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1、考纲展示：考纲展示：考纲解读：考纲解读：1.理解对数的概念及其运理解对数的概念及其运算性质算性质，会用换底公式将会用换底公式将一般对数转化成自然对数一般对数转化成自然对数或常用对数；或常用对数；了解对数在了解对数在简化运算中的作用简化运算中的作用2.理解对数函数的概念及理解对数函数的概念及其单调性其单调性，知道对数函数，知道对数函数图像通过的图像通过的特殊点特殊点3.了解了解指数函数与对数函指数函数与对数函数互为反函数数互为反函数.1.高考考查的热点是高考考查的热点是对数式的运算和对数对数式的运算和对数函数的图像、性质的函数的图像、性质的综合运用。综合运用。2.常以选择、填空的常以选择、填空的
2、形式考查对数函数的形式考查对数函数的图像及性质。图像及性质。自主学习自主学习1.1.对数的定义对数的定义如果如果ax=N(a0且且a1)，那么数，那么数x叫做叫做以以a为底为底N的对数的对数,记记作作_,其中其中_叫做对数的底叫做对数的底数数,_叫做真数叫做真数.x x=log=loga aN Na aN N对数与指数的互化对数与指数的互化ax=Nx x=log=loga aN N自主学习自主学习1.1.对数的定义对数的定义如果如果ax=N(a0且且a1)，那么数，那么数x叫做叫做以以a为底为底N的对数的对数,记记作作_,其中其中_叫做对数的底叫做对数的底数数,_叫做真数叫做真数.x x=lo
3、g=loga aN Na aN N对数与指数的互化对数与指数的互化ax=Nx x=log=loga aN N推论：推论：=_;=_;logloga aa aN N=_(=_(a a00且且a a1).1).N NN N自主学习自主学习2.2.对数的性质对数的性质 loga1=0(a0且且a1).logaa=1(a0且且a1)零和负数没有对数。零和负数没有对数。3.3.对数的运算法则对数的运算法则 如果如果a a00且且a a1,1,M M0,0,N N0,0,那么那么 logloga a(MNMN)=_;)=_;=_;=_;logloga aM M+log+loga aN Nlogloga a
4、M M-log-loga aN N logloga aM Mn n=_(_(n nR R););n nlogloga aM M 自主学习自主学习换底公式换底公式:(a a,b b均大于零且不等于均大于零且不等于1)1)；推广推广logloga ab bloglogb bc cloglogc cd d=_.=_.4.4.对数的重要公式对数的重要公式logloga ad d5.5.对对数函数的图象和性质数函数的图象和性质a a1100a a111时时,_,_当当00 x x111时时,_,_当当00 x x100y y00y y000增函数增函数减函数减函数问题探究一问题探究一：对数式的运算：对数
5、式的运算D A问题问题1：探究探究提高：提高：在对数运算中，要熟练掌握对数式的在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形此式和对数恒等式对式子进行恒等变形此外，要注意外，要注意化同底化同底以及以及指数与对数互化指数与对数互化.（）A.15 B.C.D.225问题探究一问题探究一：对数式的运算：对数式的运算B小结：注意体会换底公式的运用小结：注意体会换底公式的运用问题探究二问题探究二：对数的图像与性质：对数的图像与性质C问题问题1.判断函数判断函数 的图象大致是的图象大致是()结合函数的定义域、单调性、
6、结合函数的定义域、单调性、奇偶性、特殊点可判断函数图象奇偶性、特殊点可判断函数图象.探究探究提高：提高：练习练习1：判断函数：判断函数ylg|x1|的图象是的图象是()问题探究二问题探究二：对数的图像与性质：对数的图像与性质A问题探究二问题探究二：对数的图像与性质：对数的图像与性质B问题探究二问题探究二：对数的图像与性质：对数的图像与性质问题问题2.（）A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)C可从可从代数的角度代数的角度分段讨论；又因为每段分段讨论；又因为每段的解析式熟悉，因此也可从的解析式熟悉，因此也可从几何的角度几何的角度考虑函数图形，达到考虑函数
7、图形，达到数形结合数形结合。探究探究提高：提高：问题探究二问题探究二：对数的图像与性质：对数的图像与性质练习练习1：已知函数：已知函数f(x)则使函数则使函数f(x)的图象位于直线的图象位于直线y1上方的上方的x的的取值范围是取值范围是_练习练习2：设函数：设函数f(x)定义在实数集上，定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当且当x1时，时，f(x)lnx，则有，则有()问题探究二问题探究二：对数的图像与性质：对数的图像与性质C课堂小结：课堂小结：一种思想一种思想对数源于指数，指数式和对数式互化的恒等思想。对数源于指数，指数式和对数式互化的恒等思想。两个注意两个注意解决与对数有关的问题时解决与
