 2a a b ba a b ba
8、 aa aababb b(a a b b)b bb b(a a b b)2 2a a2 2+2+2abab+b b2 2a+bab两数的平方和两数的平方和两数的平方和两数的平方和+加上加上加上加上(减去减去减去减去)2ab2ab这两数乘积的这两数乘积的这两数乘积的这两数乘积的两两两两倍倍倍倍.(a a b b)22=a a2 222abab+b b2 2几几几几何何何何解解解解释释释释:用自己的语用自己的语用自己的语用自己的语言叙述上面言叙述上面言叙述上面言叙述上面的公式的公式的公式的公式语言表述语言表述语言表述语言表述:两数和两数和两数和两数和的平方的平方的平方的平方等于等于等于等于这两数的
9、平方和这两数的平方和这两数的平方和这两数的平方和 加上加上加上加上这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍.22(ab)2=a22ab+b2(差差差差)(减去减去减去减去)例题解析例题解析学一学学一学使用完全平方公式与平方差公式的使用一样使用完全平方公式与平方差公式的使用一样使用完全平方公式与平方差公式的使用一样使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,注意注意注意注意先把要计算的式子与完全平方公式对照先把要计算的式子与完全平方公式对照先把要计算的式子与完全平方公式对照先把要计算的式子与完全平方公式对照,明确哪个是明确哪个是明确哪个是明确哪个是 a a,哪个是哪个是哪个是
10、哪个是 b.b.第一数第一数第一数第一数2 2x x4 4x x2 22 2x x的平方的平方的平方的平方,()2 2 减去减去减去减去2 2x x第一数第一数第一数第一数与第二数与第二数与第二数与第二数 2 2x x3 3 乘积乘积乘积乘积的的的的2 2倍倍倍倍,2 2加上加上加上加上+第二数第二数第二数第二数3 3的平方的平方的平方的平方.2 2=1212x x+9 9;解：解：(1)(2(2x x 3)3)2 2 做题时要边念边写：做题时要边念边写：做题时要边念边写：做题时要边念边写：=3 3例例例例1 1利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：利用完全平方公式
11、计算：(1)(1)(2(2x x 3)3)2 2；(2)(2)(4(4x x+5 5y y)22;(3)(3)(mnmn a a)2 2 随堂练习随堂练习随堂练习(1)(x 2y)2；(2)(2xy+x)2;1 1、计算：计算：(3)(n+1)2 n2.纠纠错错练练习习指出下列各式中的错误，并加以改正：指出下列各式中的错误，并加以改正：指出下列各式中的错误，并加以改正：指出下列各式中的错误，并加以改正：(1)(1)(2(2x x3y)3y)2 22 2x x2 2+3y+3y2 2;(2)(2)(2(2x x+3y)+3y)2 22 2x x2 2+2(2+2(2x x)(3y)+3y)(3y
12、)+3y2 2；(3)(3)(2(2x x3y)3y)2 2(2(2x x)2 2+2(2+2(2x x)(3y)+(3y)(3y)+(3y)2 2.解解解解:(1)(1)首项、末项首项、末项首项、末项首项、末项被被被被平方平方平方平方时时时时,未添括号未添括号未添括号未添括号;少了少了少了少了第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2 2倍倍倍倍(丢了一项丢了一项丢了一项丢了一项):2 2(2 2x x)(3 3y)y);(2)(2)首项、末项首项、末项首项、末项首项、末项被被被被平方平方平方平方时时时时,未添括号未添括号未添括号未添括号;(3)(3)
13、正确正确正确正确.纠纠错错练练习习指出下列各式中的错误，并加以改正：指出下列各式中的错误，并加以改正：指出下列各式中的错误，并加以改正：指出下列各式中的错误，并加以改正：(1)(1)(2(2a a1)1)2 22 2a a2 222a a+1;1;(2)(2)(2(2a a+1)1)2 24 4a a22+1 1；(3)(3)(a a 1)1)2 2 a a2 2 2 2a a 1.1.解解解解:(1)(1)第一数第一数第一数第一数被被被被平方平方平方平方时时时时,未添括号未添括号未添括号未添括号;第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2 2倍倍倍倍
14、少乘了一个少乘了一个少乘了一个少乘了一个2 2;应改为应改为应改为应改为:(2(2a a1)1)2 2(2 2a a)2 222 2 2a a 1+1;1+1;(2)(2)少了少了少了少了第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2 2倍倍倍倍(丢了一项丢了一项丢了一项丢了一项);应改为应改为应改为应改为:(2(2a a+1)1)2 2(2 2a a)2 2+2 2 2 2a a 1 1 +1;+1;(3)(3)第一数平方第一数平方第一数平方第一数平方未添括号未添括号未添括号未添括号,第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二
15、数乘积的2 2倍倍倍倍 错了符号错了符号错了符号错了符号;第二数的平方第二数的平方第二数的平方第二数的平方 这一项这一项这一项这一项错了符号错了符号错了符号错了符号;应改为应改为应改为应改为:(a a1)1)2 2(a a)2 222(a a)1 1+1 12 2;2、下列运算中，正确的有、下列运算中，正确的有：议一议议一议拓拓展展练练习习下列等式是否成立下列等式是否成立下列等式是否成立下列等式是否成立?说明理由说明理由说明理由说明理由(1)(1)(4a+1)4a+1)2 2=(14a)=(14a)2 2；(2)(2)(4a1)4a1)2 2=(4a+1)=(4a+1)2 2；(3)(3)(4
16、a1)(14a)(4a1)(14a)(4a1)(4a1)(4a1)(4a1)(4a1)(4a1)2 2；(4)(4)(4a1)(4a1)(14a)14a)(4a1)(4a+1).(4a1)(4a+1).(1)(1)由加法交换律由加法交换律由加法交换律由加法交换律 4a4a+l ll l 4a4a。成立成立成立成立理由理由理由理由:(2)(2)4a4a 1 1 (4a+1)(4a+1)，成立成立成立成立(4a4a 1)1)2 2 (4a(4a+1)1)2 2(4a+1)(4a+1)2 2.(3)(3)(1(1 4a)4a)(1 1+4a)4a)不成立不成立不成立不成立即即即即(14a)(14a)
17、(4a1)(4a1)(4a(4a 1)1)，(4a1)(14a)(4a1)(14a)(4a1)(4a1)(4a1)(4a1)(4a1)(4a1)(4a1)(4a1)(4a1)(4a1)2 2。不成立不成立不成立不成立(4)(4)右边应为右边应为右边应为右边应为:(4a1)(4a+1)(4a1)(4a+1)。研研究究性性学学习习填空：（填空：（）2=9a2（）+16b2；计算：（计算：（a+b）2和（和（ab）2；与（与（a+b）2及（及（ab）2比较，你发现了什么律？比较，你发现了什么律？做一做做一做n n探索发现探索发现:(a+b)2=(ab)2,n n （ab）2=（a+b）2n n解题规
18、律解题规律:n n 当所给的二项式的符号相同时，就用当所给的二项式的符号相同时，就用“和和”的完全平方式；的完全平方式；n n 当所给的二项式的符号不同时，就用当所给的二项式的符号不同时，就用“差差”的完全平方式。的完全平方式。6.填空：填空：1)a2+b2=(a+b)22)a2+b2=(a-b)23)4a2+b2=(2a+b)24)4a2+b2=(2a-b)25)()2+4ab+b2=(+b)26)a2-8ab+=()22ab(-2ab)4ab(-4ab)2a2a16b2a-4b7.如果如果x2+mx+4是完全平方式是完全平方式,那么那么m的值是多少的值是多少?例例例例 2 2 运用完全平方
19、公式计算运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算（1 1）（-b+4a-b+4a）（2 2）（-2x-3y-2x-3y）1 1想一想：哪个是想一想：哪个是想一想：哪个是想一想：哪个是a a？哪个是哪个是哪个是哪个是b b？2 2计算计算计算计算3 3你还能用其他方法计算吗？试试看！你还能用其他方法计算吗？试试看！你还能用其他方法计算吗？试试看！你还能用其他方法计算吗？试试看！(试试看试试看!)必做题必做题:课本第课本第2626页页“知识技能知识技能”第第1 1题题选做题：选做题：2626页联系拓广页联系拓广注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：
20、注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：形式不同形式不同形式不同形式不同结果不同：结果不同：结果不同：结果不同：完全平方公式的结果完全平方公式的结果完全平方公式的结果完全平方公式的结果 是三项，是三项，是三项，是三项，即即即即(a(a b)b)2 2a a22 2ab2ab+b b2 2;平方差公式的结果平方差公式的结果平方差公式的结果平方差公式的结果 是两项，是两项，是两项，是两项，即即即即(a(a+b)(ab)(a b)b)a a2 2 b b2 2.在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定a a和和和和b b、对
21、照公式原形的两边对照公式原形的两边对照公式原形的两边对照公式原形的两边,做到不丢项、不弄错符号、做到不丢项、不弄错符号、做到不丢项、不弄错符号、做到不丢项、不弄错符号、2 2abab时不少乘时不少乘时不少乘时不少乘2 2；首项、首项、首项、首项、末项末项末项末项是是是是乘积被平方时要注意添括号乘积被平方时要注意添括号乘积被平方时要注意添括号乘积被平方时要注意添括号,是运用完全平方是运用完全平方是运用完全平方是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键公式进行多项式乘法的关键公式进行多项式乘法的关键公式进行多项式乘法的关键.（1）“我们刚学习了完全平方公式：我们刚学习了完全平方公式：我们刚学习了完全平
22、方公式：我们刚学习了完全平方公式：(a a+b b)2 2=a=a2 2+2ab+b2ab+b2 2，你的同桌不明白这个公式是什么意思，你的同桌不明白这个公式是什么意思，你的同桌不明白这个公式是什么意思，你的同桌不明白这个公式是什么意思，你将如何向她解释？可以在解释时使用图片或图你将如何向她解释？可以在解释时使用图片或图你将如何向她解释？可以在解释时使用图片或图你将如何向她解释？可以在解释时使用图片或图形。形。形。形。”*有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的条件，即为全平方公式的条件，即为全平方公式的条件，即为全平方公式的条件，即为“两数和两数和两数和两数和(或差或差或差或差)的平方的平方的平方的平方”，然后应用公式计算，然后应用公式计算，然后应用公式计算，然后应用公式计算（2）