8、对数有关的问题时:(1)务必先研究函数的定义域；务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围注意对数底数的取值范围问题探究一问题探究一：对数式的运算：对数式的运算(1)(1)化简化简:(2)(2)化简化简:(3)(3)已知已知logloga a2=2=m m,log,loga a3=3=n n,求求a a2 2m m+n n的值的值.解解 (1)(1)原式原式=(2)(2)(3)(3)方法一方法一 logloga a2=2=m m,a am m=2.=2.logloga a3=3=n n,a an n=3.=3.故故a a2 2m m+n n=(=(a am m)2 2a an n=4
9、=43=12.3=12.方法二方法二 logloga a2=2=m m,log,loga a3=3=n n,探究探究提高：提高：（1 1）在对数运算中）在对数运算中,先利用幂的运算先利用幂的运算把把底底数或真数数或真数进行进行变变形，化成分数指数幂的形式，形，化成分数指数幂的形式，使使幂的幂的底数最简，底数最简，然后然后再再运用对数运算法则化简合并，运用对数运算法则化简合并，在运在运算中要注意化算中要注意化同底同底和和指数与对数互化指数与对数互化.(2)(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧恒等变形是对
10、数计算、化简、证明常用的技巧.问题二：问题二：(1)(1)化简化简(log(log4 43+log3+log8 83)(log3)(log3 32+log2+log9 92)2)；A.15 B.C.D.225问题三：问题三：一种思想一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明进行证明一个防范一个防范在在运算性质运算性质logloga aM Mn n=n nlogloga aM M时时,要特别注意条件，要特别注意条件，在在无无M M0 0的条件下应为
11、的条件下应为logloga aM Mn n=n nlogloga a|M M|(|(n nN N*,且且 n n为偶为偶数数).).此外此外,注注意对数恒等式、对数换底公式及等式意对数恒等式、对数换底公式及等式 在解题中的灵活应用在解题中的灵活应用.课堂小结：课堂小结：(2)(2)已知已知3 3a a=5=5b b=A A,且且 则则A A的值是的值是 （）A.15 B.C.D.225 A.15 B.C.D.225 解析解析 3 3a a=5=5b b=A A,a a=log=log3 3A A,b b=log=log5 5A A,=log =logA A3+log3+logA A5=log5
12、=logA A15=2,15=2,A A2 2=15,=15,A A=或或A A=（舍）（舍）.B题型二题型二比较大小比较大小【例例2 2】设设a a=log=log2 2,则（则（）A.A.a a b b c c B.B.a a c c b b C.C.b b a a c c D.D.b b c c a a 解析解析 a a=log=log2 21,1,a a b b,a a c c.b b c c,a a b b c c.探究提高探究提高 比较对数式的大小，或证明等式问题是比较对数式的大小，或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多对数中常见题型，解决此类问题的方法很多,当底当
13、底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较数相同时可直接利用对数函数的单调性比较;若底若底数不同，真数相同数不同，真数相同,可转化为同底（利用换底公式）可转化为同底（利用换底公式）或利用对数函数图象，数形结合解得；或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底，若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较不同真数，则可利用中间量进行比较.知能迁移知能迁移2 2 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小.(1)(1)(2)log(2)log1.11.10.70.7与与loglog1.21.20.7;0.7;(3)(3)已知已知 比较比较2 2b b,2,2a a,2,2c c的大的大 小关系小关系.解解
14、 （1 1）loglog1=0,log5 51=0,1=0,(2)(2)方法一方法一 00.71,1.1log00.71,1.1log0.70.71.1log1.1log0.70.71.2,1.2,即由换底公式可得即由换底公式可得loglog1.11.10.7log0.7log1.21.20.7.0.7.方法二方法二 作出作出y y=log=log1.11.1x x与与y y=log=log1.21.2x x的图象的图象.如图所示两图象与如图所示两图象与x x=0.7=0.7相相交可知交可知loglog1.11.10.7log0.7 a a c c,而而y y=2=2x x是增函数，是增函数，
15、2 2b b22a a22c c.题型三题型三 对数函数的性质对数函数的性质【例例3 3】(12(12分分)已知函数已知函数f f(x x)=log)=loga ax x(a a0,0,a a1)1)，如，如 果对于任意果对于任意x x33，+)+)都有都有|f f(x x)|1)|1成立，试求成立，试求 a a的取值范围的取值范围.解解 当当a a11时，对于任意时，对于任意x x33，+),+),都有都有f f(x x)0.)0.所以所以,|,|f f(x x)|=)|=f f(x x),),而而f f(x x)=log)=loga ax x在在33，+)+)上为增函数，上为增函数，对于任
16、意对于任意x x33，+),+),有有f f(x x)log)loga a3.3.因此因此,要使要使|f(x)|1对于任意对于任意x 3，+)都成立都成立.只要只要loga31=logaa即可，即可，1a3.当当0a1时，对于时，对于x 3，+),有有f(x)0,|f(x)|=-f(x).f（x）=logax在在3，+)上为减函数，上为减函数，-f（x）在）在3，+)上为增函数上为增函数.对于任意对于任意x 3，+)都有都有|f(x)|=-f(x)-loga3.因此，要使因此，要使|f f(x x)|1)|1对于任意对于任意x x33，+)+)都成立都成立,只要只要-log-loga a313
17、1成立即可，成立即可，综上综上,使使|f(x)|1对任意对任意x 3，+)都成立的都成立的a的取的取值范围是值范围是(1，3，1).本题属于函数恒成立问题，即在本题属于函数恒成立问题，即在x x33，+)+)时时,函数函数f f(x x)的绝对值恒大于等于的绝对值恒大于等于1.1.恒成恒成立问题一般有两种思路立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最值问一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题题；二是利用单调性转化为最值问题.这里函数的底这里函数的底数为字母数为字母a a,因此需对参数因此需对参数a a分类讨论分类讨论.探究提高探究提高知能迁移知能迁移3 3 (1)(1)设设f
18、 f(x x)=)=是奇函数，则使是奇函数，则使 f f(x x)0)0的的x x的取值范围是的取值范围是 （）A.(-1,0)B.(0,1)A.(-1,0)B.(0,1)C.(-,0)D.(-,0)(1,+)C.(-,0)D.(-,0)(1,+)A 解析解析 f f（x x）为奇函数，）为奇函数，f f（0 0）=0.=0.解之，得解之，得a a=-1.=-1.f f(x x)=)=令令f f(x x)0)0，则，则 x x(-1(-1，0).0).(2)(2)已知已知f f(x x)=log)=loga a(3-(3-a a)x x-a a 是其定义域上的增函数是其定义域上的增函数,那么那
19、么a a的取值范围是的取值范围是 （）A.(0,1)B.(1,3)A.(0,1)B.(1,3)C.(0,1)(1,3)D.(3,+)C.(0,1)(1,3)D.(3,+)解析解析 记记u u=(3-=(3-a a)x x-a a,当当11a a333时，时，y y=log=loga au u在其定义域内为增函数，在其定义域内为增函数，而而u u=(3-=(3-a a)x x-a a在其定义域内为减函数，在其定义域内为减函数，此时此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求在其定义域内为减函数，不符合要求.当当0a1,1,x x2 21,1,则点则点A A、B B的纵坐标分别为的纵坐标分别为lo
20、glog8 8x x1 1、loglog8 8x x2 2.因为因为A A、B B在过点在过点O O的直线上，的直线上，所以所以 点点C C、D D的坐标分别为的坐标分别为(x x1 1,log,log2 2x x1 1)、(x x2 2,log,log2 2x x2 2),),由于由于loglog2 2x x1 1=3log=3log8 8x x1 1,log,log2 2x x2 2=3log=3log8 8x x2 2,OCOC的斜率为的斜率为k k1 1=ODOD的斜率为的斜率为k k2 2=由此可知由此可知k k1 1=k k2 2,即即O O、C C、D D在同一直线上在同一直线上
21、.（2 2）解解 由于由于BCBC平行于平行于x x轴，知轴，知loglog2 2x x1 1=log=log8 8x x2 2，即得即得 代入代入x x2 2loglog8 8x x1 1=x x1 1loglog8 8x x2 2,得得 由于由于x x1 11,1,知知loglog8 8x x1 10,0,故故 又因又因x x1 11,1,解得解得x x1 1=,=,于是点于是点A A的坐标为的坐标为 利用函数图象和解析几何的思想方法利用函数图象和解析几何的思想方法,突突出了本题的直观性出了本题的直观性.将对数的运算融于几何问题，体将对数的运算融于几何问题，体现了数形结合的思想现了数形结合
22、的思想.探究提高探究提高知能迁移知能迁移4 4 已知函数已知函数 是奇函数是奇函数(a a0,0,a a11）.(1)(1)求求m m的值；的值；(2)(2)判断判断f f(x x)在区间在区间(1,+)(1,+)上的单调性并加以证明上的单调性并加以证明.解解 （1 1）f f（x x）是奇函数，）是奇函数，f f（-x x）=-=-f f（x x）在其定义域内恒成立，）在其定义域内恒成立，1-1-m m2 2x x2 2=1-=1-x x2 2恒成立，恒成立，m m=-1=-1或或m m=1=1（舍去），（舍去），m m=-1.=-1.（2 2）由（）由（1 1）得）得 (a a0,0,a
23、a1),1),任取任取x x1 1,x x2 2(1,+).(1,+).设设x x1 1 1,1,x x2 21,1,x x1 1 0,-10,x x2 2-10,-10,x x2 2-x x1 10.0.t t(x x1 1)t t(x x2 2),),即即 当当a a11时，时，f f(x x)在（在（1,+1,+）上是减函数；）上是减函数；当当00a a100，且，且a a1)1)与对数函数与对数函数y y=log=loga ax x (a a0,0,且且a a1)1)互为反函数，应从概念、图象和性质互为反函数，应从概念、图象和性质 三个方面理解它们之间的联系与区别三个方面理解它们之间的
24、联系与区别.3.3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性 质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要因此要 掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函 数和对数函数的图象数和对数函数的图象.一、自主学习一、自主学习如果如果ax=N(a0且且a1)，那么数，那么数x叫做以叫做以a为底为底N的对数的对数,记作记作_,其中其中_叫做对数的叫做对数的底数底数,_叫做真数叫做真数.1.1.对数的定义对数的定义x x=log=loga aN Na aN N对数与指数的互化
25、对数与指数的互化ax=Nx x=log=loga aN N3 3.反函数反函数 指数函数指数函数y y=a ax x与对数函数与对数函数_互为反函数，它互为反函数，它 们的图象关于直线们的图象关于直线_对称对称.y y=log=loga ax xy y=x x基础自评：步步高蓝皮书基础自评：步步高蓝皮书P211判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”或或“”)(1)若若log2(log3x)log3(log2y)0，则，则xy5.()(2)2log510log50.255.()(3)已知函数已知函数f(x)lg x，若，若f(ab)1，则，则f(a2)f(b2)2
26、.()(4)log2x22log2x.()练习：练习：D二、对数函数二、对数函数1.1.对数函数的定义对数函数的定义 函数函数 y=logax(a0,且且a 1)叫做叫做对对数函数数函数,其中其中 x 是自是自变变量量,函数函数的定的定义义域是域是 .(0,(0,+)说明说明：对数函数有以下特点：对数函数有以下特点：（1）自变量在真数上，且系数为）自变量在真数上，且系数为1；（2）底数是常数，且大于）底数是常数，且大于0不等于不等于1；（3）对数式前面的系数为）对数式前面的系数为1。称以称以10为底的对数函数为底的对数函数y=lgx为为常用对数函数常用对数函数 称以无理数称以无理数e为底的对为底的对数函数数函数y=lnx为为自然对数自然对数函数函数对数形式对数形式特点特点记法记法一般对数一般对数底数为底数为a a(a a00且且a a1)1)_常用对数常用对数底数为底数为_自然对数自然对数底数为底数为_logloga aN N1010lg lg N Ne eln ln N N2.2.几种常见对数几种常见对数自主学习自主学习